Giáo án môn Toán 11 - Chương 3: Dãy số – cấp số cộng – cấp số nhân

Chương 3: 
DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Phương pháp chứng minh quy nạp 
Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương , ta thực hiện như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương tuỳ ý , chứng minh rằng mệnh đề đúng với .
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với với mọi số nguyên dương thì :
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với 
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì và phải chứng minh mệnh đề đúng với .
Dãy số 
Định nghĩa : Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên 
Dãy số tăng, dãy số giảm
 là dãy số tăng 
 là dãy số giảm 
Dãy số bị chặn
 là dãy số bị chặn trên .
 là dãy số bị chặn dưới .
 là dãy số bị chặn .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 
Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp 
Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước :
Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi (hoặc ) . 
Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi với ,ta phải chứng minh đẳng thức đó cũng đúng khi .
Các ví dụ minh họa :
 Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi : 
a) 	(1) 	 ;	b) 	(2) .
 Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi : 
a) 	(1) ; b) 	(2) .
Chứng minh các bất đẳng thức sau : 
a) 	 (1) ; b) 	 (2) . 
Chứng minh các mệnh đề sau : 
a) chia hết cho 3 , 	 b) chia hết cho 7 , 
Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bằng hệ thức truy hồi . 
Phương pháp : 
Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm , nếu dãy số cho dưới dạng tổng quát thì muốn tìm số hạng thứ ta chỉ việc thay vào công thức tổng quát . Nếu dãy số cho dưới dạng truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm . 
Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều cách nhưng thông thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đoán công thức và chứng minh lại bằng quy nạp .
Các ví dụ minh họa :
Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số biết : 
a) 	 	 ; 	b) . 
Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết : 
 	 a) 	 ; 	b) . 
Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số . 
Phương pháp : 
Dựa theo định nghĩa :
 là dãy số tăng 
 là dãy số giảm 
 là dãy số bị chặn .
Các ví dụ minh họa :
Xét tính tăng , giảm của các dãy số biết : 
a) 	 	; 	 b) 	; 	c) . 
Xét tính bị chặn của các dãy số biết : 
 a) ; 	 b) 	 ; 	c) . 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Chứng minh các đẳng thức sau đúng :
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ; 
g) ;
 h) .
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) 	;	
b) ; 
c) , ;
d) 	;	
e) .
f) , .
Chứng minh các mệnh đề sau đúng : 
a) chia hết cho 3 	 	; 	b) chia hết cho 5 ;
c)	 chia hết cho 6	 	;	d) chia hết cho 6 ; 
e) chia hết cho 	; f) chia hết cho 19 .
 a) Cho số thực . Chứng minh rằng : .
b) Chứng minh rằng nếu thì ta có : 
c) Cho số thực . Chứng minh rằng : 
 	 .
(*) Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết : 
a) 	 	;	b) ;
 	c) 	 	; 	d) ; 
 e) 	; 	f) .
Xét tính tăng , giảm của dãy số biết : 
 a) 	 	;	b) ;
c) 	; 	d) ;
 e) 	;	f) .
	Xét tính bị chặn của các dãy số biết : 
a) 	 	;	b) ;
 	c) 	; 	d) . 
Xét tính bị chặn của các dãy số biết : 
a) ;
 b) .
 (*) Xét tính tăng , giảm và bị chặn của các dãy số sau : 
a) 	 ;	 b) .
 Cho dãy số : . Chứng minh là dãy số không đổi (dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau) .
(*) Cho dãy số biết và . Hãy xác định để 
a) là dãy số giảm ;
b) là dãy số tăng .
Cho dãy số biết . Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số trên : .
˜˜&™™
§2. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Cấp số cộng 
Định nghĩa : Dãy số là cấp số cộng 
 là số không đổi , gọi là công sai của cấp số cộng .
Số hạng tổng quát : .
Tính chất : 	 	 .
Tổng n số hạng đầu tiên : 
Cấp số nhân
Định nghĩa : Dãy số là cấp số nhân 
 là số không đổi , gọi là công bội của cấp số nhân .
Số hạng tổng quát : .
Tính chất : 	 	 .
Tổng n số hạng đầu tiên : 
 .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 
Chứng minh các dãy số là cấp số 
Phương pháp : Dựa theo định nghĩa của cấp số cộng và cấp số nhân để chứng minh 
, ( không đổi) .
, ( không đổi) .
Các ví dụ minh họa :
 Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số cộng , nếu phải hãy tìm công sai của cấp số cộng đó : 
a) 	 	; 	b) ;	
 	c) 	 	; 	d) 
 Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân , nếu phải hãy tìm công bội của cấp số nhân đó : 
a) 	 	; 	b) ;	
c) 	 	; 	d) 
Tìm của cấp số 
Phương pháp : Dựa vào các công thức về số hạng tổng quát , tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng hoặc cấp số nhân để suy ra kết quả .
Nếu là cấp số cộng thì :
 .
Nếu là cấp số nhân thì :
.
Các ví dụ minh họa :
Tìm của các cấp số cộng sau : 
a) 	 	 ; 	b) biết .
Tìm của các cấp số cộng biết : 
a) 	 	; 	b) 	;
c) 	;	d) .
a) Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165 ;
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là và tổng các bình phương của chúng là .
Tìm của các cấp số nhân sau : 
a) 	 	; 	 	b) .
Tìm biết của các cấp số nhân biết : 
a) 	 	; 	b) .
a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là và tổng các bình phương của chúng là .
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là và tổng các bình phương của chúng là .
Các bài toán ứng dụng tính chất của cấp số 
Phương pháp : Dựa vào các công thức về tính chất các số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân :
Nếu là cấp số cộng thì : 
Nếu là cấp số nhân thì : .
Chú ý : Ta có thể dễ dàng chứng minh được : 
 lập thành cấp số cộng.
 lập thành cấp số nhân.
Các ví dụ minh họa :
Cho ba số lập thành cấp số cộng . Chứng minh các hệ thức sau: 
a) 	 	 ; 	b) .
Cho ba số lập thành một cấp số cộng có công sai . Chứng minh rằng ba số cũng lập thành một cấp số cộng.
Cho ba số lập thành cấp số nhân .Chứng minh các hệ thức sau: 
a) 	; b) .
Chứng minh rằng nếu 3 số lập thành một cấp số cộng thì 3 số lập thành một cấp số nhân .
Tìm các số dương và sao cho lập thành một cấp số cộng và lập thành một cấp số nhân.
Tính tổng hữu hạn
Phương pháp: Để tính một tổng có hữu hạn phần tử ta có thể làm như sau:
Xét xem các số hạng của nó có lập thành một cấp số cộng hoặc cấp số nhân hay không , nếu chưa hãy biến đổi các số hạng hoặc tách thành các tổng khác nhau mà các số hạng của chúng tạo thành cấp số .
Dựa và công thức số hạng tổng quát của cấp số để tìm xem các tổng cần tính có bao nhiêu số hạng .
Tính các tổng trên dựa vào các công thức tính tổng số hạng đầu tiên của cấp số , rồi suy ra kết quả .
Chú ý : 
 lập thành cấp số cộng thì : 
 .
 lập thành cấp số nhân thì : 
 .
Các ví dụ minh họa :
Tính các tổng sau : 
a) ; 	
b) .
Tính các tổng sau : 
a) ; b) .
Tính các tổng sau : 
a) ; 	
b) .
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó:
a) 	; 	 b) 	;	c) ;
d) 	;	e) 	;	f) .
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
a) 	 ; b) 	 ; c) 
a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
 b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.
a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293.
 b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng 1176 .
a) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai . Tìm số đo của các góc đó.
 b) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó.
Chứng minh rằng nếu 3 số lập thành một cấp số cộng thì : 
 	 .
Chứng minh rằng nếu 3 số lập thành một cấp số cộng thì các số cũng lập thành một cấp số cộng , biết :
a) .	
b) 
Tìm để 3 số lập thành một cấp số cộng , với:
a) 	
b) .
Tìm các nghiệm số của phương trình: , biết rằng các nghiệm số phân biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Tìm các giá trị của để phương trình : có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng .
 Cho dãy số . 
Tìm các giá trị của để dãy số là cấp số cộng .
Cho cấp số cộng
a) Chứng minh : .
b) Tính tổng số hạng đầu tiên của , biết .
 Cho dãy số , biết tổng số hạng đầu tiên : 
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của .
b) Chứng minh là một cấp số cộng , tìm công sai của nó .
Cho cấp số cộng. Chứng minh : 
a) .
b) 
 Cho dãy số 
Xét dãy số biết : 
a) Chứng minh dãy số là cấp số cộng , tìm số hạng đầu và công sai của nó.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
 Trong các dãy số sau đây dãy nào là cấp số nhân , nếu phải hãy tìm công bội của nó .
a) 	; 	b) ; 
 	 c) 	; 	d) .
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a) 	 	;	b) 	;	
c) ;	 	d) .
a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân .
b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.
Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216.
a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối là 486 .
b) Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889 .
Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560.
Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số nhân đó.
Bốn số lập thành cấp số nhân . Chứng minh : 
a) ;
b) .
 Chứng minh : 
a) Nếu lập thành một cấp số nhân thì cũng lập thành một cấp số nhân .
b) Nếu bốn số dương lập thành cấp số nhân thì ba số : cũng lập thành cấp số nhân .
Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là , đồng thời, theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Cho dãy số , biết tổng số hạng đầu tiên : 
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của .
b) Chứng minh là một cấp số nhân , tìm công bội của nó .
Cho cấp số nhân có 
a) Chứng minh : .
b) Chứng minh : .
b) Tính tổng số hạng đầu tiên của , biết .
 Cho dãy số . 
Xét dãy số biết : 
a) Chứng minh dãy số là cấp số nhân.
b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân.
Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24.
Tìm các số sao cho lập thành một cấp số cộng và lập thành một cấp số nhân .
Chứng minh các dãy sau vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân 
a) ; b) .
Tính các tổng sau : 
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
g) .
Đề 3: 
Chứng minh .
Tính các giới hạn sau : 
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) .
Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10 , tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là . Tìm của cấp số nhân đó .
Cho . Tìm .
Đề 4: 
Cho hình lăng trụ . Gọi 
a) Hãy biểu thị mỗi véc tơ qua các véc tơ .
b) Gọi là trọng tâm tam giác . Hãy biểu thị véc tơ qua các véc tơ .
Cho tứ diện đều có cạnh là . 
a) Tính . 
b) Gọi lần lượt là trung điểm của .
 	+ Chứng minh .
 	+ Tính độ dài của véc tơ .
Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Biết . Tìm góc giữa và .
Cho hình chóp có đáy là hình thoi , .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng .
b) Gọi . Chứng mi nh rằng góc giữa và không phụ thuộc vào vị trí của .