Dựng hình bằng thước và compa - Trần Văn Hùng

dựng hình bằng thước và compa
 (Thực hiện trong 6 tiết) 
I. Lí thuyết
1. Hãy nhắc lại các bài toán dựng hình cơ bản.
Bài 1. Dựng một góc bằng góc cho trước.
Bài 2. Dựng tia phân giác của một góc cho trước.
Bài 3. Xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
Bài 4. Dựng trung trực của một đoạn thẳng.
Bài 5. Dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
Bài 6. Dựng đường vuông góc với đường thẳng đã cho.
Bài 7. Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh.
Trong dựng hình, người ta thừa nhận các phép dựng hình cơ bản sau:
- Các hình đã cho là dựng được.
- Dựng được đường thẳng đi qua 2 điểm.
- Dựng đường tròng biết tâm và bán kính.
- Giao điểm (nếu có)của 2 đường là dựng được.
- Những điểm tuỳ ý trên mặt phẳng là dựng được.
2. Cách trình bày một bài toán dựng hình.
* Bước 1. Phân tích.
- Giả sử đã dựng được một hình thoả mãn các điểu kiện của bài toán.
- Căn cứ vào hình đó tìm ra các yếu tố (điểm, đoạn thẳng, góc, tam giác) dựng được ngay. Chú ý rằng có khi phải vẽ thêm đường phụ mới xuất hiện yếu tố dựng được ngay.
- Sau đó đưa việc dựng các yếu tố còn lại về các phép toán dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình có bản đã học.
* Bước 2. Cách dựng.
Trình bày lần lượt các phép dựng, đồng thời thể hiện các phép dựng đó trên hình vẽ để có hình phải dựng.
* Bước 3. Chứng minh.
Chứng tổ rẵng với các phép dựng nêu trong phần 2 (giả sử phép dựng đó đều thực hiện được) thì hình dựng được thoả mã các điều kiện của đề bài.
* Bước 4. Biện luận.
Chỉ rõ trong trường hợp nào thì các phép dựng nêu trong phần hai thực hiện được và dựng được bao nhiêu hình thoả mãn đề bài.
Hình thoả mãn điều kiện của đề bài gọi là nghiệm hình. Về số nghiệm hình người ta đã qui định như sau:
- Nếu bài toán không qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì những hình bằng nhau (chỉ khác nhau về vị trí) thoả mãn điều kiện của đề bài gọi là nghiệm hình.
- Nếu bài toán qui định vị trí của hình phải tìm đối với hình đã cho thì mỗi vị trí của hình phải xem như một nghiệm hình.
II. Bài tập
 Bài 1. Dựng hình thang vuông ABCD biết đáy lớn AB = b = 6cm, chiều cao h =3cm, 
 góc B = 450.
 Giải:
Bước 1: Giả sử dựng được hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = b = 6cm, 
 chiều cao h =3cm, góc B = 450.
+. Nối BD, ta thấy ABD vuông dựng được 
+.Điểm C: - Nằm trên tia Bx hợp với AB góc nằm trong cùng nửa mặt phẳng chứa D có bờ là đường thẳng AB
 - C nằm trên tia Dy // AB
Bước 2: Cách dựng:
+. Dựng ABD vuông tại A , 
 có cạnh AB = 6cm; AD = 3cm
+.Dựng tia Dy //AB
+. Trong nửa mặt phẳng có bờ AB , 
 chứa D, dựng tia Bx hợp với AB góc 450.
 Bx Dy = C
+. Tứ giác ABCD là hình thang phải dựng
Bước 3: Chứng minh
+. DC// AB => ABCD là hình thang
 Mà ADAB => ABCD là hình thang vuông
+. Hình thang ABCD có đáy lớn AB = 6cm, đường cao AD = 3cm, góc B = 450.
=> Hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu bài.
Bước 4: Biện luận
+. Ta chỉ dựng được duy nhất điểm C
=> dựng được duy nhất hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu bài.
 Bài 2. Dựng hình thang cân ABCD biết đáy lớn AB = b = 5cm, chiều cao h = 2cm và đường chéo AC = BD = 4cm.
Giải:
Bước 1: Giả sử dựng được hình thang cân ABCD
Thoả mãn đáy lớn AB = 5cm, chiều cao h = 2cm, 
 đường chéo AC = Bd = 4cm.
+. Kẻ DH AB = H => DH = 2cm
+. BHD vuông tại H có DH = 2cm, DB = 4cm 
dựng được.
+. Đỉnh A: nằm trên tia BH và BA = 5cm
+. Đỉnh C: là giao điểm của tia Dx //AB với đường tròn tâm A bán kính 4cm.
Bước 2: Cách dựng
+. Dựng BHD vuông tại H có DH = 2cm, DB = 4cm
+.Trên tia BH lấy điểm A sao cho BA = 5cm ( BH BH < BA)
+.Dựng Dx // AB và dựng đường tròn tâm A bán kính 4cm. Đường tròn này cắt Dx tại C
=> ABCD là hình thang phải dựng.
Bước 3: Chứng minh
+. Tứ giác ABCD có CD // AB => ABCD là hình thang
+. Lại có đường chéo AC = BD = 4cm => ABCD là hình thang cân
+.Đáy AB = 5cm và DH = 2cm
 => ABCD là hình thang phải dựng.
Bước 4: Biện luận
+. A,C được dựng một cách duy nhất
=> Dựng được duy nhất hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu bài.
 Bài 3. Dựng hình thang cân ABCD biết đáy lớn AB = b = 6cm, chiều cao h = 2cm và cạnh bên AD = BC = 3cm.
Giải:
Bước 1: Phân tích
 Giả sử dựng được hình thang cân ABCD biết đáy lớn AB = b = 6cm, chiều cao h = 2cm 
và cạnh bên AD = BC = 3cm.
+. Kẻ DH AB => DH = 2cm
=> AHD vuông tại H có DH = 2cm, DA = 3cm 
dựng được.
+. Điểm B: B nằm trên tia AH và AB = 6cm
+. Điểm C: Nằm trên tia Dx //AB và tia By nằm trong 
Cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chưad D và hợp với 
AB góc 
Bước 2: cách dựng
+. Dựng AHD vuông tại H có DH = 2cm, cạnh huyền DA = 3cm
+.Trên AH lấy AB = 6 cm
+. Dựng Dx // AB 
+. Tia By nằm trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa D và tia By hợp với AB một góc bằng góc .
Bài 4
Dựng hình thang ABCD 
Biết đáy AD = 10cm; AB = 5cm; CD = 8cm và Â = 1300.
Biết đáy AD = 8cm, Â = 1100; = 400; BC = 5cm
HD:
1a) Phân tích
 Giả sử dựng được hình thang ABCD: 
 có đáy AD = 10cm; AB = 5cm; CD = 8cm và Â = 1300.
=> ABD dựng được ngay vì biết 2 cạnh và góc xen giữa
+. Đỉnh C phảI thoả mãn 2 điều kiện:
 C – nằm trên đường thẳng song song với AD
 C – cách D một khoảng là 8cm, nên C nằm trên đường tròn tâm D bán kính 8cm
b. Cách dựng
 - Dựng ABD có Â = 1300; AB = 5cm ; AD = 10cm
 - Dựng tia Bx // AD ( tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ là AB có chứa điểm D)
 - Dựng đường tròn (D; 8cm) , nó cắt Bx tại C thì tứ giác ABCD là hình thang cần dựng
c. Chứng minh
 - Vì AD // BC => tứ giác ABCD là hình thang 
 - Có đáy AD = 10cm; AB = 5cm; CD = 8cm và Â = 1300.
 => ABCD là hình thang phải dựng.
d. Biện luận
 Ta luôn dựng được hình thang ABCD thoả mãn bài.
2. a) Phân tích
 Giả sử dựng được hình thang ABCD: 
 đáy AD = 8cm, Â = 1100; = 400; BC = 5cm
+. Từ C kẻ đường thẳng CE // AB ( E AD)
Ta có : ( 2 góc đồng vị)
 BC = AE = 5cm (t/c đoạn chắn)
 => ED = AD – AE = 8 – 5 = 3cm
 Vậy CED biết 1 cạnh và 2 góc kề nên dựng được
+. Điểm B: Nằm trên tia Cx // ED và cách C một khoảng bằng 5cm
+. Điểm A nằm trên ED và cách E một khoảng bằng 5 cm
b. Cách dựng
- Dựng CED có ED = 3cm; = 1100; = 400.
- Dựng tia Cx nằm trên nửa mặt phẳng chứa điểm D có bờ là đường thẳng CE và // với ED
 Dựng đường tròn (C; 5cm) , đường tròn này cắt Cx tại B.
- Dựng đường tròn (E ; 5cm) nó cắt tia đối của tia ED tại A
=> Tứ giác ABCD là hình cần dựng
c. Chứng minh
+.Vì AB // CD => ABCD là hình thang
+. Có BC = 5cm; AD = 8cm ; = 400.
+.ABC = CEA (cgc) => (slt) => AB // CE => ( đồng vị)
=> Tứ giác ABCD là hình thang thoả mãn yêu cầu bài 
d. Biện luận
Ta luôn dựng được hình thang ABCD thoả mãn bài.
Bài 5
 Dựng hình thang cân ABCD 
Biết đáy AD = 9 cm ; AB = 5cm và đường chéo AC = 7cm
Biết đáy AD = 10cm, BC = 4cm và đường cao BH = 5cm.
HD:
1. a)Cách dựng
- Dựng ABD có AB = 5cm ; BD = 7cm ; AD = 9cm
- Dựng tia Bx cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường 
thẳng AB chứa điểm D
- Dựng đường tròn (A; 7cm), đường tròn này cắt tia Bx
tại C
=> tứ giác ABCD là hình cần dựng
b). Chứng minh
+.Vì BC // AD => tứ giác ABCD là hình thang
+. Lại có đường chéo BD = AC => ABCD là hình thang cân.
2. a) Cách dựng
- Dựng ABH vuông tại H có BH = 5cm; AH = 3cm
- Dựng tia Bx thuộc nửa mp đối với nửa mp chứa điểm A
 Mà bờ là đường thẳng BH
- Dựng (B; 4cm), nó cắt tia Bx tại C
- Dựng tia Hy là tia đối của tia HA và dựng (H ; 7cm) 
đường tròn này cắt tia Hy tại D
=> tứ giác ABCD là hình cần dựng
b) chứng minh
+ Vì BC // CD => tứ giác ABCD là hình thang
+.Có đường cao BH = 5cm; BC = 4cm; AD = 10 cm
+.Từ C kẻ CE AD, ta có BH = CE = 5cm
ED = AH = 3cm 
ABH = DCE => 
tứ giác ABCD là hình thang cân cần dựng