Chuyên đề 2: Vectơ và các phép toán về vectơ

Chuyên đề 2 VECTƠ Và CáC PHéP TOáN về VECTƠ
I. TóM TắT KIếN THứC
Vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng cú hướng, nghĩa là đó chỉ rừ điểm mỳt nào là điểm đầu (gốc), điểm mỳt nào là điểm cuối (ngọn), được đặc trưng bởi cỏc yếu tố:
(*) Phương
(**) Hướng (chiều)
(***) Độ lớn (độ dài)
 A B
Hướng từ điểm đầu tới điểm cuối của vectơ được gọi là hướng của vectơ.
Kớ hiệu: Vectơ cú điểm đầu là A, điểm cuối là B được kớ hiệu là 
 * Ngoài ra, vectơ cũn được kớ hiệu bởi cỏc chữ in thường như đối với cỏc vectơ tự do. 
Độ dài của vectơ là 
Vectơ-khụng là vectơ cú điểm đầu trựng với điểm cuối. Do đú độ dài của vectơ-khụng bằng 0 và vectơ-khụng cú hướng tựy ý. 
Vectơ-khụng được kớ hiệu là chứ khụng phải 0.
Giỏ của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đú, vớ dụ giỏ của vectơ là đường thẳng AB.
Hai vectơ được gọi là cựng phương nếu giỏ của chỳng là hai đường thẳng song song hoặc trựng nhau. Vớ dụ hai vectơ và là hai vectơ cựng phương (vỡ AB // CD) và được kớ hiệu là 
 A B
 D C
Hai vectơ cựng phương cú thể cựng hướng, cú thể ngược hướng.
 * Vectơ-khụng cựng hướng với mọi vectơ.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chỳng cựng hướng và cú cựng độ dài: 
Cỏc phộp toỏn trờn vectơ
Phộp cộng hai vectơ
Cho hai vectơ và . Tổng của hai vectơ này được xỏc định như sau:
(1) Lấy một điểm A bất kỡ.
 Dựng cỏc vectơ , .
Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và : 
Từ đú, ta cú cỏc quy tắc sau đõy:
Quy tắc ba điểm (Quy tắc chốn điểm)
Với ba điểm M, N, P bất kỡ, ta cú: 
Mở rộng ra, ta cú quy tắc n điểm: 
Quy tắc hỡnh bỡnh hành: 
Với hỡnh bỡnh hành MNPQ bất kỡ, ta cú: 
Cỏc tớnh chất của phộp cộng vectơ:
 Tớnh giao hoỏn: 
 Tớnh kết hợp: 
 Cộng với vectơ-khụng: 
Ta cũng cú một bất đẳng thức khỏ quan trọng sau đõy:
 (Dấu “=” xảy ra Û )
Phộp trừ hai vectơ: 
Vectơ đối: Vectơ được gọi là vectơ đối của vectơ khi và là hai vectơ ngược hướng và cú cựng độ dài: 
Hiệu của hai vectơ và là tổng của vectơ với vectơ đối của vectơ : 
Cỏc quy tắc:
Quy tắc ba điểm: 
Với ba điểm M, N, P bất kỡ, ta cú: 
Quy tắc chuyển vế:
Với ba vectơ và ta cú: 
Phộp nhõn một vect ơ với một số thực
Tớch của số thực k với vectơ là một vectơ, kớ hiệu là , được xỏc định như sau:
Nếu hoặc thỡ 
Nếu và thỡ và 
Nếu và thỡ và 
Từ đú ta cú cỏc hệ quả sau đõy:
Cỏc tớnh chất của phộp nhõn một vectơ với một số thực:
 ; 
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: 
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
Hệ thức trung điểm - trọng tõm 
Hệ thức trung điểm:
Cho đoạn thẳng AB, M là trung điểm của đoạn AB và O là một điểm bất kỡ.
Ta cú: M là trung điểm của AB 
Û AM = MB và 
Û 
Û 
Û (1)
Û (theo quy tắc ba điểm)
Û (theo quy tắc chuyển vế)
Û (2)
Từ cỏc hệ thức (1) và (2) ta suy ra:
Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của AB là 
Điều kiện cần và đủ để M là trung điểm của AB là tồn tại một điểm I sao cho 
* Chỳ ý: Khi cho điểm I º M, ta cú hệ thức (2) Û hệ thức (1)
Hệ thức trọng tõm:
Cho tam giỏc ABC. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc, ta cú:
G là trọng tõm tam giỏc ABC Û (3)
(Chứng minh: Cú thể sử dụng quy tắc hỡnh bỡnh hành hoặc hệ thức (2)).
