Chuyên đề Tìm gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC 
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
1) Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên
2) Phương pháp 
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh A k với k là hằng số	
+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh A k với k là hằng số
+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến
Kí hiệu : min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A
B.Các bài tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
I) Dạng 1: Tam thức bậc hai
Ví dụ 1 :
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 – 8x + 1
b) Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 4x + 1
Giải
a) A = 2(x2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2)2 – 7 - 7 min A = - 7 x = 2
b) B = - 5(x2 + x) + 1 = - 5(x2 + 2.x. + ) + = - 5(x + )2 
max B = x = 
b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c
a) Tìm min P nếu a > 0 b) Tìm max P nếu a < 0
Giải Ta có: P = a(x2 + x) + c = a(x + )2 + (c - )
Đặt c - = k. Do (x + )2 0 nên:
a) Nếu a > 0 thì a(x + )2 0 do đó P k min P = k x = - 
b) Nếu a < 0 thì a(x + )2 0 do đó P k max P = k x = - 
II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối
1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) A = (3x – 1)2 – 4 + 5 đặt = y thì A = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 1
min A = 1 y = 2 = 2 
b) B = + 
B = + = B = + = 1
 min B = 1 (x – 2)(3 – x) 0 2 x 3
2) Ví dụ 2: Tìm GTNN của C = 
Ta có C = = = 3
min C = 3 (x2 – x + 1)(2 + x – x2) 0 2 + x – x2 0 x2 – x – 2 0
 (x + 1)(x – 2) 0 
3) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1)
 Và = 1 (2)
 Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1 + 3 = 4
 Ta có từ (1) Dấu bằng xảy ra khi 
 (2) Dấu bằng xảy ra khi 
 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 
III.Dạng 3: Đa thức bậc cao
1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 - 36
Min A = - 36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 (x – 1)(x – 6) = 0 x = 1 hoặc x = 6
b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2
 = (x – y)2 + (x – 1)2 + 2 2 
c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y
Ta có C + 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) 
= (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1). Đặt x – 1 = a; y – 1 = b thì
C + 3 = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a. + ) + = (a + )2 + 0
Min (C + 3) = 0 hay min C = - 3 a = b = 0 x = y = 1
2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 
Đặt x + 7 = y C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1
 = 2y4 + 12y2 + 2 2 min A = 2 y = 0 x = - 7
b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) 
= (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 0 min D = 0 x = 3
IV. Dạng phân thức:
1. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Biểu thức dạng này đạt GTNN khi mẫu đạt GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN của A = = 
Vì (3x – 1)2 0 (3x – 1)2 + 4 4 A - 
min A = - 3x – 1 = 0 x = 
2. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức
a) Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 
+) Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu
A = . Đặt y = Thì
A = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 2 min A = 2 y = 1 = 1 x = 2
+) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm
A = 
 min A = 2 x – 2 = 0 x = 2
b) Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = 
Ta có B = . Đặt y = x = thì
B = ().y2 = - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y.y + ) + = - 10+ 
Max B = = 0 y = x = 10
c) Ví dụ 3: Tìm GTNN của C = 
Ta có: C = min A = x = y
3. Các phân thức có dạng khác
a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) của A = 
Ta có: A = min A = - 1 x = 2
Ta lại có: A = max A = 4 x = 
C. Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến
1) Ví dụ 1: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy
Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1)
a) Cách 1: Biểu thị ẩn này qua ẩn kia, rồi đưa về một tam thức bậc hai
Từ x + y = 1 x = 1 – y nên A = (1 – y)2 + y2 = 2(y2 – y) + 1 
A = 2(y2 – 2.y. + ) + = 2 Vậy min A = x = y = 
b) Cách 2: Sử dụng đk đã cho, làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A
Từ x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1(1). Mặt khác (x – y)2 0 x2 – 2xy + y2 0 (2)
Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 2(x2 + y2) 1x2+y2 min A=x= y = 
2)Ví dụ 2: Cho x + y + z = 3 
