Đề cương ôn tập - Toán 11 - Học kì II

Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
3.3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số liên tục tại x0
3.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên :
B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) < 0	
B2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên 
B3: Kết luận về số nghiệm của PT trên 
II. ĐẠO HÀM - CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao của các hàm số Sử dụng các quy tắc và bảng đạo hàm để tính.
2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:	y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*)
* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước:
Phương pháp: 
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên 
B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= (3)
B3: Giải (3) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.	
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước
Phương pháp: 
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên 
B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= (4)
B3: Giải (4) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.
* Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
Phương pháp: 
B1: Gọi d là tiếp tuyến cần viết và M là tiếp điểm. Khi đó d có pt dạng 
B2: Cho d đi qua A ta được (5)
B3: Giải (5) tìm . Suy ra pt tiếp tuyến cần viết.
III. BÀI TẬP
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. 2	B. 3	C. 4	D. 6
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. 2	B. 0	C. 1	D. 1/3
Câu . Tìm giới hạn lim( – n)
	A. 3	B. 1	C. 3/2	D. 0
Câu . Tìm giới hạn lim( – n)
	A. +∞	B. 3	C. 0	D. 2
Câu . Tìm giới hạn lim()
	A. 0	B. 1	C. 1/3	D. 1/2
Câu . Tìm giới hạn lim( + n)
	A. 0	B. 1	C. 3	D. 2
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. –1	B. 1	C. 2	D. –2
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. 2	B. 1/2	C. 1	D. 7
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. +∞	B. 0	C. 36	D. 9/2
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –1	B. 1	C. –3	D. 3
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –3	B. 1	C. –1	D. 3
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 15/11	B. 16/11	C. 17/11	D. 18/11
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –15/2	B. –3	C. –25/4	D. –9/2
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 3/4	B. 3/8	C. 1/8	D. 1/4
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 1/3	B. 2/3	C. 1/2	D. 1/6
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 1	B. 3/2	C. 3/5	D. 1/2
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 3/4	B. 1/3	C. 3/2	D. 1/2
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –∞	B. +∞	C. 1	D. –1
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –∞	B. +∞	C. –1/12	D. –1/24
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –∞	B. +∞	C. 3	D. –3
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –1	B. 1/3	C. –∞	D. +∞
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 3	B. –1	C. –2	D. –3
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 6	B. 4	C. 3	D. 2
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 8	B. 4	C. 3/2	D. +∞
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 1/3	B. –1	C. –3	D. 3
Câu . Tìm giá trị của m để hàm số f(x) = có giới hạn tại xo = 2
	A. m = 3/2	B. m = –3/2	C. m = –3/8	D. m = –5/8
Câu . Tìm giá trị của m để hàm số f(x) = có giới hạn tại xo = 0
	A. m = 7/4	B. m = 3/4	C. m = –3/4	D. m = –7/4
Câu . Tìm giá trị của m để hàm số f(x) = liên tục tại xo = 1
	A. m = –2	B. m = –1	C. m = 1	D. m = 2
Câu . Tìm giá trị của m để hàm số f(x) = liên tục tại xo = 1
	A. m = –3/4	B. m = –1/4	C. m = –5/4	D. m = –7/4
Câu . Tìm giới hạn của hàm số f(x) = tại xo = 1
	A. 2	B. 3/2	C. 1/2	D. không tồn tại
Câu . Tìm giá trị của m để hàm số f(x) = liên tục tại xo = 0
	A. m = –8	B. m = –16	C. m = 16	D. m = 8
Câu . Tìm giá trị của m để hàm số f(x) = liên tục tại xo = –2
	A. m = 1 V m = 3	B. m = –1 V m = 3	C. m = 1 V m = –3	D. m = –1 V m = –3
Câu . Tìm giá trị của m để hàm số f(x) = liên tục trên R.
	A. m = 4	B. m = 1/4	C. m = 1/2	D. m = 1/8
Câu . Chọn nhận xét sai.
	A. Phương trình x5 – 5x³ + 4x – 1 = 0 có 5 ngiệm trên (–2; 2)
	B. Phương trình m(x – 1)³(x – 2) + 2x – 3 = 0 có nghiệm với mọi tham số m
	C. Phương trình x4 + mx² – 2mx – 2 = 0 có nghiệm với mọi tham số m
	D. Phương trình |x|³ – 2mx² + 2 = 0 có ít nhất bốn nghiệm với mọi tham số m
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = 
	A. y' = 	B. y' = 	C. y' = 	D. y' = 
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = (x² + 2x)(5 + 2x – 3x²)
	A. y' = 2(x + 1)(5 + 2x – 3x²) + 2(1 – 6x)(x² + 2x)
	B. y' = 2(x + 1)(5 + 2x – 3x²) + 2(1 – 3x)(x² + 2x)
	C. y' = 2(x + 2)(5 + 2x – 3x²) + 2(1 – 6x)(x² + 2x)
	D. y' = 2(x + 2)(5 + 2x – 3x²) + 2(2 – 3x)(x² + 2x)
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = (2x² + 5x)³
	A. y' = 3(2x² + 5x)²(4x + 5)	B. y' = 3(2x² + 5x)(4x + 5)
	C. y' = 3(2x² + 5x)²(2x + 5)	D. y' = 3(2x² + 5x)²(5x + 4)
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = 
	A. y' = –7/(x – 2)²	B. y' = –1/(x – 2)²	C. y' = 1/(x – 2)²	D. y' = 5/(x – 2)²
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = 
	A. y' = (2x² + 8x – 24)/(2x + 4)²	B. y' = (2x² – 8x – 24)/(2x + 4)²
	C. y' = (2x² + 4x + 24)/(2x + 4)²	D. y' = (2x² + 4x – 24)/(2x + 4)²
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = 
	A. y' = –6x/(x³ + 1)³	B. y' = –6x²/(x³ + 1)³	C. y' = 6x/(x³ + 1)³	D. y' = 6x²/(x³ + 1)³
Câu . Cho hàm số y = x. Chọn biểu thức đúng.
	A. yy' = x³ + x² + x	B. yy' = x³ – x² + x	C. yy' = x(x + 1)²	D. yy' = x(x – 1)²
Câu . Cho hàm số y = . Chọn biểu thức đúng
	A. y'(x² – 2x) = y(x – 1)	B. y'(x² – 2x) = y(1 – x)
	C. y'(x² – 2x) = 2y(1 – x)	D. y'(x² – 2x) = 2y(x – 1)
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = sin² x – 2cos 4x
	A. y' = sin 2x – 8sin 4x	B. y' = 2sin 2x – 8sin 4x
	C. y' = sin 2x + 8sin 4x	D. y' = 2sin 2x + 8sin 4x
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = 3sin (3x – π/2) – 4cos 2x.
	A. y' = 9cos 3x + 8sin x	B. y' = 9cos (3x – π/2) + 8sin x
	C. y' = 9cos 3x + 8sin 2x	D. y' = 9cos (3x – π/2) + 8sin 2x
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin 3x cos 2x
	A. y' = 5cos 5x – cos x	B. y' = 5cos 5x + cos x
	C. y' = 3cos 5x – 2cos x	D. y' = 3cos 5x + 2cos x
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = 
	A. y' = 3cos x /(2 – sin x)²	B. y' = –3cos x /(2 – sin x)²
	C. y' = –cos x /(2 – sin x)²	D. y' = cos x /(2 – sin x)²
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = tan³ 3x
	A. y' = 9tan² x(1 + 3tan² x)	B. y' = 9tan² 3x(1 + tan² 3x)
	C. y' = 9tan² 3x(1 + 3tan² x)	D. y' = 9tan² 3x(3 + tan² 3x)
Câu . Cho hàm số y = 5sin (2πx + π/3). Chọn biểu thức đúng
	A. y" + 4π²y = 0	B. y" – 4π²y = 0	C. y" + 20π²y = 0	D. y" – 20π²y = 0
Câu . Cho hàm số y = x³ – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ xo = 1.
	A. y = 0	B. y = x	C. y = x – 1	D. y = 2x – 2
Câu . Cho hàm số y = 2x³ + 3x² – 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến là k = 12.
	A. y = 12x – 9 hoặc y = 12x + 18	B. y = 12x + 15 hoặc y = 12x + 30
	C. y = 12x – 9 hoặc y = 12x + 30	D. y = 12x + 15 hoặc y = 12x + 18
Câu . Cho hàm số y = x4 – 2x². Viết phương trình tiếp tuyến d song song với đường thẳng Δ: y = 24x + 5
	A. y = 24x + 56	B. y = 24x + 40	C. y = 24x – 56	D. y = 24x – 40
Câu . Cho hàm số y = . Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: y = –x – 5
	A. y = x + 1 hoặc y = x + 3	B. y = x + 3 hoặc y = x – 1
	C. y = x + 1 hoặc y = x + 5	D. y = x + 1 hoặc y = x – 1
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. –2	B. –1	C. 1	D. 2
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 3/2
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. –2	B. 2	C. 1	D. 4
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. +∞	B. 4	C. 1	D. 2
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. –3	B. –2	C. 0	D. 4
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. 6	B. 12	C. 4	D. 3
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. 2	B. 1	C. 1/2	D. 3/2
Câu . Tìm giới hạn lim
	A. 1/3	B. 2/3	C. 1/2	D. 1
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –∞	B. +∞	C. 8	D. –8
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –5/8	B. –5/56	C. –8/35	D. –3/28
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 1	B. 2	C. 4	D. 8
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 3/2	B. 1/2	C. –1	D. –1/2
Câu . Tìm giới hạn 
	A. –∞	B. +∞	C. 1/2	D. –1/2
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 5/12	B. –1/12	C. –5/12	D. 1/12
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 4	B. 16	C. 2	D. 1/8
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 1	B. –1	C. 2	D. –2
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 6	B. –∞	C. +∞	D. 3
Câu . Tìm giới hạn 
	A. 1/2	B. 2	C. –2	D. –1/2
Câu . Tìm giá trị của tham số m sao cho hàm số f(x) = liên tục tại xo = 2
	A. m = 1	B. m = 1/2	C. m = –1	D. m = 0
Câu . Tìm giá trị của tham số m sao cho hàm số f(x) = liên tục tại xo = 2
	A. m = 3	B. m = 4	C. m = 2	D. m = 5
Câu . Cho phương trình (m² + 2)x7 + x5 – 1 = 0 luôn có nghiệm duy nhất với mọi số thực m. Nghiệm của phương trình thuộc khoảng
	A. (–∞; –1)	B. (–1; 0)	C. (0; 1)	D. (1; +∞)
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = –1/x5 + 2/x²
	A. y' = 5/x6 – 6/x³	B. y' = 6/x6 – 4/x³	C. y' = 5/x6 – 4/x³	D. y' = 6/x6 – 6/x³
Câu . Tính đạo hàm cấp hai y" của hàm số y = 
	A. y" = –4/(x – 1)³	B. y" = –8/(x – 1)³	C. y" = 12/(x – 1)³	D. y" = 6/(x – 1)³
Câu . Cho hàm số y = . Chọn biểu thức đúng
	A. y'y = x	B. y'y = 2x	C. y'y = x²	D. y'y = 1
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = (x³ + 2x)5.
