Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lí 10

huyển động tròn là: fht=maht=m2l
Lực này chính bằng lực đàn hồi của lò xo: fđh=kl=k(l-l0)
Do đó, m2l=k(l-l0). Thay số vào tìm được l=27 cm.
Lực f do lò xo R tác dụng vào điểm O cũng chính là lực hướng tâm fht (hoặc lực fđh) ở trên và hướng từ O đến vật A.
2)Ký hiệu l1 là độ dài của lò xo R, l2 là độc dài của lò xo R’, lập luận tương tự như ở câu 1 ta có 2 phương trình:
Xét vật B: m(l1+l2)2=k(l2-l0) (1) 
Đối với vật A: ml12=k(l1-l0)-k(l2-l0)=k(l1-l2) (2)
Thay số và giải (1) và (2) ta được l1=34,2 cm, và l2= 30,8 cm.
Lực tác dụng vào O chính là lực dàn hồi của lò xo R:
 f= k(l1-l0) =9,9 (N).
VI.2 (ĐH KTQD 99-00)
Một đĩa phẳng tròn có bán kính R=10cm, nằm ngang, quay đều quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm của đĩa.
1)Nếu cứ mỗi giây đĩa quay được 1,5 vòng thì vận tốc dài của một điểm ở mép đĩa là bao nhiêu?
2)Trên mặt đĩa có đặt một vật kích thước nhỏ, hệ số ma sát giữa vật và đĩa là k=0,1. Hỏi với những giá trị nào của vận tốc góc của đĩa thì vật đặt trên đĩa dù ở vị trí nào cũng không bị trượt ra phía ngoài đĩa. Cho gia tốc trọng trường là g=10m/s2.
 A
 m
 B
3)Treo một con lắc đơn vào đầu thanh AB cắm thẳng đứng trên mặt đĩa, đầu B cắm vào đĩa tại điểm cách tâm quay R/2. Cho AB=2R.
a) CMR khi đĩa quay đều thì phương dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc nằm trong mặt phẳng chứa AB và trục quay.
b)Biết chiều dài con lắc là l=R, tìm vận tốc góc của đĩa quay để =300.
Giải:
1) =23rad/s
 v=R=30 cm/s
2)Lực ma sát nghỉ có trị số lớn nhất fms=kmg
 Lực quán tính li tâm tác dụng lên vật đặt ở trên mặt đĩa có giá trị lớn nhất khi vật ở mép đĩa: Flt max=m2R
 Để vật không trượt ra khỏi đĩa phải có Flt max fms m2R kmg A
 B 
 2 
3)
a)Vật m chịu tác dụng của trọnh lực P, lực căng T, lực li tâm (có giá đi qua trục quay). Muốn m nằm cân bằng (xét trong hệ quy chiếu gắn với đĩa) thì các lực P, Flt, T phải đồng phẳng, nghĩa là M nằm trong mặt phẳng chứa trục quay và thanh AB, khi đó dây treo AM hợp với phương thẳng đứng AB một góc .
b)Từ hình vẽ ta có: Flt=Ptg, suy ra m2 (OB+lsin)=mgtg
 7,6rad/s.
VI.3 (ĐH Dược HN-99-00)
 h l
 m
1)Một quả cầu khối lượng m được gắn vào đầu của một sợi dây, mà đầu kia của dây được buộc vào đầu một thanh thẳng đứng đặt cố định trên một bàn quay nằm ngang. Bàn sẽ quay với vận tốc góc bằng bao nhiêu, nếu dây tạo với phương vuông góc của mặt bàn một góc =450 Biết rằng dây l = 6cm và khoảng cách từ thanh thẳng đứng đến trục quay là r=10cm.
2)Một quả cầu khối lượng m, treo trên một dây dài l. Quả cầu quay đều trên một vòng tròn nằm ngang (con lắc cônic). Dây tạo một góc với phương thẳng đứng. Hãy tính thời gian để quả cầu quay được một vòng.
Giải:
1)áp dụng định luật II Newton, 
Hoặc dựa vào hình vẽ các vectơ lực: m2R=P.tg=mgtg, với R=lsin+r
Từ đó, =8,3 rad/s
2)Lập luận và tính toán như câu 1, ta có: m2(lsin)=P.tg=mgtg, 2= 
Thời gian để quả cầu quay được một vòng là T=
Công thức này tương đương với công thức biểu diễn chu kỳ của con lắc đơn có cùng chiều dài h.
VI.4 (ĐH HH-HP 99-00)
Vệ tinh địa tĩnh dùng trong thông tin liên lạc là vệ tinh đứng yên so với mặt đất và ở trong mặt phẳng xích đạo. Biết bán kính Quả đất R=6370 km, khối lượng quả đất M=6.1024kg, hằng số hấp dẫn G=6,67.10-11(N.m2/kg2)
a)Tính độ cao của vệ tinh so với mặt đất.
b)Tính vận tốc dài của vệ tinh trên quỹ đạo của nó đối với hệ quy chiếu là tâm Quả đất.
c)Giả sử đường thẳng nối vệ tinh và tâm Quả đất đi qua kinh độ số 0. Hỏi những vùng nào nằm trên xích đạo trong khoảng kinh độ nào nhận được tín hiệu của vệ tinh nếu vệ tinh phát sóng cực ngắn (Cho cos81020’0,15055).
Giải: Muốn một vệ tinh ở trong mặt phẳng xích đạo và đứng yên so với mặt đát, nó phải chuyển động tròn xung quang Quả đất cùng chiều và cùng vận tốc góc như Trái đất quay xung quanh trục của nó với chu kỳ T=24h.
Gọi vận tốc dài của vệ tinh trên quỹ đạo là v, độ cao của nó so với mặt đất là h. Vì chuyển động tròn nên vệ tinh có gia tốc hướng tâm bằng:
 Fht=, lực này chính là lực hấp dẫn của Trái đất đối với vệ tinh
 Fhd=. Từ hai biểu thức trên suy ra =
 Vì v=(h+R)2. Chú ý rằng =, với T=24h ta có
 h+R==42322.103(m)=42322km
 Vệ tinh
 h
 00
 A B
 R 
 O
Vậy, độ cao của vệ tinh so với mặt đất là h=42322-6370=35952 km
b)Ta có: v=(h+R)==3,1.103m/s hay v=3,1 km/s
c)Đối với sóng cực ngắn, ta có thể xem như sóng truyền thẳng từ vệ tinh xuống mặt đất. Từ hình vẽ ta thấy vùng nằm giữa kinh tuyến đi qua A và B sẽ nhận được tín hiệu từ vệ tinh. Ta thấy ngay: cos==0,1505. Từ đó =81020’.
Như vậy, vùng nhận được tín hiệu từ vệ tinh nằm trong khoảng giữa 2 kinh độ 81020’ và 278040’
*** BÀI TẬP RẩN LUYỆN****
Bài 19: ở mép đĩa nằm ngang bán kinh R có đặt một đồng tiền. Đĩa quay với vận tốc ( là gia tốc góc không đổi). Tại thời điểm nào đồng tiền sẽ văng ra khỏi đĩa. Nếu hệ số ma sát trượt giữa đồng tiền và đĩa là .
Giải:
Tại thời điểm t gia tốc pháp tuyến của vật:
 =.
 Gia tốc tiếp tuyến:
 Gia tốc toàn phần:
 = 
Lực làm đồng tiền chuyển động tròn chính là lực ma sát nghỉ.
Ta có: 
 = 
Vật có thể nằm trên đĩa nếu lực ma sát nghỉ tối đa bằng lực ma sát trượt: 
 hay 
 (1) 
Lúc vật bắt đầu văng ra thì : 
 hay: 
 Vì nên 
Vậy sau ( với ) vật sẽ văng ra khỏi đĩa.
Bài 20: Một người đi xe đạp lượn tròn trên một sân nằm ngang có bán kính R. Hệ số ma sát chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ tâm của sân theo quy luật Với là một hằng số (hệ số ma sát ở tâm của sân)
 Xác định bán kính của đường tròn tâm 0 mà người đi xe đạp có thể lượn với vận tốc cực đại? Tính vận tốc đó ?
