Giáo án Đại số 10 - Bài 3 :Công thức lượng giác

§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Mục tiêu:
 1. Về kiến thức: 
	- Hiểu công thức tính sin, côsin, tang, côtang của tổng, hiệu hai góc.
	- Từ các công thức cộng suy ra công thức góc nhân đôi. 
	- Hiểu công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích.
 2. Về kĩ năng: 
	- Vận dụng được công thức cộng, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trị lượng giác của một góc, rút gọn những biểu thức lượng giác đơn giản và chứng minh một số bất đẳng thức.
	- Vận dụng được công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích vào một số bài toán biến đổi, rút gọn biểu thức.
 3. Về tư duy, thái độ: Biết quy lạ về quen; cẩn thận, chính xác.
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học:
 1. Thực tiễn: Hs đã biết các công thức về: Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt,...
 2. Phương tiện:
 + GV: Chuẩn bị các bảng phụ kết quả mỗi hoạt động, SGK, thước, compa,..
 + HS: Xem bài trước ở nhà, SGK, ...
III. Gợi ý về PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư duy.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động:
 1. Ổn định lớp:
 2. Kiểm tra bài cũ:
	* Tiết 60: Kiểm tra 15 phút:
Câu 1.Biết và . Tính các giá trị lượng giác còn lại.
Câu 2.Tính . a) 	b) 
Câu
ĐÁP ÁN
Điểm
1
Ta có: 
Vì nên vậy .
Ta có: 
2
0,5
0,5
1,5
1,5
2
a) 
b) 
2
2
	* Tiết 61: Viết công thức cộng và công thức nhân đôi ? Tính sin ( Đs: )
 3. Bài mới:
Nội dung, mục đích
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Tiết 60:
HĐ1: Giới thiệu công thức cộng:
I. Công thức cộng:
cos( a - b) = cosacosb + sinasinb
cos( a + b) = cosacosb – sinasinb
sin( a - b) = sinacosb – cosasinb
sin( a + b) = sinacosb + cosasinb
tan( a - b) = 
tan( a + b) = .
Với điều kiện là các biểu thức trên có nghĩa.
* Ta cm ct thứ 2
 cos( a + b) = cos[a-(-b)]
 = cosacos(-b) + sinasin(-b)
 = cosacosb – sinasinb 
* Ta cm ct thứ 3
 sin( a - b) = cos [(-a) +b]
 = cos(- a)cosb - sin(-a)sinb
 = sinacosb + cosasinb.
* Tính cos() ?
* Phân tích thành tổng (hiệu) của 2 góc đặc biệt ?
Dán bảng phụ công thức
* Ta thừa nhận công thức đầu tiên.
* Nêu cách cm 1 đẳng thức ?
+ Ta cm công thức thứ hai: Áp dụng ct thứ 1
+ Áp dụng ct 2 cung phụ nhau
* HĐ1SGK: Hãy cm c.thức:
sin( a + b) = sinacosb + cosasinb ?
+ Ta áp ct thứ 3
+ Ta có thể áp dụng ct cung phụ và ct thứ 1
* = - 
* Hs quan sát
* Hs trả lời câu hỏi mà GV đặt ra trong quá trình cm
* Học sinh trả lời:
sin( a + b) = sin[a - (-b)]
= sinacos(-b) - cosasin(-b)
= sinacosb + cosasinb.
 (đpcm)
HĐ2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức cộng tính các giá trị lượng giác và chứng minh các đẳng thức lượng giác:
VD1: Tính tan.
Giải:
Ta có: tan = tan( + )
 = tan 
 = tan ( - ) 
 = 
 = .
VD2: Chứng minh rằng:
= 
Giải:
Ta có:
 = 
 = 
 = (đpcm). 
* Gv đưa vd1
* tan() = ?
* Phân tích về dạng ?
tan( + ) = ?
* Phân tích về tổng, hiệu của hai cung đặc biệt?
* Có dạng ct nào ?
* Gv đưa vd1
* Cách cm 1 đẳng thức ?
 = ?
Chia hai vế cho cosacosb ta được?
* Tính nhanh
A = sincos + cossin
* Hs tìm hiểu đề
* = tan
* + 
 = tan 
* = - .
* Ct thứ 5
* Hs tính
* Hs tìm hiểu đề
* Hs phát biểu 
* A = sin(+) = sin=1
HĐ3: Giới thiệu công thức nhân đôi:
II. Công thức nhân đôi:
Cho a = b trong công thức cộng ta được công thức nhân đôi sau: 
 sin2a = 2sinacosa
 cos2a = cos2a – sin2a
 = 2cos2a-1 
 = 1 – 2sin2 a
 tan2a = .
Từ công thức nhân đôi ta suy ra công thức hạ bậc sau:
cos2a = 
sin2a = 
tan2a = 
* Thế b = a trong các công thức cộng ta được gì?
* sin2a + cos2a = 1 . Tìm cos2a theo cos2a ( sin2a)?
* sin3 = ?
* sin3a = 3sinacosa ?
* cos3a = cos3a – sin3a ?
Từ : cos2a = 2cos2a-1 ,
 cos2a = 1 – 2sin2 a
Tìm cos2a, sin2a theo cos2a?
Từ công thức vừa tìm được tìm tan2a?
* Học sinh trả lời.
* sin3 = 2 sin.cos
* Không
* Không
cos2a = 
sin2a = 
tan2a = 
 = .
HĐ4: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức nhân đôi và công thức hạ bậc tính các giá trị lượng giác:
VD1: Biết sina + cosa = , tính sin2a.
Giải:
Ta có: 
 1 = sin2a + cos2a 
 = (sina + cosa)2 – 2sinacosa
 = ()2 - sin2a.
 sin2a = -1 + = -.
VD2: Tính cos.
Giải
Ta có: cos2 = = 
 = = 
Vì 0 0.
 	cos = 
* Gv đưa vd
* Tìm mối quan hệ của sina + cosa và sin2a?
sin2a + cos2a = ? 
 Tìm sin2a?
* Cung và cung đặc biệt nào để ta có thể sử dụng 1 trong 2 công thức trên?
cos2 =?
Vì 0 < < 
 nên cos > 0 ?
* Hs tìm hiểu đề
* sin2a + cos2a 
= (sina + cosa)2 – 2sinacosa
 = ()2 - sin2a.
sin2a + cos2a = 1.
 sin2a = -.
và , ta sử dụng công thức hạ bậc.
cos2 = 
 = 
 cos = 
Tiết 61:
III. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích:
HĐ1: Giới thiệu công thức biến đổi tích thành tổng:
1. Công thức biến đổi tích thành tổng:
 cosacosb = [cos(a - b) + cos(a+b)]
 sinasinb = [cos(a - b) - cos(a+b)]
 sinacosb = [sin(a - b) + sin(a+b)]
Các công thức trên gọi là công thức biến đổi tích thành tổng.
* Viết 4 ct cộng đầu tiên ?
HĐ2 SGK: Từ các công thức cộng hãy suy ra các công thức trên.
* Gv hướng dẫn hs cm những công thức trên.
cos(a - b) + cos(a+b) = ?
cos(a - b) - cos(a+b) = ?
sin(a - b) + sin(a+b) = ?
* Hs lên bảng
* Hs trả lời:
* cos(a - b) + cos(a+b)
 = cosacosb + sinasinb
 + cosacosb – sinasinb
 = 2cosacosb
cosacosb 
 = [cos(a - b) + cos(a+b)]
Tương tự:
cos(a - b) - cos(a+b)
 = 2sinasinb.
 sinasinb 
 = [cos(a - b) - cos(a+b)]
Và : sin(a - b) + sin(a+b)
= 2sinacosb
sinacosb = 
 [sin(a - b) + sin(a+b)]
HĐ2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng tính giá trị biểu thức:
VD: Tính giá trị của các biểu thức:
A = sincos, B = sinsin
Giải:
* Ta có:
 A = [sin(- ) + sin(+)]
 = [sin(-) + sin] 
 =[-sin+ sin] 
 = [- + 1]
 = (1 - ).
* Ta có:
B = [cos( - ) - cos( + )]
 = [cos - cos] 
 = (cos - cos)
 = [cos + cos]
 = [+ ].
* Gv cho vd
* Biểu thức A có dạng gì ? Xđ a và b ?
* Gọi hs thực hiện
 và - là 2 cung gì ?
* Biểu thức B có dạng gì ? Xđ a và b ?
 và là 2 cung gì ?
* Tìm hiểu đề
* Có dạng sinacosb 
với a = , b = 
* Hs giải như cột nd
+ Áp dụng ct
+ Thu gọn
+ Cung đối
* Có dạng sinasinb 
với a = , b = 
* Hs giải như cột nd
+ Áp dụng ct
+ Thu gọn
+ Cung bù
HĐ3: Giới thiệu công thức biến đổi tổng thành tích:
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
 cosu + cosv = 2coscos
 cosu - cosv = -2sinsin
 sinu + sinv = 2sincos
 sinu - sinv = 2cossin
* VD(HĐ3): Bằng cách đặt
 u = a- b, v = a+b, hãy biến đổi: cosu + cosv, sinu + sin v thành tích.
 * Từ u = a - b, v = a + b tìm a, b theo u và v?
Thế vào công thức biến đổi tích thành tổng và sd cung đối
* Gv hd cm 2 ct còn lại
* sinacosb = [sin(a - b) - sin(a+b)]
2sincos= 
sinu + sinv
* Áp dụng ct thứ 3 cm ct thứ 4
* Hs trả lời:
u = a- b, v = a+b.
a = , b = -
* cosacosb = [cos(a - b) + cos(a+b)]
2coscos = cosu + cosv
* sinasinb = [cos(a - b) - cos(a+b)]
-2sinsin = cosu - cosv
* Hs cùng GV cm
* sinu - sinv = sinu + sin(-v)
= 2sincos
+ 2cossin
HĐ4: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích tính giá trị biểu thức và chứng minh hệ thức lượng giác:
VD: Tính A = cos + cos + cos
Giải:
Ta có: A = (cos + cos)+ cos 
 = 2coscos - cos
 = 2.coscos - cos 
 = 2.cos - cos = 0. 
VD: Cmr trong tam giác ABC ta có:
 sinA + sinB + sinC = 4 coscoscos
Giải:
Ta có: A + B + C = .
Nên sin = cos , cos= sin .
Ta có:
 sinA + sinB + sinC
 = 2sincos+ 2 sincos
 = 2coscos+ 2 sincos
 = 2cos(cos+ sin)
 = 2cos(cos+ cos)
 = 4 coscoscos (đpcm)
* Gom hai số hạng thứ 1 và 3, rồi sử dụng công thức biến tổng thành tích?
* Gọi hs tính
+ , là 2 góc gì ?
* Cách cm đẳng thức ?
* Tổng 3 góc trong 1 tam giác là bao nhiêu?
* , là hai góc? Suy ra?
* Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi?
* Tìm hiểu đề và nghe hd
* Hs áp dụng ct như cột nd 
+ Công thức hai góc bù nhau.
* Hs phát biểu
* A + B + C = 
* Phụ nhau.
sin = cos ,
 cos= sin.
* Hs áp dụng như cột nd
 4. Củng cố:
	- Nắm vững được công thức tính sin, côsin, tang, côtang của tổng, hiệu hai góc, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trị lượng giác của một góc, rút gọn những biểu thức lượng giác đơn giản và chứng minh một số bất đẳng thức.
	- Nắm vững được công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích vào một số bài toán biến đổi, rút gọn biểu thức.
 5. Dặn dò:
	+ Làm bài tập 1 đến 8 SGK tr 153 đến 155.
	+ Làm bài tập SGK tr 159 đến 162.
	+ Đọc bài đọc thêm tr 158 SGK.
	+ Ôn tập từ bài: Bất pt và hệ bpt 1 ẩn đến nay.