Chủ đề biểu thức đại số

Phòng giáo dục đao tạo CƯM’GAR
Chủ đề
Biểu thức đại số
Biên soạn : GV: Huỳnh Mạnh Dũng	 
 THCS Nguyễn Trường Tộ- CưM’Gar-Đăklăk
Một số dạng bài tập thường gặp:
1/ Loại 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa:
 Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa là tìm điều kiện cho sự tồn tại của các biểu thức có trong bài toán và suất hiện trong quá trình biến đổi.
 Khi làm câu hỏi này cần chú ý:
+ Đối với phân thức có nghĩa B0
+ Đối với căn thức có nghĩa A 0
2/ Loai 2: Rút gọn biểu thức đại số:
Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện cho sự tồn tại của biểu thức
Sử dụng thành thạo , linh hoạt các phép biến đổi
Chú ý một số phương pháp :
 * Thông thường một biểu thức cần rút gọn ở dạng 
 M = (
 - Trước hết cần rút gọn từng phân thức ( nếu có thể)
 - Biến đổi , quy đồng , thực hiện phép tính.
 * Nếu a x2 + b x + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì
	a x2 + b x + c = a ( x – x1)( x- x2)
Ví dụ : CMR giá trị của biểu thức 
không phụ thuộc vào biến số x 
 Bài làm
 Vậy M không phụ thuộc vào x.
 * Biến đổi biểu thức bên trong căn về dạng bình phương để khai phương.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức :
	 (a;b;c 0 )
Bài làm
	* Trong quá trình biến đổi biểu thức ta hay sử dụng các hằng đẳng thức sau:
 a - b = ( - ) (+)
 3 3 = ( ) ( a + b)
 ( ) 2 = a 2 + b
3/ Loại 3: Tính giá trị của biểu thức đại số.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức số:
Chú ý: Nếu biểu thức có dạng A 2 Trong đó A = a+b và B = a.b Thì
	A 2 = ( ) 2
Ví dụ : = 
 = 
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số tại giá trị cho trước của biến (tính A(x) tại x = a)
+) Bước 1: Rút gọn A(x) nếu có thể
+) Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện phép tính.
+) Bước 3: Kết luận.
 4/ Loại 4: Tìm điều kiện của biến số x để biểu thức A(x) thoả mãn một điều kiện nào đó.
VD: +) Tìm x để A(x) = m (m ) (1)
 +) Tìm a để A(x) > m hoặc A(x)< m (2)
Việc tìm x chính là tìm nghiệm của (1); (2)
Mở rộng: A(x) = B(x); A(x) > B(x); A(x) < B(x).
+) Tìm x để A(x) thoả mãn một số điều kiện khác như:
Biểu thức A(x) nhận giá trị nguyên.
Biểu thức A(x) đạt giá trịlớn nhất, nhỏ nhất: 
Chú ý: +) Khi tìm được giá trị của biến số ta cần kết hợp với điều kiện xác định của biểu thức để kết luận.
 + Sử dụng tính chất chia hết để tìm giá trị nguyên của biểu thức: 
VD: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A = đạt giá trị nguyên.
 Ư (1)
x = 
Với x = 2 thì A = 0
Với x = -2 thì A = - 4
5/ Loại 5: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến số x
Chứng minh giá trị của biểu thức A(x) không phục thuộc vào biến sốx nghĩa là ta đi rút gọn A(x) để kết quả sau khi rút gọn không chứa biến.
6/ Loại 6: Chứng minh đẳng thức A(x)= B(x)
Thông thường ta biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản.
C. Bài tập tự luận:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
e/ 
h/ 
Bài làm: 
3 
d)
e) 
h) 
Bài 2 : Thực hiên phép tính 
Bài 2 : 
 c) Nhân cả tử và mẫu với 
 d) Nhân cả tử và mẫu với 
 e) Tương tự như phần b
Bài 3 : Rút gọn biểu thức .
Bài làm 
c. Ta chứng minh : Với a,b ,c khác 0, a+ b + c = 0 thì :
Thật vậy : 
Vậy : 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được :
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
A = (x > 0; a > 0)
Bài giải:
Với x > 0; a > 0 ta có: 
A= 
= 
= 
Nếu x thì 
Nên A = 
Nếu 0 < x< thì nên A = 
Vậy A = 
Nhận xét: Biểu thức A là một số dương có dạng nên có thể bình phương biểu thức A.
Bài 5: Cho biểu thức
B = () :
a/ Tìm điều kiện xác định của A
b/ Rút gọn biểu thức A
Giải:
a/ Điều kiện xác định của A
b/ Rút gọn
A = 
= 
=
= 
Bài6: Cho biểu thức A = (1 - ) : ()
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị của A biết x = 2000 - 2
Giải:
a/ điều kiện x 
A = 
= = = 
b/ Thay x = 2000 - 2 vào biểu thức A ta được:
A = 
= = + 1 = 
Bài tập 7: Cho biểu thức P = 
a/ Rút gọn P với x > 0; y > 0; x 1; x 4y
b/ Tính giá trị của biểu thức P biết 	2x2 + y2 – 4x – 2xy + 4 = 0
Giải:	
a/ P = 
= 
=
= 
b/ Ta có 2x2 + y2 – 4x – 2xy + 4 = 0
 (TMĐK)
Thay x = y = 2 vào biểu thức P ta được
P = = 1
Bài tập 8: Cho biểu thức A = ().()
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A > - 6
Giải
a/ đkxđ: x > 0; x 1
Với x> 0; x 1 ta có:
A = 
= 
Vậy với x> 0; x 1 thì A = 
b/ A> - 6 
Vậy và x 1 thì A > - 6 
 Bài tập 9: Cho biểu thức:
 (đk: x>1)
a,Rút gọn biểu thức 
b,Tìm x để 
Bài giải:
a,Với ta có:
Vậy với thì 
không thoả mãn đk 
thoả mãn đk 
Vậy với thì 
Bài tập 10 : Cho biểu thức:
a,Rút gọn biểu thức 
b,Chứng minh rằng thì 
Bài giải:
a,Đkxđ:
-Với ta có:
Vậy với thì 
b,Với 
 Vậy với mọi 
 > 0 với mọi 
 với mọi
 Bài tập 11: Cho biểu thức:
a,Chứng minh 	 
b) Tìm để biểu thức nhận giá trị nguyên 
Bài giải: 
a,Đkxđ:
Khi đó ta có:
b,Với thì 
 là ước nguyên của 5
Mà Ư(5) =
Ta có : =1 = -2 ( loại)
 	 +3 = -1 = -4 (loại)
	 = -5 = -8 ( loại)
	 = 5 = 2 
 	 x = 4
Ta thấy x= 4 thoả mãn điều kiện 
Kết luận : Vậy x = 4 thì A 
 Bài tập 12 : Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A.
Tìm x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Bài giải : 
ĐKXĐ : .
Với ta có :
Với ta có : 
Ta thấy : với mọi x
Vậy .
Đẳng thức xảy ra khi ( loại- không thoả mãn đk)
Vậy không tìm được giá trị của x để bểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất
 Bài tập 13 : Cho biểu thức :
Chứng minh rằng biểu thức Akhông phụ thuộc vào a và b.
Bài giải : ĐK : .
Khi đó ta có :
Ta luôn có A = 1 với mọi .
Vậy là A không phụ thuộc vào a và b.
Bài 14: Cho 
*) Rút gọn A 
 *) Tính giá trị của A khi 
Bài làm :
Có : 
Bài 15 : Cho biểu thức :
Tìm ĐK của x để B xác định 
Rút gọn B .
Tìm để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
Bài làm : 
B xác định 
Ư(2)
ĐK)
Bài 16 : Cho 
Rút gọn P
Tìm a để P >
Bài làm
P=1-a
Vậy 
Bài 17 : Cho 
Rút gọnQ
Tính giá trị của Q khi 
CMR .
Bài làm : ĐK 
 thay x vào Q ta có :
Dấu bằng xảy ra khi : (loại)
Vậy 
Bài 18 : Cho 
*) CMR thì 
*) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 19 : Cho 
Tìm x , y để C có nghĩa 
Rút gọn C.
Tìm x , y để C = 1
Bài làm :
C có nghĩa 
Vậy 
Bài 20 : Cho 
Rút gọn P.
Tìm số tự nhiên x để là số tự nhiên .
Tính P khi 
Bài làm:
P xác định 
 ( TMĐK)
Vậy x = 0 thì .
Thay vào P ta được :
Bài 21: Cho 
Rút gọn P.
Tìm x để P = -1 
Tìm m để mọi x > 9 ta có 
Bài làm
 ĐK : 
 ( TMĐK )
+ Nếu thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị của x >9.
+Nếu thì 
Do đó bpt thoả mãn với mọi x >9 
Bài 22 : Cho 
Rút gọn N .
CMR nếu thì N có giá trị không đổi .
Bài làm a) 
b. áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
 Thay vào N ta được : ( không đổi khi )
Bài 23 Cho biểu thức : 
Rút gọn A .
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để A có giá trị nguyên .
Bài làm a)
+ Nếu thì 
+ Nếu thì 
b. Xét 
Ư(16) Và 
Xét và x
Nếu là số vô tỉ thì A cũng là số vô tỷ nên không thoả mãn 
Do đó với p, q nguyên dương và (p;q) = 1
Khi đó 
Ta thấy chia hết cho mà (p;q) = 1	 nên q là Ư(2)
vậy q=1 hoặc q=2
Tương tự thì p là Ư(8) nên p=1;2;4;8
vì (p;q) = 1 nên q= 2 ; p=1 (loại ) 
 q= 1 ; p=4 (TM )x = 20
 q= 1 ; p=8 (TM )x =68
 q= 1 ; p=2 (loại )