Với điểm O bất kỡ, ta cú hệ thức (1) được biến đổi như sau:
(3) Û 
 Û 
 Û 
 Û (4)
Từ cỏc hệ thức (3) và (4) ta suy ra:
Điều kiện cần và đủ để G là trọng tõm tam giỏc ABC là 
Điều kiện cần và đủ để G là trọng tõm tam giỏc ABC là tồn tại một điểm O sao cho 
 * Chỳ ý: Khi cho điểm O º G, ta cú hệ thức (4) Û hệ thức (3)
Chứng minh một đẳng thức vectơ
Phương pháp 
 Ta lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau:
Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT ị VP hoặc VP ị VT). Khi đó:
Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức.
Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ.
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.
Biến đổi một đẳng thức vectơ đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.
Tạo dựng các hình phụ.
Khi thực hiện các phép biến đổi ta sử dụng:
Quy tắc ba điểm:
 = + .
Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có:
 = + .
Hiệu hai vectơ cùng gốc
- = .
Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôn có:
 = ( + ).
Tính chất trọng tâm tam giác: Với DABC có trọng tâm G ta có:
 + + = .
 + + = 3, với M tuỳ ý.
Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ.
Bài 1. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng + + = .
? Giải
Ta có thể trình bày theo ba cách sau:
Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
VT = ( + ) + = + = , đpcm.
Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
VT = + ( + ) = + = , đpcm.
Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
 = + = + + , đpcm.
Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
 = + = + + , đpcm.
*
 Nhận xét: Việc trình bày thí dụ trên theo bốn cách chỉ mang tính chất minh hoạ cho những ý tưởng sau:
Với cách 1 và cách 2, chúng ta gom hai vectơ có "điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với điểm đầu của vectơ thứ hai" từ đó sử dụng chiều thuận của quy tắc ba điểm.
Với cách 3 và cách 4, chúng ta sử dụng chiều ngược lại của quy tắc ba điểm, cụ thể "với một vectơ bất kì chúng ta đều có thể xen thêm vào giữa một điểm tuỳ ý để từ đó phân tích được vectơ thành tổng của hai vectơ".
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng + = + .
Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có: 
VT = ( + ) + = + + 	= + = VP.
Cách 2: Ta có: 
VT = ( + ) + = + + 	= + = VP.
Cách 3: Biến đổi tương đương biểu thức về dạng: 
 - = - , đúng ị Điều phải chứng minh.
Cách 4: Biến đổi tương đương đẳng thức về dạng: 
 - = - Û + = + Û = , luụn đỳng
 Nhận xét: 1. Để thực hiện chứng minh đẳng thức vectơ đã cho chúng ta lựa chọn hướng biến đổi VT thành VP và hai cách giải trên đều có chung một ý tưởng, cụ thể bằng việc lựa chọn vectơ xuất phát là ta có:
Trong cách 1, ta ý thức được rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ do đó ta xen vào điểm D.
Trong cách 2, ta ý thức được rằng cần tạo ra sự xuất hiện của vectơ do đó ta xen vào điểm C.
2. Từ nhận xét trên hẳn các em học sinh thấy được thêm rằng còn có 4 cách khác để giải bài toán, cụ thể:
Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát là .
Hai cách theo hướng biến đổi VP thành VT.
Bài 3. Cho M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
A
B
C
D
N
M
2 = + = + .
? Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có phân tích:
 = + + ,	(1)
 = + + .	(2)
Cộng theo vế (1) và (2) với lưu ý + = và + = (vì M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta được:
 + = 2, đpcm.	(*)
Cách 2: Ta có phân tích:
,	(3)
,	(4)
Cộng theo vế (3) và (4) với lưu ý và (vì M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD), ta được:
2 = + , đpcm.
Ta có:
 + = + + + = + , đpcm.	(**)
Từ (*) và (**) ta được đẳng thức cần chứng minh.
Bài 4. Cho O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với điểm M bất kì, ta có:
 = ( + + + ).
? Giải
Ta có:
 + + + 
= + + + + + + + 
= 4 + ( + ) + ( + ) = 4
Û ( + + + ) = , đpcm.
•
 Chú ý: Có thể biến đổi VT thành VP.