Giải:
 Giả sử người đó đang đi trên quỹ đạo tròn với bán kính với vận tốc . Ta phải xác định và giá trị này đạt được khi bằng bao nhiêu.
 Đối với hệ quy chiếu cố định gắn ở tâm 0 lực tác dụng lên vật là lực ma sát đóng vai trò lực hướng tâm và từ đó ta có:
 hay 
 Suy ra 
Đây là một tam thức bậc hai ẩn r với hệ số . Giá trị của đạt lớn nhất khi:
Lúc đó: 
Vậy:
Vậy người đi xe đạp có thể đi với vận tốc lớn nhất bằng trên quỹ đạo có bán kính lớn nhất bằng .
Bài 22: Cho cơ hệ như hình vẽ. Lúc đầu hệ cân bằng, bàn nhận được
 gia tốc theo phương ngang như hình vẽ. Tính gia tốc 
của M đối với mặt đất, biết hệ số ma sát trượt giữa M và sàn là .
Lược Giải:
 Chọn hệ quy chiếu oxy gắn vào bàn như hình vẽ. Trong hệ quy 
 chiếu oxy:
 • Phương trình chuyển động của vật M
 Hay:
 ,
trong đó:
 là gia tốc của M đối với bàn 
 a là gia tốc của bàn đối với đất.
 • Phương trình chuyển động của vật m:
 Từ (3) suy ra: 
 (4)
 Từ (1) và (4) suy ra: 
 Từ (2) suy ra: 
 Và 
 Thế (6), (7), (8) vào (5) ta rút ra:
Gia tốc của M đối với đất: 
Bài 23: Cho cơ hệ như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa M và m là ,
 giữa M và sàn là . Tìm độ lớn của lực nằm ngang:
 a. Đặt lên m để m trượt trên M.
 b. Đặt lên M để M trượt khỏi m.
Giải:
a. Khi tác dụng lực lên m.
 Phương trình chuyển động của m trượt trên M:
 Phương trình chuyển động của M:
 Để m trượt trên M thì:
 ; F= Fms1= ; F=(m+M)g.
 hay: 
 Với điều kiện: 
Vậy đáp số của bài toán này:
b. Khi tác dụng lực lên M :
 Phương trình chuyển động của m: 
 Phương trình chuyển động của vật M: 
Để M trượt khỏi m thì: (chú ý: )
 hay 
Cuối cùng: 
 Điều kiện 
 hay 
 Điều kiện (2) bao hàm trong điều kiện (1).
Do vậy kết quả bài toán : 
 .
Bài 24: Cho cơ hệ như hình vẽ. 
Tìm gia tốc của m1 và biện luận kết quả tìm được.
 Bỏ qua mọi ma sát.
 Khối lượng ròng rọc và dây nối bằng không.
Giải:
Chọn chiều dương như hình vẽ.
Phương trình định luật II Newton cho vật:
Chiếu các phương trình đó lên chiều dương ta được: 
 Giả sử ròng rọc quay ngược chiều kim đồng hồ.
Gọi S0, S1, S2 là độ dời của m0, m1, m2 so với ròng rọc A.
 S’ là độ dời của m1, m2 so với ròng rọc B. 
 Ta có: (*)
Thế (1), (2) và (3) vào (*) và chú ý T = 2T1 = 2T2
 Rút ra: 
Hay : 
* Biện luận:
 - Nếu m0 = 0 thì a1 = g, a2 = g: m1 và m2 đều rơi tự do.
 - Nếu m1 = 0 thì a1 = -g, vật m2 rơi tự do, m1 đi lên .
 - Nếu m2 = 0 thì a1= g, vật m1 rơi tự do.
Bài 25: Một kiện hàng hình hộp đồng chất (có khối tâm ở tâm hình
 hộp) được thả trượt trên mặt phẳng nghiêng nhờ hai gối nhỏ A và
B. Chiều cao của hình hộp gấp n lần chiều dài( h= nl). Mặt phẳng
 nghiêng một góc , hệ số ma sát giữa gối A và B là .
 a. Hãy tính lực ma sát tại mỗi gối.
 b. Với giá trị nào của n để kiện hàng vẩn trượt mà không bị lật.
