Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS

g 0 thì đa thức đó có một nghiệm là x =-1
(a2n+ a2n-2+ ... + a2+ a0 ) – (a2n-1+ a2n-3+ ... a3+ a1 ) = 0 Þ A(-1) = 0
6. Phân tích đa thức thành nhân tử:
 Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác.
 Với mọi đa thức bậc n (hệ số thực) luôn luôn phân tích được thành một tích của:
+ Luỹ thừa của nhị thức dạng ( x- a)k; kN
+ Luỹ thừa của tam thức bậc bậc 2 không có nghiệm thực: x2 + bx + c
(có b2- 4c < 0).
 Chú ý: Đối với đa thức 2 biến hoặc nhiều biến ta có thể chọn một biến làm ẩn và phân tích như đa thức một biến.
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
 Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung quan trọng cả về kiến thức và kĩ năng thực hiện. Nó thường được vận dụng vào việc giải nhiều dạng toán như: Rút gọn phân thức, giải một số phương trình, bất phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên, chứng minh chia hết, chứng minh đẳng thức,...
 Có nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, tuỳ theo đặc điểm của mỗi đa thức mà ta chọn phương pháp phân tích phù hợp để cho kết quả nhanh và ngắn gọn nhất.
Trong chương trình Toán THCS có các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như sau:
1. PTĐTTNT bằng phương pháp đặt nhân tử chung
2. PTĐTTNT bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
3. PTĐTTNT bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử
4. PTĐTTNT bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
5. PTĐTTNT bằng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử 
6. PTĐTTNT bằng phương pháp hệ số bất định
7. PTĐTTNT bằng phương pháp đổi biến
8. PTĐTTNT bằng phương pháp sử dụng định lí nghiệm của đa thức
9. PTĐTTNT bằng phương pháp xét giá trị riêng
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP PTĐTTNT CƠ BẢN
1. Phương pháp đặt nhân tử chung:
a) Đặc điểm: Được áp dụng trong trường hợp các hạng tử của đa thức có chung một nhân tử.
b) Yêu cầu: 
 - Học sinh nắm vững tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
 - Học sinh nắm vững quy tắc dấu ngoặc, quy tắc nhân, chia luỹ thừa cùng cơ số.
c) Phương pháp: 
 - Bước 1: Tìm nhân tử chung (Viết mỗi hạng tử của đa thức thành tích các nhân tử để làm xuất hiện nhân tử chung).
 - Bước 2: Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc theo công thức
A. B + A. C = A.(B + C)
d) Ví dụ : phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: 5x2y2 + 20x2y – 35xy2
 = 5xy. xy +5xy. 4x – 5xy. 7y
 = 5xy (xy + 4x – 7y)
Ví dụ 2: 3x (x –1) + 7x2(x –1)
 = x(x –1)3 + x(x –1)7x
 = x(x –1) (3 + 7x)
* Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần phải đổi dấu các hạng tử theo quy tắc: 
- (-A) = A
(y –x) = - (x –y)
Ví dụ 3: 3x(x –2y) + 6y(2y –x)
 = 3(x -2y).x –3(x –2y).2y
 = 3(x –2y) (x –2y) = 3(x –2y)2
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
a) Đặc điểm: Được áp dụng trong trường hợp đa thức có chứa 1 trong các vế của 7 hằng đẳng thức.
b) Yêu cầu:
- Học sinh nắm vững và vận dụng thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Đối với học sinh khá, giỏi cần biết thêm các hằng đẳng thức sau:
(a+b+c)2 = a2+ b2+c2+2ab +2ac +2bc
1 – xn = (1-x)(1+x+x2+...+xn-1)
An- Bn = (A-B)(An-1+An-2B+ ... +ABn-2+Bn-1)
A2k+ B2k= (A+B)(A2k-1-A2k-2B + ... +AB2k-2-B2k-1)
A2k+1+ B2k+1= (A+B)(A2k-A2k-1B + ... -AB2k-1+B2k)
c) Phương pháp:
- Quan sát và phán đoán xem đa thức có dạng vế trái hay vế phải của hằng đẳng thức nào thì áp dụng hằng đẳng thức đó để viết đa thức đã cho thành vế còn lại của hằng đẳng thức ở dạng tích các đa thức hoặc luỹ thừa của một đa thức.
d) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: 4x2+ 12x +9
= (2x)2+ 2. 2x.3+32
= (2x + 3)2
Ví dụ 2: 1 – 8x3y6
 = 13+ (2xy2)3
 = (1 +2xy2)(1 – 2xy2+4x2y4)
Ví dụ 3: 8x3- 12x2y +6xy2-y3
= (2x)3 – 3.(2x)2.y+3.2x.y2-y3
= (2x – y)3
e) Chú ý: Đôi khi ta phải đổi dấu các hạng tử của đa thức để có thể áp dụng được hằng đẳng thức.
