Dạy học Xác suất cho học sinh từ bài toán quen thuộc ở SGK đến bài toán vận dụng trong thi cử

DẠY HỌC XÁC SUẤT CHO HỌC SINH TỪ BÀI TOÁN QUEN THUỘC Ở SGK
ĐẾN BÀI TOÁN VẬN DỤNG TRONG THI CỬ
Lí thuyết
 + Cần nắm vững các phép đếm
+ Nắm vững các bài toán liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
+ Nắm vững KGM, biến cố
+ Nắm vững biến cố độc lập và nhân xác suất
+ Nắm vững biến cố xung khắc và cộng xác suất
B Các bài toán
Xuất phát từ bài toán:
Bài toán 1: Cho A = {1; 2;;9}. Từ tập A lập được bao nhiêu số có 4 chữ số?
Giải: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a
b
c
d
Chọn a có 9 cách
Chọn b có 9 cách
Chọn c có 9 cách
Chọn d có 9 cách
Vậy có 9x9x9x9 = 94 (số).
Bài toán vận dụng:
Bài 1.1 ( Đề thi GVDG Cấp Trường THPT Anh sơn 1 2016)
Trong kì thi ĐH 2016 Tỉnh Nghệ An có 9 thí sinh ( 5 nam và 4 nữ) đậu vào khoa Toán ĐHSP Hà Nội, được xếp ngẫu nhiên vào 4 lớp (mỗi lớp có nhiều hơn 9 người). Tính xác suất sao cho trong 4 lớp có 1 lớp có đúng 3 SV nam và 2 SV nữ đến từ Nghệ an.
Nhận xét.- Đa số người khi gặp bài toán này không tính được số phần tử của KGM. Vậy số phần tử của KGM liên quan gì tới bài toán trên.
- Bài toán trên là Ô chọn số còn bài này ngược lại số chọn Ô. 
 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9
 T1
T2
T3
T4
HD: 
Gọi A = “ Trong 4 lớp có 1 lớp có 3 SV nam, 2 Sv nữ Nghệ an”
Giả sử: Lớp toán T1 thỏa mãn bài toán, khi đó ta có (cách)
Mà có 4 khả năng xảy ra như vậy nên : 
Sau đây là một số bài toán tương tự:
Bài 1.2. ( Đề thi thử ĐH Trường Anh sơn 1 – 2016)
Trong cuộc thi HKPĐ Tỉnh Nghệ An. Đến giờ ăn trưa, có 9 thí sinh bước ngẫu nhiên vào 3 quầy : Cơm; Cháo, Phở. Tính xác suất sao cho quầy Cơm có đúng 4 thí sinh bước vào ăn.
HD: Tương tự bài toán trên nhưng chỉ có 1 trường hợp.
Bài 1.3. Có 12 suất quà khác nhau được chia ngẫu nhiên cho 4 học sinh. Tính xác suất sao cho 
Có 1 học sinh được 4 suất 
Mỗi học sinh đều được 3 suất.
Bài 1.4: Một đoàn tàu có 3 toa chở khách: Toa I, II, III, mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu. Các hành khách bước ngẫu nhiên lên tàu. Tính xác suất sao cho có 1 toa có 3 trong 4 vị khách trên.
Bài toán 2: 
Gieo 1 con xúc sắc 1 lần. Tính xác suất sao cho xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3.
HD : Dễ dàng giải được 
Mở rộng bài toán: 
Từ bài toán trên ta có thể mở rộng ra các bài toán sau.
Bài 2.1: Gieo 1 con xúc sắc 6 lần. Tính xác suất sao cho trong 6 lần gieo có 1 lần xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3.
HD 
+ Số phần tử của KGM là bao nhiêu?
+ Số phần tử của biến cố A là gì?
Đến đây ta thấy bài toán khá phức tạp khi tìm số phần tử của biến cố A
Do đó GV phải hướng dẫn HS suy nghĩ sang hướng khác, đó là bài toán biến cố độc lập.
Giải
Trong 1 lần gieo thì xác suất xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 là: , Xác suất không xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 là: 
Xác suất trong 6 lần gieo có 1 lần thỏa mãn bài toán là: 
Tương tự ta có :
Bài 2.2: Gieo 1 con xúc sắc 6 lần. Tính xác suất sao cho trong 6 lần gieo có 2 lần xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3.
Nhận xét: Đa số học sinh khi gặp bài này đều đặt bút tính theo định nghĩa xác suất cố điển. Điều này khá phức tạp và dẫn đến không tính được hoặc tính sai số phần tử của biến cố A:
- Để ‎ ‎‎y mỗi lần gieo là độc lập với nhau nên ta nghĩ tới công thức nhân xác suất‎ 
HD: Trong 1 lần gieo thì xác suất xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 là: , Xác suất không xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 là: 
Xác suất trong 6 lần gieo có 2 lần thỏa mãn bài toán là: 
( Trong 6 lần gieo ta không biết 2 lần nào trong 6 lần nên dùng )
Từ bài toán trên ta lại mở rộng gieo 2 con súc xắc 1 lúc.