Giải:
a. Xét các lực tác dụng vào kiện hàng: .
 Theo định luật II Newton:
 Chiếu lên oy: 
 (1)
 Chọn khối tâm G của kiện hàng làm tâm quay, vật chuyển động tịnh tiến không quay nên từ đó ta có:
Cuối cùng: 
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: 
 Lực ma sát tại mỗi gối: 
Kiện hàng vẫn trượt mà không bị lật khi : 
 Hay: 
 .
Bài 28: Một xe chở nước có chiều cao H. Mặt nước trong xe cách đáy một đoạn h đột nhiên xe chuyển động với gia tốc a không đổi. Xác định gia tốc a để khi xe chuyển động nước không trào ra ngoài.
Giải:
 Xét một phần tử chất lỏng có khối lượng m nằm trên mặt thoáng. Khi hình dạng chất lỏng ở giới hạn như hình vẽ thì chất lỏng không bị trào ra ngoài.
 Hình chiếu của các lực cân bằng nhau đối với hệ quy chiếu gắn vào bình.
Trên mặt thoáng:
Vậy với giá trị lớn nhất của a là thì nước không bị trào ra ngoài.
Bài 29: Một vòng dây xích nhỏ có chiều dài l, khối lượng m được đặt lên một mặt hình nón nhẳn tròn xoay có góc ở đỉnh bằng . Cả hệ thống quay đều với vận tốc góc chung quanh trục thẳng đứng trùng với trục đối xứng của hình nón. Mặt phẳng của vòng xích nằm ngang. Tìm sức căng của vòng xích ? 
Giải:
 Chọn trục 0xy cố định như hình vẽ.
Xét 1 đoạn rất nhỏ của vòng xích, nó có khối lượng: 
Phương trình định luật II Newton đối với trọng vật m1:
 ()
Chiếu lên 0x: 
 (1)
Ta có:
 (2)
Thế (2) vào (1): 
 .
Bài 30: Một con lắc đơn chiều dài l khối lượng quả nặng là m. Treo con lắc trong một thang máy kéo lệch sợi dây con lắc một góc đối với 
phương thẳng đứng và thả nhẹ khi mà con lắc vừa đi qua vị 
trí cân bằng thì thang máy rơi tự do.
Hỏi quả nặng có lên đến điêm cao nhất không? vì sao?
Tính lực căng của sợi dây ở vị trí vật có độ cao cực đại so
 với sàn thang máy? Nêu nhận xét.
Giải:
Xét vật trong hệ quy chiếu gắn với thang máy. Vật chịu tác dụng của trọng lực ,lực quán tínhvà lực căngcủa sợi dây.
Theo định luật II Newton : 
Thang máy rơi tự do: 
 (1)
 Lực căng luôn có phương vuông góc với vận tốc, nó không thực hiện công, do vậy vật sẽ chuyển động có vận tốc không đổi . Hay nói cách khác đối với hệ quy chiếu gắn với thang máy vật sẽ chuyển động tròn đều với vận tốc: 
 .
 Sỡ dĩ ta có lập luận như thế là vì T luôn dương . Thật vậy khi thang máy rơi tự do thì đồng thời lúc đó theo phương thẳng đứng vật cũng rơi tự do và đều với vận tốc ban đầu là . Đối với hệ quy chiếu gắn vào thang máy trọng lực và lực quán tính có độ lớn bằng nhau nhưng ngược chiều, lực căng vuông góc với , không có lực nào sinh công nên động năng được bảo toàn. Do vậy vật sẽ chuyển động tròn đều đối với thang máy nên nó sẽ lên đến điểm cao nhất.
Chiếu (1) lên chiều hướng tâm :
 Nhận xét: 
 Đối với thang máy vật sẽ chuyển động tròn đều bất kể và không phụ thuộc vào chiều dài sợi dây và vị trí của vật.
Bài 31: Cho cơ hệ như hình vẽ. Nêm có khối lượng M, góc giữa mặt nêm và phương ngang là . Cần phải kéo dây theo phương
 ngang một lực là bao nhiêu để vật có
 khối lượng m chuyển động lên trên theo
 mặt nêm ? Tìm gia tốc của m và M đối với
 mặt đất? 
 Bỏ qua mọi ma sát, khối lượng dây nối
 và ròng rọc.
Giải:
Gọi gia tốc của nêm và vật đối với mặt đất lần lượt là là và .
Phương trình động lực học cho m:
chiếu lên ox:
chiếu lên oy: 
 Nêm chịu tác dụng của hai lực và đè lên ròng rọc và lực nén có độ lớn bằng N.
 Phương trình chuyển động của M: 
 Chiếu lên ox:
Gọi là gia tốc của m đối với nêm M.
 Theo công thức cộng gia tốc:
 (4)
 Chiếu (4) lên 0x: 
 0y: 
 Từ đó suy ra: 
Từ (1), (2), (3) và(5) suy ra:
 (6)
Để m dịch chuyển lên trên nêm thì:
Giải (I):
Giải (II):
Thay (6) vào (3) rút ra N và từ điều kiện N > 0 ta suy ra: 
Từ (7) và (8) ta suy ra để m leo lên được mặt nêm M thì lực F phải thoả mãn điều kiện 
 Lúc đó gia tốc của nêm đối với mặt đất là a1 ở (6). Gia tốc của vật đối với mặt đất sẽ là : 
 .
Bài 32: Cho cơ hệ như hình vẽ. Hỏi phải truyền cho M một lực F là bao nhiêu và theo hướng nào để hệ thống đứng yên tương đối đối với nhau. Bỏ qua mọi ma sát.
Giải:
 Xét hệ thống trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất:
Giả sử tìm được gia tốc F thoả mãn bài toán.
Xét vật m2:
 chiếu lên oy:
Xét vật m1:
 chiếu lên ox:
 Ba vật đứng yên tương đối với nhau ta có thể xem chúng như một vật duy nhất có khối lượng (M+m1+m2) chuyển động với gia tốc a. Do vậy lực F cần phải đặt vào M sẽ là :
 .
Bài 33: Trên một mặt nón tròn xoay với góc nghiêng có thể quay quanh trục thẳng đứng. Một vật có khối lượng m đặt trên mặt nón cách trục quay một khoảng R. Mặt nón quay đều với vận tốc góc.
 Tính giá trị nhỏ nhất của hệ số ma sát trượt () giữa vật và mặt nón để vật vẫn đứng yên trên mặt nón.
Giải:
 Chọn hệ quy chiếu oxy gắn vào hình nón và quay đều cùng mặt nón như hình vẽ.
Trong hệ quy chiếu này các lực tác dụng vào vật: .
Vật đứng yên, do vậy: 
Chiếu lên 0x: 
 Chiếu lên 0y: 
Từ (2) ta suy ra: 
 Từ (1) ta có: 
 Điều kiện để m đứng yên trên mặt nón: 
Từ hệ trên ta suy ra: 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của hệ số ma sát trượt sẽ cần là:
 với điều kiện .
Bài 34: Khối lăng trụ tam giác có khối lượng m1, với góc như hình vẽ có thể trượt theo đường thẳng đứng và tựa lên khối lập phương khối lượng m2 còn khối lập phương có thể trượt trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua mọi ma sát.
 a. Tính gia tốc giữa mỗi khối và áp lực giữa hai khối ?
 b. Xác định sao cho a2 là lớn nhất. Tính giá trị gia tốc của mỗi khối trong trường hợp đó ?
Giải:
 a. Vật 1: 
 Các lực tác dụng vào m1: phản lực do bờ tường tác dụng lên m1, phản lực do m2 tác dụng .
 Theo định luật II Newton: 
 Chiếu lên ox: 
Chiếu lên oy: 
 (1)
Vật 2: Có 3 lực tác dụng lên m2: phản lực do sàn tác dụng lên khối lập phương, phản lực do m1 tác dụng lên khối lập phương.
Theo định luật II Newton:
chiếu lên ox:
 (do ) (2)
Mặt khác khi m2 dời được một đoạn x thì m1 dời được một đoạn y và ta luôn 
có: 
Hay: 
 Từ (1) và (2) suy ra: 
 (3)
Thay vào (3) ta suy ra:
áp lực giữa m1 và m2:
b. Ta có :
Do 
 Dấu bằng xảy ra khi : 
Lúc đó :
 .
Bài 35: Một vật nhỏ có khối lượng m đặt trên đỉnh một nêm tam giác nhẳn, thả cho m chuyển động trên mặt nêm. Biết nêm có khối lượng M và chuyển động không ma sát trên mặt phẳng ngang.
 a. Xác định gia tốc của m và M đối với mặt đất
 b. Cho chiều dài mặt nêm là L. Tính vận tốc của M ngay sau khi m trượt 
 xuống chân M.
Giải:
Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất như hình vẽ.
Gọi gia tốc của m và M lần lượt là và 
Phương trình chuyển động của m: 
Chiếu lên 0x: 
 0y: 
Phương trình chuyển động của M:
Chiếu lên ox: 
 Mặt khác theo công thức cộng gia tốc: (4) ( là gia tốc của m đối với M).
Chiếu (4) lên ox và oy ta có: 
 Từ đó suy ra: 
 (5)
Giải hệ (1), (2), (3) và (5) ta được:
 (*)
Gia tốc của m đối với M:
 Gia tốc của m đối với mặt đất: 
 .
(Với và được tính ở (*) ) 
 Gia tốc của M đối với đất sẽ là:
b. Thời gian cần để m chuyển động trên mặt nêm M là: 
Vận tốc của M lúc đó:
 .
Bài 36 : Một thanh đồng chất, tiết diện không đổi, chiều dài l chịu sự tác dụng của 2 lực kéo căng đặt ở 2 đầu thanh (F2 > F1). Tính lực căng của thanh xuất hiện cách đầu đặt một đoạn x. Biết ngược chiều.
Giải:
 Gọi khối lượng cả thanh là m . Do thanh đồng chất khối lượng phần trái : . Phần phải là : 
 Phương trình định luật II Newton đối với phần:
 Bên trái : 
 Bên phải :
 Do hai phần có gia tốc chung và chú ý ta suy 
 .
Bài 37: Vật có khối lượng m trượt từ điểm cao nhất 
của một hình cầu bán kính R đang đứng yên trên mặt
phẳng nằm ngang.
a.Tới độ cao h nào thì nó rời hình cầu ?
b.Tính áp lực của nó tại điểm B, bán kính OB nghiêng 
góc so với OA. 
 Bỏ qua mọi ma sát, vận tốc ban đầu rất nhỏ.
Giải:
Khi vật trượt theo mặt cầu xuống đến điểm C. Theo định luật bảo toàn cơ năng: 
 (1)
 Tại C: 
 Chiếu lên chiều hướng tâm : 
 Vật rời hình cầu khi N = 0 .
 (2)
 Từ (1) và (2) 
 Vật rời mặt cầu lúc:
Tại B:
 Do vậy tại B vật chưa rời mặt cầu.
 Định luật bảo toàn cơ năng :
 Tại B : 
 .
Bài 38: Trên một tấm ván nghiêng một góc so với phương ngang. Khi ván đứng yên thì vật cũng đứng yên. Cho ván chuyển động sang phải
 với gia tốc song song với đường nằm ngang. Tính giá trị cực đại của a để vật vẫn đứng yên trên ván. Biết hệ số ma sát trượt là .
Giải:
Xét vật trong hệ quy chiếu 0xy gắn với tấm ván:
Các lực tác dụng vào vật : . Theo định luật II Newton ta có:
Chiếu lên 0x:
 (1)
Chiếu lên 0y:
 (2)
Từ (2) suy ra:
Thế vào (1):
Vật vẫn nằm yên trên ván khi: 
Hay:
 (3)
Mặt khác còn điều kiện vật phải luôn áp vào ván có nghĩa là . Điều này cho ta: 
 (4)
Từ (3) và (4) ta rút ra đáp số của bài toán:
 .
