Giáo án Hình học 11 mới theo hướng phát triển năng lực

ộ số thóc có trong vương quốc cộng với toàn bộ số thóc của các nước lân bang cũng không đủ để thưởng cho nhà phát minh.
Như đã nói trên, quân cờ dần dần được cách điệu hóa và luật chơi cũng hình thành rõ ràng. Nói đúng ra thì luật lệ trò chơi ấy lúc bấy giờ còn đơn giản hơn nhiều so với bây giờ. Các nhà khảo cổ đã khai quật và tìm được những quân cờ nguyên dạng thời đó. Các nhà nghiên cứu ngôn ngữ,văn học cũng đã tìm được những văn bia, bản chép tay, tuy ít ỏi song cũng khá đầy đủ để chứng minh được sự ra đời của trò chơi trí tuệ xuất hiện đầu tiên trên đất nước này.
Ví dụ trong quyển trường ca bằng thơ nhan đề “Vaxavađata” của nhà thơ Xabar, viết bằng tiếng Phạn vào cuối thế kỷ thứ 6 đầu thế kỷ thứ 7, có một đoạn miêu tả, so sánh một cách dí dỏm: “Ôi, mùa mưa đóng vai trò như một ván cờ, mà quân cờ là những con ếch xanh, những con ếch vàng đang nhảy nhót trong khu vườn muôn màu hoa lá”. 
Tên bài:5 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh . Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm tôn lại như hình bên để được một cái hộp không nắp. Làm thế nào để gấp thành hình hộp chữ nhật có thể tích khối hộp lớn nhất.
A. GIỚI THIỆU
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4km. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Liệu chúng ta có tìm được điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. 
Trong thực tế có rất nhiều bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Để giải quyết loại bài toán trên ta nghiên cứu bài học: “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ”.
B. NỘI DUNG CHÍNH
I. ĐỊNH NGHĨA
Bước 1. Tiếp cận kiến thức
Bài toán 1. Cho hàm số có đồ thị hình bên. Nhìn vào đồ thị tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên .
Hướng dẫn:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: .
 Hàm số không có giá trị lớn nhất trên . 
Bài toán 2.	
Hướng dẫn: Điểm có tung độ lớn nhất là . Ta có: 
Nội dung
Gợi ý
Bước 2. Hình thành kiến thức
I. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên tập .
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu 
Kí hiệu: 
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu 
Kí hiệu: 
Bước 3. Củng cố (định nghĩa)
Ví dụ 1. Hàm số có bảng biến thiên:
a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng .
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng .
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên .
II. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn
1. Định lí
Bước 1. Tiếp cận kiến thức
* Hàm số trên đoạn có bảng biến thiên:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Nội dung
Gợi ý
Bước 2. Hình thành kiến thức
1. Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn đó.
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn
Quy tắc:
+ Tìm các điểm trên khoảng , tại đó bằng 0 hoặc không xác định.
+ Tính .
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: 
Bước 3. Củng cố
Ví dụ 2. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn .
Ví dụ 3. Cho là hai số không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Ta có: 
Khi đó: 
III. LUYỆN TẬP 
Bài 1-3/SGK-trang 23,24.
IV. VẬN DỤNG
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh . Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm tôn lại như hình bên để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất?
Giải:
Gọi x là độ dài của cạnh hình vuông bị cắt .
Thể tích của khối hộp là:
.
Bài toán trở thành tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: .
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy trong khoảng hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại nên tại đó có giá trị lớn nhất: .
x
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4km. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. 
Giải:
	Đặt ,. 
Chi phí dây điện từ tới : . 
Ta đi tìm .
. 
Vậy điểm S cách điểm A 3,25(km) thỏa mãn yêu cầu bài toán
	Một sợi dây kim loại dài được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai được uốn thành hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Tìm độ dài cạnh của tam giác đều (tính theo đơn vị ) sao cho tổng diện tích của tam giác và hình chữ nhật là nhỏ nhất
A. .	B. .	C. .	D. .
Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?
	A. (m).	B. (m).	C. (m).	D. (m). 
Bạn Hoa đi từ nhà ở vị trí đến trường tại vị trí phải đi qua cầu từ đến rồi từ đến trường. Trận lũ lụt vừa qua cây cầu bị ngập nước, do đó bạn Hoa phải đi bằng thuyền từ nhà đến vị trí nào đó ở trên đoạn với vận tốc sau đó đi bộ với vận tốc đến . Biết độ dài . Hỏi muộn nhất mấy giờ bạn Hoa phải xuất phát từ nhà để có mặt ở trường lúc phút sáng kịp vào học 
A. phút.	B. phút.	
C. phút.	D. phút.
V. TÌM TÒI SÁNG TẠO
---------Hết---------
Tiết 6. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
 A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất r = 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu năm ông A thu được 200 triệu đồng.?
Đáp án:	 
 A. 5 năm B. 7 năm
 C. 9 năm D. 11 năm
Như ta đã biết, công thức tính lãi kép của ngừời gửi tiết kiệm sau n năm là :
. Vậy để biết được số năm ông A cần gửi ta có phương trình:
.
Phương trình (*) gọi là phương trình mũ, Việc tìm n chính là việc giải phương trình mũ.
Bài học hôm nay sẽ giúp các em hiểu được như thế nào là pt mũ và cách giải nó?
B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
I.PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
1. Phương trình mũ cơ bản.
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
Học sinh xem vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số và y= b? trên hai hình bên. Trong trường hợp chúng cắt nhau hãy cho biết hai đồ thị cắt nhau tại điểm có tọa độ bằng bao nhiêu?
làm thế nào ta tìm được tọa độ giao điểm đó?
Trong hình hai hai đồ thị không cắt nhau, điều đó cho ta biết được điều gì?
Và phương trình (2) gọi là phương trình mũ cơ bản?
 Vậy pt mũ cơ bản có dạng gì? 
Nghiệm của nó?
Hai đồ thị ở hình 1 cắt nhau.
Tọa độ giao điểm là 
Ta tìm x sao cho .(2)
Pt dạng: 
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Phương trình mũ cơ bản là phương trình có dạng:
 trong đó a, b là các số đã biết và 
Nếu b>0 pt có nghiệm duy nhất: 
Nếu b £ 0: phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ: Giải phương trình: a) 
+) HĐ3: Củng cố.
GỢI Ý
Nghiệm của phương trình là:
A. B. 
C. Không có giá trị x D.
 Ta có :, pt vô nghiệm.
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản.
a) Đưa về cùng cơ số
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
Cho f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (a,b), hỏi có thể tìm hai số khác nhau sao cho hay không?
Có bao nhiêu giá trị x để ?
Nếu thì 
Nhận thấy, hàm số là hàm số đồng biến trên , do đó .
Vậy có duy nhất giá trị x để là x=2.
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Ví dụ: Giải phương trình 
 Û x = 1
+) HĐ3: Củng cố.
GỢI Ý
Giải phương trình mũ sau: (3)
Không thể đưa về cùng cơ số được
b. Đặt ẩn số phụ
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
Nhận xét mối liên hệ giữa phương trình (3) và phương trình: .
Dạng của pt (3) với 
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Để giải phương trình dạng:, ta đặt , t> 0 ta được phương trình:, (4), giải phương trình (4) được kết quả theo t chọn giá trị t>0, sau đó thay vào phương trình để tìm x.
Ví dụ: Giải pt .
Đặt ta được pt: .
 loại (t>0)
.
+) HĐ3: Hoạt động củng cố.
GỢI Ý
Cho PT: (4), đặt được pt: (4’).
Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Phương trình (4’) luôn có hai nghiệm phân biệt.
B. Nếu Phương trình (4’) có hai nghiệm phân biệt thì pt(4) có nghiệm.
C. Nếu phương trình (4’) có ít nhất một nghiệm dương thì pt(4) có nghiệm.
D. Nếu phương trình (4’) có 2 nghiệm thì pt(4) có 2 nghiệm.
Pt(4’) có nghiệm thỏa t>0 thì pt (4) mới có nghiệm
c. Logarit hóa 
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
Cho biểu thức :. Khẳng định nào sau đây là Sai.
A. 
B. 
C. 
D. 
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Để giải phương trình , bằng cách lấy logảit cơ số 3 hai vế ta được pt: , đây là phương trình bậc hai ẩn số x. Cách thực hiện như vậy gọi là phương pháp logảit hóa.
+) HĐ3: Hoạt động củng cố.
GỢI Ý
Có thể lấy logảit bằng cơ số khác hay không?
Có . Chẳng hạng cơ số 2.
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.
Bài toán.
GỢI Ý
1. Tập nghiệm của phương trình là:
	A). {4; - 2}.	B). {- 4; 2}.	C). {- 5; 3}.	D). {5; - 3}.
 C). {- 5; 3}.	D). {5; - 3}.
2. Tập nghiệm của phương trình 3x + 33 - x = 12. là :
	A). {1, 2}.	B). {- 1, 2}.
 C). {1, - 2}.	D). {- 1, - 2}.
D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.
Bài toán 1.
GỢI Ý
Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất
 r = 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu năm ông A thu được 300 triệu đồng.?
Vậy sau 9 năm ông A có được số tiền 200 triệu đồng.
Bài toán 2.
GỢI Ý
Chị Thanh mua nhà giá 300 triệu đồng với hình thức trả góp, như sau: cuối mỗi tháng kể từ tháng thứ nhất chị thanh trả 5.500.000 đ và chịu lãi suất số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng Chị Thanh trả hết nợ.
Cuối tháng thứ nhất chị thanh còn nợ số tiền là:.
Cuối tháng thứ 2 chị thanh còn nợ số tiền là:
..
Cuối tháng thứ n chị thanh còn nợ số tiền là:
 .
Do đó chị thanh trả hết nợ khi .
Thay A=300.000.000, a=5.500.000, r=0,005 ta được :
Vậy sau 64 thánh chị Thanh trả hết nợ.
E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
 Bai 7 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO VIỆC 
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
 A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.	
 Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng cửa sắt có giá 900.000. Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy?
 Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH.
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
HĐ1.1. Nêu công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x=a, x =b, trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a;b].
HĐ1.2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5.
a) Dùng công thức hình học tính diện tích hình phẳng.
b) Tính tích phân sau 
HĐ1.3. Trong HĐ1.2 nếu thay hàm số y = 2x + 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thì diện tích của nó thay đổi như thế nào?
o
Diện tích không đổi.
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Từ kết quả trên, ta có
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x =a, x=b được tính theo công thức
Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = 3.
Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x, trục hoành, trục tung và đường thẳng 
+) HĐ3: Củng cố.
GỢI Ý
HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 	
B. 
C. 
D. 
HĐ3.2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x = -2 và x = 4.
HĐ3.3. Cho :. Giá trị sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, có diện tích bằng 4 là:
A. .	B. .	C. .	D. .
HĐ3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; ; bằng . Khi đó giá trị của là: 
A. .	B. .	C. .	D. .
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG.
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
HĐ1.1. Diện tích hình phẳng (phần tô màu) ở các hình dưới đây được tính như thế nào? 
Có thể tính S thông qua S1 và S2 không? 
và tính như thế nào?
Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 "x Î [a;b]. 
Khi đó S = S1 - S2 
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Từ kết quả trên, ta có
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức 
Ví dụ 1. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 4, y = -x2 – 2x, và hai đường thẳng x = -3 , x = -2
 Ví dụ 2. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 – 4 và y = -x2 – 2x
+) HĐ3: Củng cố.
GỢI Ý
HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 
B. 
C. 
D. 
HĐ3.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 
A. 	B. 	
C. 	D. 
HĐ3.3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
HĐ3.4. Tính dieän tích hình troøn x2 + y2 = R2
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. 
Bài toán.
GỢI Ý
Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tìm m sao cho S = 48
A. m = 4	B. m = 6	
C. m = 8	D. m = 10
Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs y = cosx , y = sinx và 2 đt x = 0 , x = π.
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs 
D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG. 
Bài toán 1. Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng cửa sắt có giá 900.000. Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy?
Gợi ý:
Giả sử parabol có phương trình 
Đi qua nên ta có hệ phương trình:
Bài toán 2. Ông A có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải dất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
Gợi ý:
Giả sử elip có phương trình . Từ giả thiết ta có 
Vậy phương trình của elip là: 
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường (E1); (E2); và diện tích của dải vườn là 
Khi đó số tiền 
Bài toán 3. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)
 Gợi ý:
+ Diện tích khung cửa bằng tổng diện tích hình chữ nhật và diện tích của phần parabol phía trên 
 + Diện tích hình chữ nhật là 
Gọi đường cong parabol có phương trình 
Đường cong có đỉnh suy ra: 
Đường cong đi qua điểm: 
Phần diện tích tạo bởi parabol và đường thẳng là: 
 đồng
E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.
Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.
J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học.
Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.
Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f trên đoạn [a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một tổng:  (1). Về sau hiệu  được kí hiệu lại là  (do chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu số”), kí hiệu tổng số  cũng như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”), dấu tích phân  là một biến dạng đơn giản của chữ S. Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệu là .
Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b
Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy tổng của chúng lại với nhau. Xét  và  sao cho . Với  đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng  và  là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm  và , cũng do  nhỏ, ta xem đoạn thẳng này thuộc tiếp tuyến tại  của . Như vậy độ dài  của đoạn thẳng nối 2 điểm  và  được tính bằng , trong đó  là góc tạo bởi tiếp tuyến tại  của  và trục Ox nên . Tóm lại 
Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong  đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng  và  là
§8. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxyz
TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ Oxyz
TÒA NHÀ TRỤ SỞ LIÊN HỢP QUỐC
 CẦU THANG RUỘNG BẬC THANG
 Ta đã biết tọa độ của điểm, tọa độ của véc tơ trong không gian, vậy với mặt phẳng thì biểu diễn dưới dạng tọa độ thế nào? 