Bây giờ ta tăng độ khó của bài toán lên:
Bài 2.3. Gieo đồng thời 2 con súc xắc 10 lần. Tính xác suất sao cho
có 2 lần gieo cả 2 con súc xắc đều xuất hiện mặt 6 chấm.
Có ít nhất một lần cả 2 con súc xắc đều xuất hiện mặt 6 chấm.
HD: Gọi Ai = “ lần thứ i cả 2 con súc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”
 , 
Gọi A = “ Có 2 lần cả 2 con súc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”
b)Gọi B = “ có ít nhất 1 lần cả 2 con súc xắc đều xuất hiện mặt 6 chấm”
 “ cả 10 lần không có lần nào cả 2 con cùng xuất hiện mặt 6 chấm”
Bài 2.4: Bạn An tham gia một kì thi sát hạch lái xe. Bài thi có 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng. Trả lời đúng 1 câu được cộng 5 điểm, trả lời sai 1 câu bị trừ 1 điểm. Tính xác suất sao cho bạn An được 26 điểm .
HD. 
+ GV có thể hỏi bài toán này tương đồng với bài 2.2 chỗ nào?
+ GV phân tích cho học sinh những điểm tương đồng này.
Từ đó dẫn đên lời giải:
Để đạt được 26 điểm thì An phải trả lời đúng 6 câu, sai 4 câu
Xác suất trả lời đúng một câu là 
Xác suất trả lời sai một câu là 
Trả lời các câu hỏi trên là độc lập nên:
Bài 2.5. Trong kì thi THPTQG năm 2016. Nam làm đề thi trắc nghiệm môn Hóa. Đề thi có 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng, trả lời đúng 1 câu được 0,2 điểm. Nam trả lời đúng 45 câu còn 5 câu Nam trả lời ngẫu nhiên. Tính Xác suất để điểm môn Hóa của Nam được không dưới 9,5 điểm.
HD: Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi Nam trả lời đúng ít nhất 3 câu trong 5 câu còn lại
Chia 3 trường hợp
TH1: Nam trả lời 3 câu đúng, 2 câu sai
TH2 : Nam trả lời 4 câu đúng, 1 câu sai
Th3: Nam trả lời đúng cả 5 câu:
Bài 2.6. Trong kì thi THPTQG năm 2016. Nam làm đề thi trắc nghiệm môn Hóa
và môn Lí. Mỗi đề thi có 50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng, trả lời đúng 1 câu được 0,2 điểm. Nam trả lời đúng 45 câu của mỗi môn còn 10 câu Nam trả lời ngẫu nhiên. Tính Xác suất để điểm môn Hóa và Lí của Nam được không dưới 19 điểm.
HD
Tương tự bài 2.5
Bài 2.7: Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên từ 1 đến 20 quả làm mẫu đại diễn. Nếu mẫu không có quả nào hỏng thì xếp loại I, nếu mẫu có 1 hoặc 2 quả hỏng thì xếp loại II, còn lại thị xếp loại III. Giả sử tỉ lệ cam hỏng là 3%. Tính xác suất để 
Sọt được xếp loại I
Sọt được xếp loại II
Sọt được xếp loại III
HD:
Xác suất lấy 1 quả cam tốt là 0,97; 
Xác suất lấy 1 quả cam hỏng là 0,03.
ĐS:
a) 
b) 
c) 
Bài 2.8. Một người say rượu bước 8 bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước 1 m
hoặc lùi phía sau 1m với xác suất như nhau. Tính xác suất để:
Anh ta trở lại vạch xuất phát
Anh ta cách điểm xuất phát lớn hơn 4 m
HD
Xác suất anh ta đi 1 bước tiến hoặc 1 bước lùi là như nhau và bằng 
a) 
b) Gọi B = “ anh ta cách điểm xuất phát lớn hơn 4 m”
Gọi x là số bước tiến, 8 – x là số bước lùi ( ). Khoảng cách giữa anh ta và điểm xuất phát là: 
Theo bài ra: 
Nhận xét. Có đôi khi chúng ta còn nhờ đến phương trình , hệ phương trình để giải.
Ta có thể áp dụng tiếp cho bài toán sau
Bài 3. Trong đợt cứu trợ lũ lụt ở miền trung. Tỉnh Nghệ An đã ủng hộ 20 tấn lương thực ( gồm 5 tấn gạo, 7 tấn bột mỳ, 8 tấn ngô) cho huyện Anh Sơn. UBND Huyện đã chia đều cho 10 xã bị thiệt hại nhiều nhất, mỗi xã chỉ nhận được 2 tấn khác loại ( mỗi loại 1 tấn). Trong 10 xã trên có 2 xã Phúc Sơn và Long Sơn. Tính xác suất sao cho 2 xã Phúc Sơn và Long Sơn nhận được 2 tấn giống nhau.