a) Tìm GTNN của A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN của B = xy + yz + xz
Giải: 
Từ Cho x + y + z = 3 Cho (x + y + z)2 = 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1)
Ta có x + y + z- xy – yz – zx = .2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
= 0 x + y + z xy+ yz + zx (2)
Đẳng thức xẩy ra khi x = y = z 
a) Từ (1) và (2) suy ra 
9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2)
 x2 + y2 + z2 3 min A = 3 x = y = z = 1
b) Từ (1) và (2) suy ra 
 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)
 xy+ yz + zx 3 max B = 3 x = y = z = 1
3) Ví dụ 3: 
Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x + y + z = 1
Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có 
 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = S 
Vậy S có giá trị lớn nhất là khi x = y = z = 
4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta có (1)
áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho () và (1,1,1)
 Ta có 
 Từ (1) và (2) 
Vậy có giá trị nhỏ nhất là khi x= y = z = 
D. Một số chú ý:
1) Khi tìm GTNN, GTLN ta có thể đổi biến
Ví dụ : Khi tìm GTNN của A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – 2 = y thì 
A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2 2
2) Khi tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể thay đk của biểu thức này đạt cực trị bởi đk tương đương là biểu thức khác đạt cực trị: 
+) -A lớn nhất A nhỏ nhất ; +) lớn nhất B nhỏ nhất (với B > 0)
+) C lớn nhất C2 lớn nhất
Ví dụ: Tìm cực trị của A = 
a) Ta có A > 0 nên A nhỏ nhất khi lớn nhất, ta có
 min = 1 x = 0 max A = 1 x = 0
b) Ta có (x2 – 1)2 0 x4 - 2x2 + 1 0 x4 + 1 2x2. (Dấu bằng xẩy ra khi x2 = 1)
Vì x4 + 1 > 0 1 max = 2 x2 = 1 
 min A = x = 1
3) Nhiều khi ta tìm cực trị của biểu thức trong các khoảng của biến, sau đó so sámh các cực trị đó để để tìm GTNN, GTLN trong toàn bộ tập xác định của biến
Ví dụ: Tìm GTLN của B = 
a) xét x + y 4
- Nếu x = 0 thì A = 0 - Nếu thì A 3
- Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4
b) xét x + y 6 thì A 0
So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4 x = 0; y = 4
4) Sử dụng các hằng bất đẳng thức
Ví dụ: Tìm GTLN của A = biết x2 + y2 = 52
Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho các số 2, x , 3, y ta có:
(2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 26
Max A = 26 y = x2 + y2 = x2 + = 52 13x2 = 52.4 x = 4
Vậy: Ma x A = 26 x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6
5) Hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau
Hai số có tích không đổi thì tổng của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau
a)Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 không đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn nhất khi và chỉ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = 0 x = 5 hoặc x = - 2
Khi đó A = 11. 11 = 121 Max A = 121 x = 5 hoặc x = - 2
b) Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = 
Ta có: B = 
Vì các số x và có tích x. = 36 không đổi nên nhỏ nhất x = x = 6
 A = nhỏ nhất là min A = 25 x = 6
6)Trong khi tìm cực trị chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một giá trị của biến để xẩy ra đẳng thức chứ không cần chỉ ra mọi giá trị để xẩy ra đẳng thức
Ví dụ: Tìm GTNN của A = 
Ta thấy 11m tận cùng bằng 1, 5n tận cùng bằng 5
Nếu 11m > 5n thì A tận cùng bằng 6, nếu 11m < 5n thì A tận cùng bằng 4
khi m = 2; n = 3 thÌ A = = 4 min A = 4, chẳng hạn khi m = 2, n = 3
CHUYÊN ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
¯ - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa về dạng tổng
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn viết được dưới dạng tổng các bình phương.
	- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng của các bình phương các biểu thức chứa ẩn; vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế bằng nhau).	
Các ví dụ minh hoạ:
- Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: (1)
 (II)
(1) 
	Từ (I) ta có: Tương tự từ (II) ta có:
 Vậy 
 Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: (2)
 (2) 
 Vậy 
Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (1)
 (1) (Vì )
Ví dụ 4: Tìm thoả mãn: (2)
	Vậy: 
 - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp cực hạn
 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình đối xứng 
	- Vì phương trình đối xứng nên có vai trò bình đẳng như nhau. Do đó; ta giả thiết ; tìm điều kiện của các nghiệm; loại trừ dần các ẩn để có phương trình đơn giản. Giải phương trình; dùng phép hoán vị để suy ra nghiệm.
