Phương pháp giải Hình học 8

 là hình vuông.
HD:
∆ABF=∆ADC (c.g.c) nên DC=BF và DC vuông góc BF (1)
MN, QP là đường trung bình của ∆BFC và ∆BFD nên QP//MN//BF và 2QP=2MN=BF (2)
MQ, BN là đường trung bình của ∆BDC và ∆FDC nên QM//PN//DC và 2QM=2PN=DC (3)
Từ (1)(2)(3) suy ra PNMQ là hình vuông.
Dạng 2. Vận dụng kiến thức hình vuông để giải toán
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh các AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EF, BF.
	a) Chứng minh các tam giác ADF và BAE bằng nhau.
	b) Chứng minh MN vuông góc với AF.
	HD:
	a, ∆ADF=∆BAE (2cgv)
 b, EBA=FAD mà EBA+AEB=900 nên mà FAD+AEB=900 suy ra EB vuông góc AF.(1)
	Vì MN là đường trung bình của tam giác FEB nên MN//EM (2). Từ (1)(2) suy ra: MN vuông góc AF.
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
	a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.
	b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh BI = DI.
	c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
	HD:
a, ∆AED=∆CFD (2cgv) nên DE=DF và ADE=CDF, mà ADE+EDC=900 NÊN CDF+EDC=900 Suy ra: EDF=900.
b, BI=DI=EF:2 ( tính chất trung tuyến tam giác vuông).
c, Ta có: OC vuông góc DB (1), ∆BDI cân tại I nên IO vuông góc OB (2). Từ (1)(2) suy ra O,C,I thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABC’D và ACEF. Vẽ đường cao AH kéo dài HA gặp DF tại I. Chứng minh rằng DI = IF.
HD:
Dựng hình bình hành AFGD. Xét ∆GDA và ∆CAB có : AC=AF=DG; AB=DA, GDA=CAB ( cùng bù với góc DAF ) nên ∆GDA = ∆CAB (c.g.c) suy ra DAG=ABC ( hai góc tương ứng ) mà ABC+HAB= 900 nên DAG+HAB= 900 hay G, A, H thẳng hàng, mà AFGD là hình bình hành nên AG cắt DF tại trung điểm I của DF. 
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ về phía ngoài hình bình hành, hai hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh:
	a) AC = FH và AC ^ FH.
	b) Tam giác CEG là tam giác vuông cân.
	HD:
a, Xét ∆AFH và ∆BAC có: HA=BC; AF=AB; B=HAF ( cùng bù với góc DAB ) nên ∆AFH = ∆BAC (c.g.c) nên HF=AC.
Kéo dài AC giao HF tại P. Ta có: PHA=BCA (cmt) ; BCA=CAD (sole trong) suy ra PHA=CAD mà HAD= 900 nên PAH+ PHA= 900 hay HPA= 900.
b, ∆GDC=∆CBE nên GC=CE.
ECG=ECB+BCG. Mà ECB=CGD nên ECB+BCG=CGD+BCG=900. ( Vì CD vuông góc AD mà AD//BC nên GD vuông góc BC ).
Cho đoạn thẳng AB và điểm M thuộc đoạn thẳng đó. Vẽ về một phía của AB, các hình vuông AMCD, BMEF.
	a) Chứng minh AE vuông góc với BC.
	b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
	c) Chứng minh đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng cố định AB.
\	HD: 
c) DF đi qua K (K = AF Ç AC).
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm M. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I. Chứng minh rằng: BI £ 2 MI.
HD:
Trên tia đối của tia CD lấy điểm J sao cho CJ = AI. Qua M vẽ đường thẳng song song với BI cắt BJ tại N 
Tam giác vuông ABI = Tam giác vuông CBJ => BI = BJ 
Mặt khác dễ cm BI vuông góc BJ => MN vuông góc BJ 
MBJ=900-MBI=> 900-ABI=900-CBJ=MJB => tam giác MBJ cân tại M => N là trung điểm của BJ 
Ta có MI ≥ BN = BJ/2 = BI/2 ( vì BIMN là hình thang vuông tại B và N) 
Hay BI ≤ 2MI (đpcm)
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc đường chéo AC. Kẻ EF ^ AD, EG ^ CD.
	a) Chứng minh rằng: EB = FG và EB ^ FG.
	b) Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng quy.
HD:
a, ∆EBD cân tại E nên EB=ED. Vì EFDG là hcn nên DE=FG suy ra EB=FG.
Gọi AB giao EG tại H, EB giao FG tại P, ∆HBE=∆FEG (2cgv) nên HBE=EGF . Mà HBE+ HEB= 900 nên EGF+ PEG= 900 hay EPG= 900
Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC, các hình vuông ABDE và ACFG. Vẽ hình bình hành EAGH. Chứng minh rằng:
	a) AH = BC và AH ^ BC.
	b) Các đường thẳng HA, BF, CD đồng quy.
HD:
a, Xét ∆HEA và ∆CAB có : AC=AG=EH; AB=EA; HEA=CAB ( cùng bù với góc EAG ) nên ∆HEA = ∆CAB (c.g.c) suy ra AH=BC ( hai cạnh tương ứng).
b, Gọi AH giao BC tại M. Ta có: EAH= ABM (cmt) mà EAH+BAM= 900 nên ABM+BAM= 900 hay AM vuông góc BC.
DC, BF, AH là ba đường cao của tam giác HBC nên DC, BF, AH đồng quy.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD thoả điều kiện gì thì tứ giác EFGH là:
	a) Hình chữ nhật.	
	b) Hình thoi.	
	c) Hình vuông.	
	HD: 
a, AC ^ BD. 	b, AC = BD.	c, AC = BD và AC ^ BD.
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I.
	a) Tứ giác AMCK là hình gì?	
	b) Tứ giác AKMB là hình gì?	
	c) Có trường hợp nào của tam giác ABC để tứ giác AKMB là hình thoi.
HD: a) AMCK là hình chữ nhật	b) AKMB là hình bình hành	c) Không.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phia ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACGH.
	a) Chứng minh tứ giác BCHE là hình thang cân.
	b) Vẽ đường cao AK của tam giác ABC. Chứng minh AK, DE, GH đồng quy.
	HD: b) Đồng quy tại F với .
Cho hình thang cân ABCD với AB // CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
	a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
	b) Cho biết diện tích tứ giác ABCD bằng . Tính diện tích tứ giác MNPQ.
	HD: a) MNPQ là hình thoi	b) .
Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng của điểm M qua điểm D.
	a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB.
	b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì?
	c) Cho BC = 4cm. Tính chu vi tứ giác AEBM.
	d) Tam giác vuông thoả điều kiện gì thì AEBM là hình vuông.
	HD: 
b) AEMC là hình bình hành, AEBM là hình thoi	
c) d) DABC vuông cân.
Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Các đường thẳng BM, DN cắt đường chéo AC tại P, Q.
	a) Chứng minh AP = PQ = QC.
	b) Tứ giác MPNQ là hình gì?
	c) Xác định tỉ số để MPNQ là hình chữ nhật.
	d) Xác định góc ACD để MPNQ là hình thoi.
	e) Tam giác ACD thoả mãn điều kiện gì để MPNQ là hình vuông.
	HD:
 b) MPNQ là hình bình hành nên MP//NQ. Trong ∆AQD có MP//DQ mà MA=MD nên QP=PA. Tương tự: CQ=QP nên AP=PQ=QC.
c)Để MPNQ là hcn thì MN=PQ mà 3MN=AC; PQ=DC nên CA=3CD.
d) Để MPNQ là hình thoi thì MN vuông góc PQ mà MN//DC nên ACD=90	
e) DACD vuông tại C và CA=3CD.
Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K.
	a) Tứ giác OBKC là hình gì?
	b) Chứng minh AB = OK.
	c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông.
	HD: 
a) OBKC là hình chữ nhật	c) ABCD là hình vuông.
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và A=60. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.
	a) Tứ giác ECDF là hình gì?
	b) Tứ giác ABED là hình gì?
	c) Tính số đo của góc AED.
	HD: 
a) ECDF là hình thoi	b) ABED là hình thang cân	c) AED=90.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi O là trung điểm của EF. Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự tại M và N.
	a) Tứ giác EMFN là hình gì?
	b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình thoi.
	c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì để EMFN là hình vuông.
	HD:
 a) EMFN là hình bình hành	b) ABCD là hình thang cân	
	c) ABCD là hình thang cân và có hai đường chéo vuông góc.
 Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = AC = a.
	a) Lấy điểm D trên cạnh AC và điểm E trên cạnh AB sao cho AD = AE. Các đường thẳng vuông góc với EC vẽ từ A và D lần lượt cắt cạnh BC ở K và L. Chứng minh BK = KL.
	b) Một hình chữ nhật APMN thay đổi có đỉnh P trên cạnh AB, đỉnh N trên cạnh AC và có chu vi luôn bằng . Điểm M di chuyển trên đường nào?
	c) Chứng minh khi hình chữ nhật APMN thay đổi thì đường vuông góc vẽ từ M xuống đường chéo PN luôn đi qua một điểm cố định.
	HD: 
b) M di chuyển trên cạnh BC	c) HM đi qua điểm I cố định (với ACIB là hình vuông).
 Cho hình vuông ABCD. E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
	a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân.
	b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I thuộc BD.
	c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.
HD:
a, ∆ABF=∆ADE (2cgv) nên AF=AE và DAF=BAE mà DAE+EAB=900 nên BAF+EAB=900 nên ∆AEF vuông cân.
b, Từ E kẻ EM vuông góc DC ( M thuộc BD). Gọi giao điểm BD và EF là I. Suy ra ∆DEM vuông cân tại E suy ra ME=ED => EM=BF.
∆EMI=∆FBI (g.c.g) nên IF=IE. Vậy trung điểm EF thuộc BD.
c, Tứ giác AEKF là hình bình hành ( hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ) mà ∆AEF vuông cân nên AEKF là hình vuông.
 Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, A=600. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD.
	a) Chứng minh AEBF.
	b) Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân.
	c) Lấy điểm M đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật.
	d) Chứng minh ba điểm M, E, D thẳng hàng.
HD:
a, ABEF là hình thoi.
b, BFDC là hình thang có B=C=600.
c, Xét ∆ABD có AF=FD=BF nên ABD=900 ( tính chất trung tuyến tam giác vuông) (1).
Vì BM//=DC nên BMCD là hình bình hành (2).
Từ (1)(2) => đpcm.
d, Vì BMCD là hình chữ nhật mà E là trung điểm BC suy ra E là trung điểm MD. Vậy M, E, D thẳng hàng.
 Cho tam giác ABC vuông tại A có B=600. Kẻ tia Ax song song với BC. Trên Ax lấy điểm D sao cho AD = DC.
	a) Tính số đo các góc BAD, DAC.
	b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
	c) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác ADEB là hình thoi.
HD:
a, 
 Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi K là giao điểm của AC và DM, L là giao điểm của BP và AC.
	a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
	b) Tứ giác MDPB là hình gì?
	c) Chứng minh: AK = KL = LC.
HD:
a, MNPQ là hình bình hành.
b, MDPB là hình bình hành.
c, MK // LB mà M là trung điểm AB suy ra K là trung điểm AL. Tương tự L là trung điểm KC. Vậy AK=KL=LC.
 Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB và CD.
	a) Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì?
	b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.
	c) Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì để EMFN là hình vuông?
HD:
a, AEFD là hình thoi, AECF là hình bình hành.
b, Vì AEFD và EBCF là hình thoi nên M=N=900 (1).
 Xét ∆DEC có DF=FC=EF nên ∆DEC vuông tại E (2). Từ (1)(2) => đpcm.
c, ABCD là hình chữ nhật.
 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. Gọi K là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC.
	a) Xác định dạng của tứ giác AEMF, AMBH, AMCK.
	b) Chứng minh rằng H đối xứng với K qua A.
	c) Tam giác vuông ABC có thêm điều kiện gì thì AEMF là hình vuông?
HD:
Bài 17: Cho hình bình hành ABCD có A=1200, phân giác góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB, kẻ AH vuông DC.
a. CMR: AB=2AD.
b. CMR: DI=2AH
c. CMR: AC vuông AD
d. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh CD thì trung điểm O của đoạn AM duy chuyển trên đường nào?
HD:
 a. DADI cân, b. K là giao AH và DI,Gọi P,Q là trung điểm DK và DI, HK=1/2AK, KA=1/2KI. 
c. ∆CIB đều nên góc CAI=300.
Bài 18: Cho hình bình hành ABCD vẽ các tam giác đều ABE và ADF nằm ngoài hình bình hành. O là giao điểm hai đường chéo.
a. CM: DDFC=DBCE
b. DFCE đều
c. M và N là trung điểm AE và AF, tính góc NOM.
HD: a. DDFC=DBCE(c.g.c) b. DDFC=DAFE ( góc FAE+DAB=FDC+DAB=240)
c.MN,NO,MO là đường trung bình nên MO=MN=ON suy ra MON=60
Bài 19: Cho DABC vuông A, AC=2AB, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác At, Từ B vẽ Bx vuông At cắt AC tại F, vẽ CE vuông At. CMR:
a. CM: F là trung điểm AC
b. E,M,F thẳng hàng.
c. ABEF là hình vuông.
d. Gọi P,Q là giao BF với AH và AM, Tứ giác APEQ là hình gì?
HD:
Bài 20: Cho DABC vuông A, AC>AB, đường cao AH, K thuộc HC sao cho HK=AH, kẻ Ax//BC, Kt//AH, Ax giao Kt tại E, AC giao KE tại P.
a. AHKE là hình gì?
b. DAPB vuông cân.
c. Q là điểm thứ 4 của hình bình hành APQB, I là giao PB và AQ. CM: DAIK cân và H,I,E thẳng hàng.
d. HE//QK.
HD:
Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, M,N,P là trung điểm AB,AC,BC.CMR:
a. Tứ giác MNCB là hình gì?
b. MP đi qua trung điểm O của BN.
c. AMPN là hinh thoi
d. Tìm điều kiện tam giác ABC để AMPN là hình vuông.
HD:
Bài 22: Cho hình thang vuông MNPQ(M=90) có QP=2MN, các cạnh bên kéo dài cắt nhau tại A, gọi B,C là trung điểm MN,PQ.
a. MNCQ la hình gì?
b. CM: MANC là hình bình hành.
c. MN giao PQ tại H, CMR: B,H,C thẳng hàng và CH=2BH
HD:
 a. hình CN b. Dùng tc đường trung bình suy ra M,N là trung điểm c. H là trong tâm tam giác QAP.
Bài 23: Cho hình vuông ABCD. M là điểm bất kì trên BC, Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vuông AMHN, qua M vẽ d//AB cắt AH tại E, AH giao DC tại F.
a. CM: BM=ND
b. N,D,C thẳng hàng.
c. EMFN là hình gì?
d. CM: DF+BM=FM và chu vi tam giác FMC không đổi khi M thay đổi.
HD:
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH. Dựng phía ngoài tam giác hình vuông ABDG và ACEF, DG giao EF tại I. CMR:
a. I,A,H thẳng hàng.
b. IH,DC,BE đồng quy.
HD:
Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD. M la điểm bất kì trên BC. CMR:
a. SABCD=2SAMD
b. Cho AB=3cm, AD=5cm, Tìm vị trí M để SMCD=SABM
HD:
Bài 26: Cho tam giác ABC vuông A. Gọi D,E,F là trung điểm AB,AC,BC
a. So sánh diện tích ABC và ADEF,
b. Cho AB=6cm, BC=10cm,. Gọi M,N,K là trung điểm DF, CD,DE, Tính diện tích MFNK?
HD:
CHƯƠNG II: ĐA GIÁC
1. Định nghĩa
	· Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.
	· Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
2. Một số kết quả
	· Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng .
	· Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng .
	· Số các đường chéo của đa giác n cạnh bằng .
3. Diện tích
	· Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: .
	· Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: .
	· Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: .
	· Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: .
	· Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: .
	· Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: .
	· Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: .	
Cho hình thoi ABCD có A=60. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh đa giác EBFGDH là lục giác đều.
HD: ∆AHE đều, góc H=E=B=F=G=D=1200, HE=EB=..
 Cho tam giác ABC đều, O là trọng tâm của tam giác. Gọi E, F, G lần lượt là các điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm của AB, BC, AC. Chứng minh lục giác AEBFCG là lục giác đều.
HD:
Cho ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau và A=B=C.
	a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
	b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF là ngũ giác đều.
HD:
Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi K là giao điểm của hai đường chéo AC và BE.
	a) Tính số đo mỗi góc của ngũ giác.
	b) Chứng minh CKED là hình thoi.
HD:
Cho hình chữ nhật ABCD. E là điểm bất kì nằm trên đường chéo AC. Đường thẳng qua E, song song với AD cắt AB, DC lần lượt tại F, G. Đường thẳng qua E, song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại H, K. Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích.
HD: ∆HEA~∆KEC nên HEEK=AHKC
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Vẽ BP ^ MN, CQ ^ MN (P, Q Î MN).
	a) Chứng minh tứ giác BPQC là hình chữ nhật.
	b) Chứng minh .
HD: a, MN là đường trung bình. b.Kẻ AH vuông BC, AH=2BP 
Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh các tứ giác ADCM và ABCN có diện tích bằng nhau.
HD:
Cho hình thang vuông ABCD (A=D=90), AB = 3cm, AD = 4cm và ABC=135. Tính diện tích của hình thang đó.
HD: Kẻ BH vuông CD, ∆BHC vuông cân. . 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG, BCHI. Chứng minh .
HD: Dùng Pitago.
 Diện tích hình bình hành bằng . Khoảng cách từ giao điểm của hai đường chéo đến các đường thẳng chứa các cạnh hình bình hành bằng và . Tính chu vi của hình bình hành.
	HD: . 
 Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, O, E, N là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đoạn thẳng AO, BE, CN và DK cắt nhau tại L, M, R, P. Chứng minh .
HD:
 Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BA, BC. Lấy điểm M trên đoạn thẳng EF (M ¹ E, M ¹ F). Chứng minh .
HD:
 Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc đáy BC. Gọi BD là đường cao của tam giác ABC; H và K chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Chứng minh: . 
HD:
 Cho hình bình hành ABCD. Gọi K và L là hai điểm thuộc cạnh BC sao cho BK = KL = LC. Tính tỉ số diện tích của: 
	a) Các tam giác DAC và DCK.
	b) Tam giác DAC và tứ giác ADLB.
	c) Các tứ giác ABKD và ABLD.
	HD: a) 	b) 	c) .
 Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G. Diện tích tam giác AGB bằng . Tính diện tích tam giác ABC.
HD: . 
 Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD.
	a) Chứng minh: FD = FC.
	b) Chứng minh: .
HD:
 Cho tam giác đều ABC, đường cao AH và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Gọi P, Q, R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AC, AB. 
	 Chứng minh: MP + MQ + MR = AH.
HD:
 Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Từ N kẻ đường thẳng song song với BM cắt đwòng thẳng BC tại D. Biết diện tích tam giác ABC bằng . 
	a) Tính diện tích hình thang CMND theo a.
	b) Cho và . Tính chiều cao của hình thang CMND.
HD:
	HD: a) 	b) .
* Cho tứ giác ABCD. Kéo dài AB một đoạn BM = AB, kéo dài BC một đoạn CN = BC, kéo dài CD một đoạn DP = CD và kéo dài DA một đoạn AQ = DA. Chứng minh 
HD: Từ , , , Þ đpcm.
 * Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và ba đường cao ứng với ba cạnh lần lượt có độ dài . Gọi r là khoảng cách từ giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đến một cạnh của tam giác. Chứng minh . 
HD:
 * Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác sao cho các đường thẳng AM, BN, CP đồng quy tại điểm O. Chứng minh
	 Chứng minh: .
	HD: Từ Þ (1). Tương tự (2), (3)
	Nhân (1), (2), (3), vế theo vế, ta được đpcm.
 Cho tứ giác ABCD. Gọi M, P, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, AD; O là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh:
	a) .
	b) .
	HD: Vẽ AA¢, BB¢, MM¢ vuông góc với PQ.