	A. y' = 5(x³ + 2x)4(x² + 2)	B. y' = 5(x³ + 2x)4(2x² + 2)
	C. y' = 5(x³ + 2x)4(3x² + 2)	D. y' = 5(x³ + 2x)4(4x² + 2)
Câu . Tính đạo hàm của hàm số y = (x² – 4x) cos 3x
	A. y' = 2(x – 2)cos 3x + 3x(x – 4) sin 3x	B. y' = 2(x – 1)cos 3x + 3x(x – 4) sin 3x
	C. y' = 2(x – 1)cos 3x – 3x(x – 4) sin 3x	D. y' = 2(x – 2)cos 3x – 3x(x – 4) sin 3x
Câu . Cho hàm số y = cos² 2x. Giải phương trình y' = 0
	A. x = kπ/4, k là số nguyên	B. x = kπ/2, k là số nguyên
	C. x = π/4 + kπ/2, k là số nguyên	D. x = π/8 + kπ/4, k là số nguyên
Câu . Cho hàm số y = sin x cos x cos 2x cos 4x. Giải phương trình y" = 0
	A. x = π/16 + kπ/8, k là số nguyên	B. x = π/8 + kπ/4, k là số nguyên
	C. x = kπ/8, k là số nguyên	D. x = kπ/4, k là số nguyên
Câu . Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x²cos x + x sin x
	A. y" = (4 + x²)sin x + 5x cos x	B. y" = (4 – x²)sin x – 5x cos x
	C. y" = (4 + x²)cos x + 5x sin x	D. y" = (4 – x²)cos x – 5x sin x
Câu . Cho hàm số y = cos x + sin x – 2x – 5. Giải phương trình y' = 0
	A. x = π/6 + k2π, k là số nguyên	B. x = –π/6 + k2π, k là số nguyên
	C. x = π/3 + k2π, k là số nguyên	D. x = –π/3 + k2π, k là số nguyên
Câu . Cho hàm số y = xcos x. Chọn biểu thức đúng với mọi x.
	A. 2(cos x – y') + x(y" – y) = 0	B. 2(cos x – y') + x(y" + y) = 0
	C. 2(cos x + y') + x(y" – y) = 0	D. 2(cos x + y') + x(y" + y) = 0
Câu . Cho hàm số y = . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = –4x + 8
	A. y = –4x – 2 hoặc y = –4x + 2	B. y = –4x – 3 hoặc y = –4x + 5
	C. y = –4x – 2 hoặc y = –4x + 5	D. y = –4x – 3 hoặc y = –4x + 2
Câu . Cho hàm số y = x³ – 3x² – 9x + 2 có đồ thị (C). Giải bất phương trình y' ≥ 0
	A. 1 ≤ x ≤ 3	B. –1 ≤ x ≤ 3	C. –3 ≤ x ≤ 1	D. –3 ≤ x ≤ 3
Câu . Cho hàm số y = x³ – 3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất
	A. y = 1	B. y = –x	C. y = 1 – 3x	D. y = 1 – x
Câu . Viết vi phân của hàm số y = (sin 3x + 3)³
	A. dy = 9cos 3x (sin 3x + 3) dx	B. dy = 9cos 3x (sin 3x + 3)² dx
	C. dy = 9cos² 3x (sin 3x + 3) dx	D. dy = 9cos 3x (sin² 3x + 3) dx
Câu . Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = sin 2x
	A. y(n) = (–2)nsin (x + nπ/2)	B. y(n) = (–2)ncos (x + nπ/2)
	C. y(n) = 2n sin (x + nπ/2)	D. y(n) = 2n cos (x + nπ/2)
Câu . Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 1/x²
	A. y(n) = (–1)n/xn+1.	B. y(n) = (–1)n (n – 1)!/xn+1.
	C. y(n) = (–1)n (n + 1)!/xn+1.	D. y(n) = (–1)n (n – 2)!/xn+1.
Câu . Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 
	A. y(n) = (–1)n n!/(x – 1)n+1.	B. y(n) = (–1)n+1 (n – 1)!/(x – 1)n+1.
	C. y(n) = (–1)n+1 n!/(x – 1)n+1.	D. y(n) = (–1)n (n – 1)!/(x – 1)n+1.
B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng .
Phương pháp 2: ( lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Phương pháp 3: Chứng minh hoặc 
Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a).
* LƯU Ý: Trong các phương pháp trên thì phương pháp 3 là thông dụng nhất.
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
Phương pháp 1: Chứng minh: d ^ a và d ^ b với a Ç b = M; a,b Ì (P)
Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ^ (P)
Phương pháp 3: Chứng minh: d Ì (Q) ^ (P), d ^ a = (P) Ç (Q). 
Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) Ç (R) và (Q) ^(P), (R) ^ (P).
Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
Phương pháp 1: Chứng minh (P) É a ^ (Q).
Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ^ (Q).
Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ^ (Q).
Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ Ç b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là j
+) Nếu d ^ (P) thì j = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): 
- Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: j = (d,d’)
Dạng 6: Tính góc j giữa hai mp (P) và (Q).
Phương pháp 1:
Xác định a ^ (P), b ^ (Q).
Tính góc j = (a,b)
Phương pháp 2: Nếu (P) Ç (Q) = d
Tìm (R) ^ d
Xác định a = (R) Ç (P)
Xác định b = (R) Ç (Q)
Tính góc j = (a,b).
Dạng 7: Tính khoảng cách.
1) Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
2) Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
3) Tính khoảng giữa đt D và mp (P) song song với nó: d(D, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc D).
4) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
Phương pháp 1: Nếu a ^ b :
Dựng (P) É a và (P) ^ b
Xác định A = (P) Ç b
Dựng hình chiếu H của A lên b
AH là đoạn vuông góc chung của a và b
Phương pháp 2: 
Dựng (P) É a và (P) // b.
Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ Ç a = H
Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
Phương pháp 3: 
Dựng mp (P) ^ a tại I cắt b tại O
Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
Kẻ IK ^ b’ tại K.
Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP
Câu . Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD); SB = SC = SD = 2a. Gọi AM, AN lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD
a. Tính diện tích mỗi mặt bên của hình chóp S.ABCD
b. Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh OP vuông góc với (ABCD)
c. Chứng minh MN vuông góc với (SAC)
d. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD)
Câu . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC); SA = AB = a. Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với SB, SC tại H và K
a. Chứng minh SBC là tam giác vuông
b. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện tích tam giác AHK
c. Tính góc giữa AK và (SBC)
Câu . Cho tứ diện ABCD có (ABD) vuông góc với (BCD), tam giác ABD cân tại A; M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC
a. Chứng minh AM vuông góc với (BCD)
b. Chứng minh mặt phẳng (ABC) vuông góc với (BCD)
c. Kẻ MH vuông góc với AN. Chứng minh MH vuông góc với (ABC)
Câu . Cho tứ diện ABCD, các tam giác ABC và ACD cân tại A và B; M là trung điểm của CD. Kẻ MH vuông góc với BM tại H. Kẻ HK vuông góc với AM tại K
a. Chứng minh mặt phẳng (ACD) vuông góc với (BCD)
b. Chứng minh AH vuông góc với (BCD)
c. Chứng minh HK vuông góc với (ACD)
Câu . Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình thang vuông có BC là đáy bé và góc ACD = 90°. Kẻ AH vuông góc với SB tại H. Kẻ AK vuông góc với SC tại K
a. Chứng minh các tam giác SCD, SBC vuông
b. Chứng minh AH vuông góc với (SBC)
c. Chứng minh AK vuông góc với (SCD)
Câu . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a; đáy có tâm O; SAC là tam giác đều
a. Chứng minh (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD)
b. Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với (SBD)
c. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
d. Tính góc giữa đường SB và (ABCD)
e. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ OH vuông góc với SM. Chứng minh H là trực tâm tam giác SCD
f. Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB
Câu . Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) và SA = a; đáy ABCD là hình thang vuông với đáy bé là BC, AB = BC = a, AD = 2a
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD
c. Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AD, SM. Chứng minh AH vuông góc với (SCM)
d. Tính góc tạo bởi SC và (SAD)
Câu . Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = OB = OC = a
a. Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc nhau
b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh mặt phẳng (ABC) vuông góc với (OAM)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC
d. Tính góc giữa (OBC) và (ABC)
e. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
Câu . Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = a; góc AOC = 120°; góc BOA = 60°; góc BOC = 90°
a. Chứng minh ABC là tam giác vuông
b. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh tam giác BOM là tam giác vuông
c. Chứng minh mặt phẳng (OAC) vuông góc với (ABC)
d. Tính góc giữa (OAB) và (OBC)
Câu . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA = CB = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA = a. Gọi D là trung điểm của AB
a. Chứng minh mặt phẳng (SCD) vuông góc với (SAB)
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Câu . Cho tứ diện đều ABCD cạnh a
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
b. Tính góc giữa các cạnh bên và mặt đáy
c. Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy
d. Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau
Câu . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và A’B’
a. Tính d(BD, B’C’)
b. Tính d(BD, CC’), d(MN, CC’)
Câu . Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại B; AB = a
a. Chứng minh BC vuông góc với AB’
b. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh (BC’M) vuông góc với (ACC’A’)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC
Câu . Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại C, CA = a; CB = b, mặt bên AA’B’B là hình vuông. Từ C kẻ đường thẳng CH vuông góc với AB, kẻ HK vuông góc với AA’
a. Chứng minh BC vuông góc với CK và AB’ vuông góc với (CHK)
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (CHK)
c. Tính khoảng cách từ C đến (AA’B’B)
Câu . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; SA vuông góc với (ABCD). Một mặt phẳng (P) đi qua A và song song với đường chéo BD của hình thoi cắt các cạnh SB, SD theo thứ tự tại các điểm E, F. Chứng minh EF vuông góc với SC
Câu . Trong mặt phẳng (P) cho tam giác cân ABC đỉnh A. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm D. Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A trên DM
a. Chứng minh AH vuông góc với CD
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
Câu . Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh
a. AH, SK, BC đồng quy
b. SC vuông góc với mặt phẳng (BHK)
c. HK vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Câu . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, SA vuông góc với (ABCD). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với SC và cắt SC tại I
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với (SBC)
c. Tìm giao điểm K của SO và (P)
d. Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với (SAC); BD // (P)
e. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P)
Câu . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60°
a. Tính độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD
b. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
c. Chứng minh BD vuông góc với SC và (SBC) vuông góc với (SAB)
d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SB
e. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABK)
Câu . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và SA = AC
a. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAD)
c. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD)
d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
e. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P) và tính diện tích thiết diện. Tính góc giữa AB và mặt phẳng (P)
Câu . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a
a. Chứng minh BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)
b. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’
c. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD’ và CB’
Câu . Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 60°; SA = SC; SB = SD = AC
a. Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD
d. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và SC
Câu . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng (AMN) vuông góc với (SBC)
Câu . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với đáy. Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD
a. Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông
b. Tính góc giữa SC và (ABCD)
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
d. Chứng minh (SAC) vuông góc (AIK)
Câu . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA = a
a. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BC vuông góc với (SAM)
b. Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC)
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Câu . Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a; cạnh bên SA = 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD
a. Chứng minh (SAC) vuông góc với (SBD), (SBD) vuông góc với (ABCD)
b. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) và từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)
c. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Câu . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SC = 2a
a. Chứng minh BD vuông góc với SC
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
c. Tính góc giữa SC và (ABCD)
Câu . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)
a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. Kẻ hai đường cao AD của ΔSAB và AE của ΔSAC. Chứng minh ΔADE vuông và SC vuông