 Ta thường giả thiết 
Các ví dụ minh hoạ:
 Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: (1)
 Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy đây là phương trình đối xứng.
Giả sử . Khi đó:
	(1) (Vì )
* Nếu: (vô lí)
* Nếu: 
* Nếu: (vô lí)
	Vậy: là hoán vị của 
Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: (2)
 Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Đây là phương trình đối xứng.
	Giả sử . Khi đó:
	(2) 
 Với: 
Nếu: (vô lí)
Nếu: 
Vậy: là hoán vị của 
- PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm để: nhận giá trị nguyên
	Ta có: . Khi đó:
	Để A nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên.
	 Vì : 
	Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: hoặc 
Ví dụ 2: Tìm thoả mãn: 
 (2) 
 Với: không phải là ngiệm của phương trình. Nên:
	. 
	Phương trình có nghiệm nguyên 
 Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (3)
	Ta có:
	(3). là số lẻ là hai số lẻ liên tiếp là các luỹ thừa của 3, nên:
 § Với: 
 § Với: Từ ( vô lí)	
	Phương trình có nghiệm nguyên: 
¯ - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
 	µ Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình mà hai vế là những đa thức có tính biến thiên khác nhau.
	- Áp dụng các bất đẳng thức thường gặp:
	*Bất đẳng thức Cô – si: 
	Cho n số không âm: . Khi đó: 
	. Dấu “=” xảy ra 
	* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: 
	Cho 2n số thực: và. Khi đó:
	.
	Dấu “=” xảy ra .
	*Bất đẳng thứcgiá trị tuyết đối:
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm thoả: (1) 
	Áp dụng BĐT Cô – si. Ta có: . 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (2)
 (Toán Tuổi thơ 2)
	Theo Bunhiacôpxki,ta có:
	Dấu “=” xảy ra 
	Vậy nghiệm của phương trình là: 
 Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên thoả mãn: 
 (3)
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta nhận thấy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 và 
	Ta có:(3). 
	Mà 
	Do đó: . 
 Với (vô lí). Vậy nghiệm của phương trình là: 
1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn: 
 Vì x,y,z là các số nguyên nên
 (*) Mà 
 Các số x,y,z phải tìm là 
PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp lựa chọn 
 Phương pháp: Phương pháp này được sử dụng với các phương trình mà ta có thể nhẩm (phát hiện dể dàng) được một vài giá trị nghiệm
	- Trên cơ sở các giá trị nghiệm đã biết. Áp dụng các tính chất như chia hết; số dư; số chính phương; chữ số tận cùng .. ta chứng tỏ rằng với các giá trị khác phương trình vô nghiệm
 Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm thoả mãn: 
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy với thì phương trình được nghiệm đúng. Ta cần chứng minh phương trình vô nghiệm với 
	+ Với thì phương trình được nghiệm đúng 
	+ Với . Khi đó:
 (*)
	Vì là hai số nguyên liên tiếp nên không có giá trị nào của y thoả (*)
	Vậy là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Tìm thoả: (2) 
 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ )
	Gọi b là chữ số tận cùng của x ( Với . Khi đó: có chữ số tận cùng là: 1, 5 hoặc 9. (*)
	Mặt khác: là luỹ thừa bậc lẻ của 3 nên có tận cùng là 3 hoặc 7. (**)
	Từ (*) và (**) suy ra phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm thoả mãn: (3)
	(3) 
	 Do đó: 
Phương trình có nghiệm nguyên: 
 PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang)
 Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với những phương trình có (n – 1) ẩn mà hệ số có ước chung khác 1
	- Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) hằng số tự do, để có được phương trình đơn giản hơn.
	- Sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải phương trình đó. 
Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) 
w Nhận xét – Tìm hướng giải:
	Ta thấy mà nên
	Ta có: (1)
 Khi đó: (1). 
	.
	* Tiếp tục sự biểu diễn trên và nếu gọi là nghiệm của (1) và thì và . Thực hiện thử chọn ta được: 
	Vậy nghiệm của phương trình là: