Ngân hàng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Câu 5

NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 1
Câu 5: ( 3,0 điểm)
Chứng minh rằng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ.
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Đáp án câu 5
Ý
Đáp án
Điểm
1
Chứng minh rằng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ.
Vì n lẻ 
Vì 24 = 3.8 và (3,8) = 1, nên từ (1), (2) chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ.
0,5
0,5
0,5
2
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Suy ra PT đã cho có 2 nghiệm (x,y) = (2;1); (0;1)
0,25
0,25
0,75
0,25
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 2
Câu 5: ( 3,0 điểm)
1.Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128.
2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có :
 chia hết cho 24
Đáp án câu 5
Ý
Đáp án
Điểm
1
Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128.
Ta có 8 số nguyên liên tiếp luôn có 4 số chẵn.	
Tích của 4 số này có dạng:
Trong 4 số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 4 và một số khác chia hết cho 2 nên tích của chúng chia hết cho 8.	
Suy ra chia hết cho 8.	
Do đó chia hết cho 	
Vậy 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128.	
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
2
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có :
 chia hết cho 24
A=	
= 	
= n(n+1)(n+2)(n+3)	
Do 	n(n+1)(n+2)(n+3) 
Suy ra chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n	
0,25đ
0,5
0,25
0,25
0,25
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 3
Câu 5: ( 3,0 điểm)
1. Cho a, b, c là các số nguyên sao cho 2a + b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương, biết rằng trong ba số chính phương nói trên có một số chia hết cho 3.
Chứng minh rằng: (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y.
Đáp án câu 5
Ý
Đáp án
Điểm
1
Cho a, b, c là các số nguyên sao cho 2a + b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương, biết rằng trong ba số chính phương nói trên có một số chia hết cho 3.
Chứng minh rằng: (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27.
Vì 2a + b; 2b + c; 2c + a là các số chính phương nên ta có thể đặt 
2a + b = m2; 2b + c = n2; 2c + a = p2 với m, n, p là các số tự nhiên.
Vì trong các số m2; n2; p2 có một số chia hết cho 3 nên không mất tính tổng quát ,có thể giả sử m2 chia hết cho 3 (1).
Ta lại có m2 + n2 + p2 = 3a + 3b + 3c chia hết cho 3 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra n2 + p2 chia hết cho 3. Dễ thấy n và p đều chia hết cho 3.
Do đó 2a + b; 2b + c; 2c + a đều chia hết cho 3.
Từ đó suy ra a, b, c đều chia hết cho 3.
Vậy (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y.
x2 + y2 = xy + x + y Û (x - y)2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2.
Vì x, yÎ Z nên :
x+y
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
x-1
1
-1
1
-1
0
0
1
-1
0
0
1
-1
y-1
1
1
-1
-1
1
-1
0
0
1
-1
0
0
(x;y)
(2;2)
(0;0)
(1;0)
(2;1)
(1;2)
(0;1)
Kết quả: 5 nghiệm: (2;2) ; (1;0) ; (1;2) ; (0;1) ; (2;1) 
0,5
0,75
0,25
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 4
Câu 5: ( 3,0 điểm)
1. Tìm số tự nhiên để n + 21 và n -18 là hai số chính phương.
2. Giải phương trình ngiệm nguyên x2 + xy + y2 = x2y2
Đáp án câu 5
Ý
Đáp án
Điểm
1
Tìm số tự nhiên để n + 21 và n -18 là hai số chính phương.
Để n + 21 và n – 18 là hai số chính phương
 và 
Vì 39 = 1 .39 = 3. 13 và p - q 0 nên
 Hoặc Hoặc 
Với n = 379 (TM) ; Với n = 43(TM)
Vậy với n = 379 hoặc n = 43 thì n +và n - 18 là hai số chính phương.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Giải phương trình ngiệm nguyên x2 + xy + y2 = x2y2
x2 + xy + y2 = x2y2 (1)
Ta có 
Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tai một số bằng 0.
. Xét xy = 0 từ (1) có x2 + y2 = 0 nên x = y = 0
.Xét xy +1 = 0. Ta có xy = -1 nên (x;y) là (1;-1) hoặc (-1;1).
Thử lại ta có nghiệm nguyên của phương trình(1) : (x;y) là (0;0), (1;1),(-1;1)
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Môn : Toán - Đề 5
Câu 5: ( 3,0 điểm)
1. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nhân số đó với 2010 ta được một số chính phương.
2. Giải phương trình trên tập nghiệm nguyên: x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0
Đáp án câu 5
Ý
Đáp án
Điểm
1
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nhân số đó với 2010 ta được một số chính phương.
 Gọi số có 4 chữ số phải tìm là n
Ta có: 2010n = a2 (a ÎN) hay 2.3.5.67.n = a2
Vì số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 2.3.5.67.k2
* Với k = 1 thì n = 2010
* Với k = 2 thì n = 8040
* Với k ≥ 3 thì n ≥ 18090 (loại)
Vậy số phải tìm là 2010 hoặc 8040.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Giải phương trình trên tập nghiệm nguyên: x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0
Hoặc 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (x,y) = (-5; -2); (5; 2)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25