Giáo án Hình học khối 11 - Bài 1: Giải tích tổ hợp

Chương II: TỔ HỢP - XÁC SUẤT
Bài 1: GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A hoặc B. Phương án A có thể thực hiện bởi m cách ; phương án B có thể thực hiện theo n cách. Khi đó, công việc có thể thực hiện bởi m + n cách.
Mở rộng: Nếu một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án. Phương án thứ j có thể thực hiện bởi nj cách j=1,2,,k. Khi đó, công việc có thể thực hiện bởi n1+n2++nk cách .
Cho tập hợp A có n phần tử, kí hiệu NA=n.
Nếu A∩B=∅⇒NA∪B=NA+NB (1)
Nếu A∩B≠∅⇒NA∪B=NA+NB-NA∩B (2) 
Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo m cách, công đoạn B có thể làm theo n cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo m.n cách.
Mở rộng: Nếu một công việc nào đó bao gồm k công đoạn. Công đoạn thứ j có thể làm theo nj cách j=1,2,,k. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n1.n2..nk cách.
NA.B=NA.NB (3)
Chú ý: Khi giải các bài toán về phép đếm, người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây:
PP trực tiếp: là PP giải thẳng vào các yêu cầu bài toán đặt ra, nói một cách nôm na "hỏi gì, đếm nấy".
PP gián tiếp: dựa trên nguyên lí "đếm những cái không cần đếm, để biết những cái cần đếm". Đó chính là phép lấy phần bù.
Số phần tử của tập hợp A kí hiệu là: A
Phép đếm không lặp: mỗi phần tử cần đếm chỉ xuất hiện tối đa 1 lần, không có sự lặp lại.
Phép đếm có lặp: mỗi phần tử cần đếm có thể xuất hiện nhiều lần. Để giải các bài toán về phép đếm có lặp, người ta quy về phép đếm không lặp.
Dạng 1: Sử dụng quy tắc đếm
Cần phân biệt 2 hành động
Xảy ra độc lập: Quy tắc cộng (hay/ hoặc)
Xảy ra liên tiếp: Quy tắc nhân (và)
B1: Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó?
B2: Trong một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 em giỏi Toán, 14 em giỏi Văn và 10 em không giỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả Văn lẫn Toán?
B3: Chợ Bến Thành có bốn cửa Đông, Tây, Nam, Bắc. Một người đi chợ (đi vào mua hàng rồi đi ra). Hỏi có bao nhiêu cách đi vào và đi ra biết rằng khi vào và ra phải đi hai cửa khác nhau?
B4: Một lớp học có 18 học sinh nam và 20 học sinh nữ.
Nếu GVCN chọn một HS tham dự trại thì có bao nhiêu cách chọn?
Nếu GVCN chọn một HS nam và một HS nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
B5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có sáu chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
Hoán vị: 1 phép hoán vị của n phần tử là một sự sắp xếp theo một thứ tự nhất định của n phần tử đó.
Số phép hoán vị của n phần tử là: Pn=n!=1.2.3.n (4)
Chỉnh hợp: Gọi NA=n. Cho 1≤k≤n
Một phép chỉnh hợp chấp k của n phần tử là một sự sắp xếp theo một thứ tự nhất định của k phần tử lấy trong số n phần tử đã cho (hay là một cách sắp xếp thứ tự k phần tử khác nhau).
Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử là: Ank=n!n-k!=nn-1n-2n-k+1 (5)
Chú ý: Quy ước: 0!=1; Pn=Ann=n!
Tổ hợp: Gọi NA=n. Cho 1≤k≤n
Một phép tổ hợp chập k của n phần tử là một sự sắp xếp tùy ý của k phần tử lấy trong số n phần tử đã cho: nói cách khác, một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp A.
Số phép tổ hợp chập k của n phần tử là: Cnk=n!k!n-k!=nn-1n-2n-k+1k! (6)
Các tính chất: 
 Ank=k!Cnk ; An0=1 ; Cnk= AnkPk; (7)
 Cnk=Cnn-k ; Cn0=Cnn=1 ; Cn-1k-1+Cn-1k=Cnk đúng với mọi n≥k≥1.
Chú ý: 
Tổ hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử mà "không quan tâm" đến thứ tự sắp xếp.
Chỉnh hợp là cách chọn k phần tử trong n phần tử và "có quan tâm" đến thứ tự sắp xếp.
Dạng 2: Tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Chú ý: Sử dụng các công thức (4), (5), (6).
Sắp xếp có thứ tự: Hoán vị- Chỉnh hợp.
Sắp xếp tùy ý: Tổ hợp
B1: Một người muốn mời 6 người bạn đến dự tiệc sinh nhật. Hỏi người đó có bao nhiêu cách sắp đặt 6 bạn đó nếu:
Xếp 6 bạn vào ngồi một hàng có 6 ghế.	b) Xếp 6 bạn vào ngồi quanh một bàn tròn.
B2: Có sáu số 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Với sáu số đó, ta lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?
Với yêu cầu như câu a) nhưng các số tạo thành là các số chẵn?
Với yêu cầu như câu a) nhưng các số tạo thành phải lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 4000.
B3: Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm có 7 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách bàu ra một Ban giám đốc theo yêu cầu:
Gồm có 3 người.
Gồm có 3 người mà ít nhất phải có một người nam.
Gồm có 3 người mà ông X phải có một ghế.
Dạng 3: Tìm n∈N thỏa điều kiện
Đặt điều kiện tồn tại.
Dùng các công thức (4), (5), (6) chuyển về PT (BPT, HPT) chứa ẩn n .
Giải n và so sánh với điều kiện.
B1: Tìm n biết 4Cn3=5Cn+12
B2: Giải PT: n.P2-4An2+3Cn+12=0 
B3: Giải BPT: 14P3<An+14Cn-1n-3 
B4: Tìm p và n nếu: Cn+1p6=Cnp+15=Cnp-12 
Nhị thức Newton: Cho a, b∈R và n∈N:
a+bn=Cn0an+Cn1an-1b++Cnkan-kbk++Cnn-1abn-1+Cnnbn (8)
Dạng rút gọn: 
a+bn=k=0nCnkan-kbk (9) ; a-bn=k=0n-1k Cnkan-kbk (10)
Dạng 4: Khai triển nhị thức Newton
 Sử dụng công thức (9), (10)
Trong khai triển: a+bn ta được n+1 số hạng và số hạng thứ k+1 là số hạng: xk+1=Cnkan-kbk
Do Cnk=Cnn-k nên hai biên và các hệ số cách đều hai biên bằng nhau.
Tổng số mũ của a và b luôn bằng n.
B1: Tìm số hạng thứ 10 trong khai triển: x3-13x215
B2: Tìm số hạng không chứa x của x+1x12
B3: Tìm số hạng có mũ bằng nhau của x và y: 33x2+2y313
B4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức: P=x1-2x5+x21+3x10
B5: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton: 3x+14x7 , với x>0.
Dạng 5: Chứng minh một đẳng thức giữa Pn, Ank, Cnk
Loại 1: Dùng các công thức (4), (5), (6).
B1: Chứng minh: Pn=n-1Pn-1+Pn-2, ∀n>2
B2: Chứng minh: kCnk=nCn-1k-1
Loại 2: Sử dụng tính chất: Cn-1k+Cn-1k-1=Cnk
BT: Chứng minh: Cnp+2Cnp-1+Cnp-2=Cn+2k, 2≤k≤n
Loại 3: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton
B1: Chứng minh: C2n0+C2n2+C2n4++C2n2n=C2n1+C2n3++C2n2n-1
B2: Chứng minh: 316C160-315C161+314C162-313C163++C1616=216