Nhận xét: 
Đây là 1 bài toán khá khó. Học sinh không biết chia thế nao cho phù hợp
Để giúp học sinh hiểu cách chia ta làm như sau
Gọi x, y, z là số xã nhận được ( gạo, mỳ), ( mỳ, ngô), ( ngô, gạo)
Theo bài ra ta có:
Từ đó ta có thế tính được bài toán.
TH1: Long sơn và Phúc sơn đều nhận (gạo, mỳ)
Có (cách)
(GV giải thích cho HS hiểu: là số cách chọn 2 xã PS và LS nhận (gạo mỳ); là số cách chọn 5 xã trong 8 xã nhận (mỳ , ngô); là số cách chọn 3 xã còn lại nhận (ngô, gạo))
TH2: Long sơn và Phúc sơn nhận (mỳ , ngô) ( Trong 5 xã nhận loại này thì có 2 xã LS và PS)
Có (cách)
TH3: : Long sơn và Phúc sơn đều nhận (gạo, ngô)( Trong 3 xã nhận loại này thì có 2 xã PS và LS)
Có ( cách)
Suy ra: .....; 
Bài toán 4. (Đề thi HSG lớp 11 Tỉnh Nghệ An năm 2016)
Cho các số: 1, 2, ....20. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ các số trên. Tính xác suất sao cho 3 số lấy ra không có 2 số tự nhiên liên tiếp.
HD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Gọi A = “.....”
TH1. Lấy 3 số tự nhiên liên tiếp có 18 cách lấy ( trừ 2 số sau cùng không thỏa mãn)
TH2: Lấy 3 số trong đó có 2 số tự nhiên liên tiếp ở hai đầu :
 Có 2 x 17 = 34 ( có 2 cách lấy 2 số liên tiếp hai đầu, ứng với mỗi cách lấy đó có 17 cách lấy số thứ 3)
TH3: Trong 3 số lấy ra có 2 số tự nhiên liên tiếp ở giữa có 17 x 16 cách
Khi làm bài này, đặc biệt là TH1 làm ta liên tưởng đến có thể giải được bài sau:
Bài tập áp dụng: Cho . Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập A. Tính xác suất sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu 2 số đó bằng 10
HD:
Gọi A = “ ......”
 Ứng với 1 cặp số thỏa mãn tương ứng với lấy 1 bộ gồm 11 số tự nhiên liên tiếp lấy từ tập A, nên 
 P(A) = 
 Bài toán 5: (Từ bài tập4 SGK p64.)
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: “ Người thứ k bắn trúng”, k = 1, 2.
Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1; A2:
A : “ Không ai bắn trúng”
B : “ Cả 2 đều bắn trúng”
C: “ Có đúng một người bắn trúng”
D: “ Có ít nhất 1 người bắn trúng”
HD:
GV : hỏi về sự độc lập của các biến cố
Từ đó gắn bài toán xác suất vào ta có bài toán:
Bài 4.1
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: “ Người thứ k bắn trúng”, k = 1, 2. Biết xác suất bắn trúng của người thứ nhất và thứ hai lần lượt là: 0,7; 0,8
Tính xác suất của các biến cố sau:
A : “ Không ai bắn trúng”
B : “ Cả 2 đều bắn trúng”
C: “ Có đúng một người bắn trúng”
D: “ Có ít nhất 1 người bắn trúng”
Từ đó ta có bài toán thi thử:
Bài 4.2 (Thi thử Trường Chuyên ĐH Vinh 2016)
Nam và Hùng đá bóng qua lưới, ai đá thành công nhiều hơn là người thẳng cuộc. Nếu đá ở vị trí A thì xác suất đá thành công của Nam là 0,9 còn Hùng là 0,7.
 Nếu đá ở vị trí B thì xác suất đá thành công của Nam là 0,7 còn Hùng là 0,8. Nam và Hùng mỗi người đều đá ở 1 quả ở vị trí A và 1 quả ở vị trí B. Tính xác suất để Nam thẳng cuộc.
Nhận xét. 
- Đa số học sinh khi gặp bài này đều không làm được.
- Tính chất liên tiếp của bài toán là rất quan trọng.
- Các trường hợp có thể xảy ra học sinh đều xét không hết
- Khi xét rồi không biết lập bài toán tiếp theo như thể nào cả.
HD: 
Nam thẳng có nghĩa là Nam đá thành công nhiều hơn
TH1: Nam 2 lần qua, Hùng không qua: 
TH2: : Nam 1 lần qua, Hùng không qua:
TH3: Nam 2 lần qua, Hùng 1 lần qua:
C. Kết luận: