Giáo án Đại số và giải tích 11 - Chương 2: Tổ hợp – xác suất

Chương 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Các dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Chọn số
Cần xác định kỹ yêu cầu của đề bài
là số chẵn khi tận cùng là 0;2;4;6;8
là số lẻ khi tận cùng là 1;3;5;7;9
đôi một khác nhau nghĩa là tất cả các chữ số của số đó đều khác nhau
đối với bài toán có số 0 cần lưu ý số 0 không được đứng đầu
VD1: Cho các số 0;1;2;3;4;5;6. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau:
	Phân tích đề: 4 chữ số khác nhau đôi một tức là có 4 chữ số khác nhau
	Giải: Gọi số cần tìm là abcd (a≠b≠c≠d)
Khi đó a có 6 cách chọn (vì có tất cả 7 số mà số 0 không được đứng đầu nên còn 6 số)
	 3 vị trí còn lại có: A63 cách chọn (Vì có 6 số sắp xếp cho 3 vị trí khác nhau nên dùng chỉnh hợp). 
	Vậy có 6. A63 =720 số thỏa mãn bài toán
Số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3
Số chia hết cho 4 khi 2 số tận cùng của số đó chia hết cho 4
Số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0;5
Tránh nhầm lẫn giữa số chẵn và số có các chữ số toàn là số chẵn
VD2: 578 là số chẵn, 246 là số có các chữ số đều là số chẵn
Dạng 2: NHỊ THỨC NEWTƠN
Công thức khai triển số hạng thứ k+1 trong khai triển của (a+b)n
	Tk+1=Cnk.an-k.bk
Cần phân biệt được số hạng và hệ số.
VD3: Cho khai triển như sau : (x+3)3=x3+9x2+27x+27
Khi đó ta có: 9x2 là 1 số hạng của khai triển (cụ thể là số hạng thứ 3 kí hiệu là T3)
	9 là hệ số của số hạng thứ 3 (tức là hệ số của số hạng 9x2).
Cần đọc kỹ đề bài xem yêu cầu tìm hệ số hay là số hạng
Đối với cả tìm hệ số và số hạng ta đều có các bước làm như sau:
1.Viết công thức số hạng thứ k+1 của khai triển và thu gọn. Lưu ý sắp xếp hệ số đứng trước.
2. Tìm k bằng cách giải phương trình dựa vào yêu cầu của bài toán
3. Trả lời yêu cầu của bài toán.
Các công thức cần nhớ để vận dụng:
am.an=am+n
am/an=am-n
(a.b)m=am.bm
(ab)m
(am)n=am.n
1α=1 ∀α ϵ R
(-1)k=[1 nếu k chẵn-1 nếu k lẻ
VD4: Tìm hệ số của x8 trong khai triển của P(x)=(3x-2)15
Phân tích đề: Yêu Cầu tìm hệ số của x8. Ở đây a=3x và b=-2
Giải: Công thức số hạng thứ k+1 trong khai triển của P(x) là:
Tk+1 =C15k.(3x)15-k.(-2)k
=C15k.315-k.(-2)k.x15-k
Để có x9 thì: 15-k=8 ⟺ k=7
Vậy hệ số của x9 cần tìm là: C157.38.(-2)7=-5404164480.
VD5: Tìm số hạng chứa x9y16 trong khai triển của P=(2x3-5y4)7
Phân tích đề: yêu cầu tìm số hạng, ở đây a=2x3, b=-5y4
Giải: 
Công thức số hạng thứ k+1 trong khai triển của P là:
Tk+1=C7k.(2x3)7-k.(-5y4)k
	= C7k.27-k.(-5)k.x21-3k.y4k
Để có x9y16 thì: [21-3k=94k=16 ⇔ k=4
Vậy số hạng cần tìm là: T5= C74.23.(-5)4.x9.y16 = 175000 x9y16.
Dạng 3: Các bài toán về tổ hợp,chỉnh hợp và hoán vị
Cần nhớ công thức và cách dùng.
Hoán vị: Pn=n(n-1)(n-2)1
Chỉnh hợp: Ank=n!n-k!
Tổ hợp: Cnk=n!n-k!k!
Dạng toán giải phương trình cần thực hiện theo các bước:
Tìm điều kiện cho n. (0≤k≤n và n∈N)
Sử dụng công thức để khai triển sau đó đơn giàn và thu gọn đưa về phương trình bậc 2, bậc 3 => giải tìm n.
So sánh với điều kiện để nhận, loại nghiệm.
Kết luận
Ví dụ 6: giải phương trình : : 2Cn4=5Cn6. (1)
Giải: 
ĐK: n∈N; n≥6
(1)⇔ 2.n!n-4!4!=5.n!n-6!6!
ó 2n-4(n-5)=55.6
ó (n-4)(n-5)=12
ó n2-5n-4n+20=12
ó n2-9n+8=0
ó [n=1 (loại)n=8 (nhận)
Đáp số: n=8
Dạng 4: Xác Suất
Muốn tính xác suất của một biến cố A ta cần thực hiện:
1.Đếm số phần tử của không gian mẫu |Ω|
2.Đếm số phần tử của A |ΩA|
3.Tính xác suất dựa vào công thức P(A)=ΩA|Ω|
VD7: 1 hộp có chứa 15 viên bi, trong đó có 9 trắng và 6 đỏ.Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất:
a) 3 viên bi chọn được là màu đỏ
b) 3 viên bi chọn được có cả 2 màu
Giải. 
Số phần tử của không gian mẫu |Ω|=C153
a) Gọi A là biến cố: “3 viên bi chọn được có mảu đỏ”
Số phần tử của A là: |ΩA|=C63
Xác suất cần tìm là P(A)=C63C153=491
b)Gọi B là biến cố: “3 viên bi chọn được có cả hai màu”
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: chọn được 2 bi trắng, 1 bi đỏ có: C92.C61=216 cách chọn
TH2: chọn được 1 bi trắng và 2 bi đỏ có: C91.C62=135 cách chọn
Vậy số phần tử của B là:|ΩB|=216+135=351
Xác suất của B là: P(B)= 351C153=2735.