 Cho tứ giác ABCD. Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC. Đường thẳng đó cắt cạnh DC ở E. Chứng minh: .
HD: Chú ý: . 
 Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AOB=30. Tính diện tích tứ giác ABCD.
HD: .
 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
	a) Tứ giác IJKL là hình gì?
	b) Cho biết diện tích hình thang ABCD bằng . Tính diện tích tứ giác IJKL.
	HD: a) IJKL là hình thoi	b) .
 Cho hình bình hành ABCD. Vẽ phân giác AM của góc A (M Î CD), phân giác CN của góc C (N Î AB). Các phân giác AM, CN lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN và CFEM bằng nhau.
HD: AEFN và CFEM là hai hình thang có các cạnh đáy tương ứng bằng nhau và cùng chiều cao nên có diện tích bằng nhau.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 6,8 cm. Gọi H, I, E, K là các trung điểm tương ứng của BC, HC, DC, EC. 
	a) Tính diện tích tam giác DBE.
	b) Tính diện tích tứ giác EHIK.
	HD: a) 	b) EHIK
Scm
2
7,65
=
.
Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a. Một góc vuông có tia cắt cạnh AB tại E, tia cắt cạnh BC tại F. Tính diện tích tứ giác OEBF
	HD: .
Tính diện tích một hình thang vuông, biết hai đáy có độ dài 6 cm và 9 cm, góc tạo bởi cạnh bên và đáy lớn có số đo bằng .
	HD: . 
 Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm, độ dài hai đường chéo AC = 16cm, BD = 12cm. Từ A vẽ đường thẳng song song với BD, cắt CD tại E.
	a) Chứng minh tam giác ACE là tam giác vuông.
	b) Tính diện tích hình thang ABCD.
	HD: b) .
Gọi O là điểm nằm trong hình bình hành ABCD. Chứng minh: 
HD: .
Cho hình chữ nhật ABCD, O là điểm nằm trong hình chữ nhật, . Tính tổng diện tích các tam giác OAB và OCD theo a và b.
	HD: .
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Trên cạnh AC, lấy điểm N sao cho AN = 2NC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh:
	a) .	b) .
HD:
a, SCMB=SCMA mà SIMB=SIMA nên SCIB=SCIA.
b, Vì SAIC=3SINC nên SBIC=3SINC suy ra BI=3IN.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC. Chứng minh . 
	HD: Từ Þ đpcm. 
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và DC sao cho AE = CF; I là điểm trên cạnh AD; IB và IC lần lượt cắt EF tại M và N. 
	Chứng minh: .
	HD: Từ Þ đpcm.
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ta luôn vẽ được một tam giác mà diện tích của nó bằng diện tích tứ giác ABCD. 
	HD: Qua B, vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC tại E. Suy ra được . 
Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC. Hãy chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua D. 
	HD: Xét hai trường hợp:
	– Nếu D là trung điểm của BC thì AD là đường thẳng cần tìm.
	– Nếu D không là trung điểm của BC. Gọi I là trung điểm BC, vẽ IH // AD (H Î AB). 
	 Từ Þ DH là đường thẳng cần tìm.
 Cho tam giác ABC có BC = a, đường cao AH = h. Từ điểm I trên đường cáo AH, vẽ đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Vẽ MQ, NP vuông góc với BC. Đặt AI = x.
	a) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, h, x.
	b) Xác định vị trí điểm I trên AH để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất.
	HD: a) 	b) Þ I là trung điểm của AH.	
 Cho tam giác ABC và ba đường trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng sáu tam giác tạo thành trong tam giác ABC có diện tích bằng nhau.
HD:
 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Một đường thẳng song song với hai đáy cắt AD ở E, MN ở I, BC ở F. Chứng minh IE = IF. 
	HD: Từ Þ Þ 
	Þ Þ EI = FI.
 Cho tứ giác ABCD. Qua trung điểm K của đường chéo BD, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt AD tại E. Chứng minh CE chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
	HD: Xét các trường hợp: 
	a) E thuộc đoạn AD	b) AC qua trung điểm K của BD c) E nằm ngoài đoạn thẳng AD.	 
 Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NC. Đư