B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG.
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
Mối quan hệ giá của véc tơ với mặt phẳng (a).
Giá của véc tơ thế nào với mặt phẳng (a)?
Vuông góc với (a).
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Định nghĩa. 
 Cho mặt phẳng (a). Nếu véc tơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng (a) thì gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (a).
+) HĐ3: Củng cố.
GỢI Ý
HĐ3.1. Chọn câu trả lời đúng?
HĐ3.2. Một mặt phẳng có bao nhiêu véctơ pháp tuyến?
Chú ý: Nếu là VTPT của (P) thì (k ¹ 0) cũng là VTPT của (P).
BÀI TOÁN. (TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ)
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
 Trong không gian Oxyz cho hai véctơ 
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng . 
 Biết 
HĐ1.1. Tính và kết luận về giá của vectơ với giá của vectơ ?
HĐ1.2. Tính và kết luận về giá của vectơ với giá của vectơ ?
HĐ1.3. So sánh vectơ và vectơ ?
HĐ1.4. Biết hai véctơ 
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng và
. Khi đó có kết luận gì mối quan hệ giữa và mp (a). Vì sao ?
+) HĐ2: Hình thành kiến thức: Tích có hướng của hai véctơ. 
 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và hai véctơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng . Khi đó
là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Ghi chú. 
Véc tơ xác định như trên gọi là tích có hướng (hay tích véc tơ) của hai véc tơ và , ký hiệu là hoặc .
Tích vô hướng của hai véc tơ có kết quả là 1 số, 
 tích có hướng của hai véc tơ có kết quả là 1 vectơ.
+) HĐ3: Củng cố.
GỢI Ý
HĐ3.1. Cho hai véctơ và thì
A. 
B. 
C. 
D. 
B. 
HĐ3.2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Hãy tìm tọa độ của một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
(1;2;2)
HĐ3.3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Khi đó tọa độ của ba điểm này có thỏa mãn phương trình 
x + 2y + 2z – 6 = 0
không?
 Ta nói phương trình trên là phương trình của mặt phẳng (ABC), vậy phương trình mặt phẳng có tồn tại.
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG.
+) HĐ1: Khởi động.
GỢI Ý
HĐ1.1. Trong không gian Oxyz, cho điểm và khác . 
Khi đó có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm véc tơ pháp tuyến?
Điều kiện cần và đủ để điểm thuộc mặt phẳng là gì?
Ta có 
M Î (P) Û Û
HĐ1.2. Trong không gian Oxyz, cho điểm thỏa mãn phương trình (trong đó các hệ số không đồng thời bằng 0). Chứng minh tập hợp các điểm là một mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến .
 Do các hệ số không đồng thời bằng 0 nên ta chọn điểm sao cho .
Gọi là mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm véc tơ pháp tuyến. Ta có:
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Định nghĩa. 
 Phương trình có dạng , trong đó các hệ số không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét. 
a) : Þ có một véc tơ pháp tuyến là .
b) Phương trình của mặt phẳng qua và có véc tơ pháp tuyến là:
+) HĐ3: Củng cố.
GỢI Ý
HĐ3.1. Hãy tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
HĐ3.2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng với
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là 
HĐ3.3. Cho mặt phẳng : .
Nếu thì vị trí tương đối của gốc tọa độ O và là gì?
HĐ3.4. Cho mặt phẳng : .
Nếu thì vị trí tương đối của trục Ox và là gì?
(tương tự với hoặc )
HĐ3.5. Cho mặt phẳng : .
Nếu thì vị trí tương đối của mặt phẳng (Oxy) và là gì?
HĐ3.6. Cho mặt phẳng : .
Khi các hệ số A, B, C, D đều khác 0 hãy xác định giao điểm của và các trục tọa độ?
cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ là 
(a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c).
Nhận xét: Nếu các hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì có thể đưa phương trình của (P) về dạng: 	(*)
(*) đgl phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.
Bài toán.
GỢI Ý
 Đọc tất cả các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABB’A’) trong hình vẽ sau: 
 Tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, với A(2; 1; 1), B(2; –1; –1).
 Cho , . Tính 
 Xác định một VTPT của các mặt phẳng:
a) 
b) 
Lập phương trình c