Bài 5. Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 
 + + = .
? Giải
Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi:
VT = + + 
= , đpcm.
Bài 6. Cho DA1B1C1 và DA2B2C2 lần lượt có trọng tâm là G1, G2. Chứng minh rằng:
 + + = 3.
? Giải
Với G1, G2 là trong tâm các DA1B1C1 và DA2B2C2, ta có:
 + + = .	(1)
 + + = .	(2)
Mặt khác, ta có:
 = + + .	(3)
 = + + .	(4)
 = + + .	(5)
Cộng theo vế (3), (4), (5) và sử dụng các kết quả trong (1) và (2), ta được:
 + + = 3, đpcm.
Bài 7. Cho DABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC, sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN.
Chứng minh rằng = + .
Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng = + .
? Giải
Từ giả thiết ta nhận thấy:
 Û = 2;	 Û = 3.	
Vì K là trung điểm MN nên:
 = ( + ) = ( + ) = + , đpcm.
Vì D là trung điểm BC nên:
 = ( + )
từ đó, suy ra:
 = - = ( + ) - ( + ) = + , đpcm.
Bài 8. Cho tứ giỏc ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD và BC. O là trung điểm của MN. Chứng minh cỏc đẳng thức sau:
a. 
b. 
c. 
d. với I là một điểm bất kỡ.
? Giải.
 a. 
b. Ta cú: 
c. Ta thấy:
d. Từ kết quả cõu c. ta cú:
* Chỳ ý: 
Điểm O như trờn được gọi là trọng tõm của tứ giỏc ABCD. Trọng tõm này là duy nhất và luụn thỏa món cỏc hệ thức ở phần c. và d.
Ta cú thể chứng minh ba đường thẳng MN, PQ, EF đồng quy tại O là trung điểm mỗi đường, trong đú M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn AD, BC, AB, CD, AC và BD.
O luụn nằm trờn đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giỏc với trọng tõm của tam giỏc tạo bởi ba đỉnh cũn lại.
Bài 9. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kỡ trờn mặt phẳng. Chứng minh:
a. b. 
c. 
d. 
?Giải. 
a. (đỳng)
b. (đỳng)
c. 
 (đỳng)
d. 
 (đỳng)
Bài 10. Cho tam giỏc ABC, AM, BN, CP là cỏc trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Chứng tỏ rằng: với O là một điểm bất kỡ.
? Giải. Ta cú: 
Tương tự: và 
Cộng vế cỏc bất đẳng thức trờn, ta thu được đccm.
Bài tập
Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a) 	b) 	
c) 
Bài 2. Cho tam giỏc ABC với M, N, P là trung điểm cỏc cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
a) 	b) 	c) 
Bài 3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B. 
Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kỡ ta cú : .
Với điểm N sao cho . CMR với I bất kỡ : 
Vơi điểm P sao cho . CMR với I bất ki : .
Tổng quỏt tớnh chất trờn.
Bài 4. (Hệ thức về trọng tõm) Cho tam giỏc ABC và G là trọng tõm của tam giỏc.
Chứng minh rằng . Với I bất kỡ ta cú : .
 M thuộc đoạn AG và . CMR : . Với I bất kỡ: .
Tổng quỏt tớnh chất trờn.
Cho hai tam giỏc ABC và DEF cú trọng tõm là G và G1. Chứng minh rằng :
+ 
+ Tỡm điều kiện để hai tam giỏc cú cựng trọng tõm.
Bài 5. (Hệ thức về hỡnh bỡnh hành) Chohỡnh bỡnh hành ABCD tõm O.
CMR : , Với I bất kỡ 
M là điểm thoả món: 
Bài 6. (Tứ giỏc bất kỡ) Cho tứ giỏc ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR :
 a) 	 b) 	
 c) Tỡm vị trớ điểm I sao cho 
 d) Với M bất kỡ, CMR : 
Bài 7. (Một số đẳng thức về trực tõm, trọng tõm, tõm đường trũn ngoại tiếp, tõm đường trũn nội tiếp)
Cho tam giỏc ABC, G, H, O, I là trọng tõm, trực tõm, tõm đường trũn ngoại tiếp và tõm đường trũn nội tiếp.
 a) 	 b) 	 c) 
Bài 8. (Nhấn mạnh bài toỏn và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giỏc ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trờn cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.
a) CMR : .	
b) D là trung điểm BC. CMR :