Bài 39: Vật m được kéo đều trên mặt phẳng nghiêng góc lực kéo hợp với mặt phẳng một góc, hệ số ma sát là . Giá trị nhỏ nhất của F là bao nhiêu để thực hiện được việc này. Lúc đó bằng bao nhiêu ?
Giải:
 Chọn hệ trục như hình vẽ.
Các lực tác dụng vào vật: 
Theo định luật II Newton:
Chiếu lên 0x: 
Chiếu lên 0y: 
Để lực F nhỏ nhất thì lớn nhất.
Đặt:
 = 0
Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Điều kiện có nghiệm của phương trình:
Vậy:
Để tìm ta giải phương trình:
 = 
 với ; 
Ta có:
Vậy:
 .
Bài 40: Tính gia tốc trọng trường ở độ sâu h so với mặt đất. Coi trái đất là hình cầu đồng chất bán kính R. Cho gia tốc ở mặt đất là g0.
Giải:
Gọi M, m lần lượt là khối lượng của trái đất và vật. Khi vật đạt ở mặt đất thì gia tốc trọng trường của nó là:
Khi vật ở độ sâu h lực hấp dẫn của trái đất chỉ còn lại là lực hấp dẫn của quả cầu sau khi bóc lớp vỏ có bề dày h đi (vì lớp vỏ sẽ gây ra những lực cân bằng nhau đối với các vật đặt ở trong lòng nó) nên lực hấp dẫn của trái đất lúc này sẽ là: 
Ta tính :
Ta có:
 (do trái đất đồng tính).
 là bán kính của phần cầu còn lại của trái đất.
Vậy lực hấp dẫn mà vật phải chịu:
Vậy gia tốc trọng trường ở độ sâu h sẽ là:
 .
Bài 41: Một hình trụ đặc có khối lượng m1 = 6 kg, bán kính R xuyên dọc theo một hình trụ đặc. Một thanh nhỏ không khối lượng tì vào các ổ bi. Dùng dây nối một vật m2 = 2kg vào thanh. Hệ đặt trên một mặt phẳng nghiêng góc . Tìm gia tốc của hệ vật biết hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng nghiêng là , trụ lăn không trượt. Bỏ qua sức cản các ổ bi, dây không dãn và không khối lượng, . 
(Trích đề dự tuyển thi Olympic quốc gia 2002)
Giải:
Phương trình định luật II Newton cho vật 1 và vật 2: 
 (1) (bỏ qua ma sát lăn) 
 (2) , 
Cộng (1) và (2): (3)
Trụ lăn không trượt: 
 (4)
Thế (4) vào (3): 
 .
Bài 42: Một vật có khối lượng m = 1kg đặt trên một tấm gỗ rồi cả hai đặt lên mặt sàn nằm ngang. Vật được treo vào một điểm 0 bằng một sợi dây nhẹ đàn hồi, lúc đầu sợi dây có chiều dài tự nhiên l0 = 40cm. Hệ số ma sát trượt giữa vật và tấm gỗ là . kéo từ từ tấm gỗ cho đến khi vật bắt đầu trượt trên gỗ, khi ấy dây lệch khỏi phương thẳng đứng một góc . Tính công của lực ma sát trong hệ quy chiếu gắn với mặt sàn kể từ lúc đầu đến lúc vật bắt đầu trượt g = 10m/s2.
Giải:
 Các lực tác dụng vào vật 
Chiếu lên 0y: 
Chiếu lên 0x: (1)	
Lúc vật bắt đầu trượt lực ma sát nghĩ bằng ma sát trượt:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Gọi k là hệ số đàn hồi của dây: 
Độ dãn của lò xo khi vật bắt đầu trượt:
Công của lực ma sát trong quá trình trên sẽ biến hoàn toàn thành thế năng đàn hồi của sợi dây.
 Vậy:
 .
Bài 43: Trong một quả cầu đồng chất khối lượng 
M bỏn kinh R. Người ta khoột một lỗ hỡnh cầu bỏn 
kớnh R/2. Tỡm lực do quả cầu tỏc dụng lờn vật nhỏ
 m trờn đường nối tõm hai hỡnh cầu, cỏch tõm hỡnh 
cầu lớn một đoăn d như hỡnh vẽ( xem m như một
chất điểm ).
Giải:
Xột lực hấp dẫn của quả cầu tõm o khi chưa khoột và vật m:
Khối lượng phần bị khoột :
 . 
 Lực hấp dẫn do phần bị khoột và vật m sẽ là:
 Nếu khoột m, ta coi như vật m khụng chịu tỏc dụng của phần này. Do đú lực hấp dẫn do phần cầu 0 khi đó khoột cầu và vật m sẽ là:
 .
BUỔI 7,8,9: CHUYấN ĐỀ TĨNH HỌC VẬT RẮN
A- Nhắc lại chất điểm và cõn bằng chất điểm:
 + Chất điểm: Vật được coi là chất điểm khi kớch thước của vật nhỏ so với quóng đường dịch chuyển của nú.
 + Biểu diễn lực tỏc dụng lờn chất điểm cú điểm đặt tại chớnh giữa chất điểm.
 + Điều kiện cõn bằng của chất điểm 
B-Vật rắn: 
I- Điều kiện cõn bằng của vật rắn khụng quay
1) Định nghĩa: Trong cơ học, vật rắn, hay đầy đủ là vật rắn tuyệt đối, là một tập hợp vụ số cỏc chất điểm mà khoảng cỏch giữa hai điểm bất kỳ luụn luụn khụng đổi. Vật thể được xem là vật rắn tuyệt đối khi biến dạng của nú là quỏ bộ hoặc khụng đúng vai trũ quan trọng trong quỏ trỡnh khảo sỏt.
2)Biểu diễn lực tỏc dụng lờn vật rắn 
- Lực tỏc dụng lờn vật rắn biểu diễn dưới dạng vector trượt, tức là cú thể trượt tự do trờn giỏ (phương) của nú.
- Các lực tỏc dụng lờn cùng một vật rắn tạo thành hệ lực. 
-Hệ lực đồng quy là một hệ lực mà cỏc đường tỏc dụng của chỳng đồng quy tại một điểm.
-Theo hệ quả trượt lực, bao giờ ta cũng cú thể trượt cỏc lực đó cho theo đường tỏc dụng của chỳng tới điểm đồng quy của cỏc đường tỏc dụng.
- Hệ lực cõn bằng: Hệ lực cõn bằng là hệ lực khụng làm thay đổi trạng thỏi cơ học của vật rắn. 
3)Vật rắn khụng quay cõn bằng : Vật chịu tỏc dụng cỏc lực đồng quy cú hợp lực bằng khụng
4) Hai lực song song cựng chiều cú hợp lực: 
 + song song cựng chiều F = F1+ F2
 + Giỏ chia trong hai giỏ của thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn
 ( Thanh AB chịu tỏc dụng của : lực tổng hợp cú điểm đặt chia trong đoạn thẳng nối điểm đặt hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn) 
 5) Trọng tõm:
 - Coi vật rắn là 1 tập hợp n phần tử cú trọng lượng P1, P2,  Pn. Cỏc trọng lực Pi tạo thành 1 hệ lực song song, tõm của hệ lực song song này gọi là trọng tõm (khối tõm) của vật.
+Nếu vật đồng chất cú mặt phẳng, trục hoặc tõm đối xứng thỡ khối tõm của vật nằm tương ứng trờn mặt phẳng, trục hoặc tõm đối xứng đú.
+Khối tõm của đĩa trũn chớnh là tõm O của đĩa.
+Khối tõm của hỡnh trụ là trung điểm trục đối xứng.
+Nếu vật là hỡnh vuụng, chữ nhật, hỡnh bỡnh hành thỡ khối tõm chớnh là giao điểm 2 đường chộ