Ví dụ 4: -x4y2- 8x2y –16
= -( x4y2+ 8x2y +16)
= -[(x2y)2+ 2.x2y.4 + 42]
= -(x2y + 4)2
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
a) Đặc điểm: Được áp dụng trong trường hợp các hạng tử của đa thức chưa có ngay nhân tử chung hoặc chưa xuất hiện dạng của hằng đẳng thức nào đã học.
b) Yêu cầu:
- Học sinh nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ
- Học sinh nắm vững quy tắc dấu ngoặc
- Học sinh nắm vững tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
- Học sing có khả năng quan sát, phân tích, phán đoán linh hoạt để nhóm các hạng tử một cách thích hợp.
c) Phương pháp: 
- Nhóm các hạng tử của đa thức một cách thích hợp để có thể phân tích các nhóm hạng tử đó thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung sao cho các nhóm xuất hiện nhân tử chung.
d) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: Nhóm hạng tử thứ nhất và thứ ba thành một nhóm
 x2 - 3x + xy - 3y 
= (x2+xy) – (3x+3y) 
= x(x+y) – 3(x+y)
= (x+y)(x-3)
Ví dụ 2: Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối thành hai nhóm
 x3+4x2-9x-36
= (x3+ 4x2) – (9x + 36) 
= x2(x+ 4) – 9(x+ 4)
= (x+ 4)(x2- 9)
= (x+ 4)(x- 3)(x+ 3)
Ví dụ 3: Nhóm ba hạng tử 
x2+ 2x+1 –y2
= (x2+ 2x+1) – y2
= (x +1)2- y2
 = (x+1– y)(x+1+ y)
e) Chú ý: Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm hạng tử do đó ta nên chọn cách nhóm thích hợp để lời giải được ngắn gọn nhất.
Chẳng hạn ở Ví dụ 1: x2 - 3x + xy - 3y 
= (x2- 3x) + (xy- 3y)
= x(x- 3) + y(x- 3)
= (x- 3)(x+ y)
* Nhận xét: 
 1. Trong thực tế, việc phân tích một đa thức thành nhân tử không chỉ dùng một trong các phương pháp đã học mà có những trường hợp cần phải phối hợp nhiều phương pháp mới phân tích được đa thức đó thành nhân tử.
Ví dụ 4: x2+2xy+y2- xz- yz
= (x2+2xy+y2) – (xz+yz) (Nhóm hạng tử)
= (x+y)2- z(x+y) (Hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung)
= (x+y)(x+y-z) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 5: 3x3 - 6x2y –3xy3- 6xy2z – 3xyz2+3xy
= 3xy( x2- 2x- y2- 2yz- z2+ 1)
= 3xy[(x2- 2x+ 1) – (y2- 2yz+ z2)]
= 3xy[(x- 1)2- (y- z)2]
= 3xy[(x-1)- (y-z)][(x-1)+(y-z)]
=3xy( x-1- y+ z)(x- 1+ y- z)
= 3xy(x- y+z- 1)(x+ y- z- 1)
 2. Muốn phân tích một đa thức thành nhân tử trước tiên ta cần thực hiện theo các trình tự sau:
- Xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không. Nếu có hãy dùng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích.
- Xét xem các hạng tử của đa thức có ở dạng một vế nào đó của một trong các hằng đẳng thức đã học hay không. Nếu có hãy sử dụng hằng đẳng thức đó để phân tích.
- Nếu không sử dụng được hai phương pháp trên ta thử nhóm các hạng tử một cách thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung của các nhóm.
- Nếu một trong các cách trên không giúp ta phân tích được đa thức thành nhân tử ta hãy xét đến một trong các phương pháp phân tích sau đây. 
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐẶC BIỆT KHÁC 
4. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác 
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng đối với các đa thức mà không vận dụng ngay được ba phương pháp đã nêu ở trên để phân tích thành nhân tử và thường có bậc hai trở lên.
b) Yêu cầu: 
- Học sinh nắm vững ba phương pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng thành thạo để làm bài tập.
- Học sinh có khả năng nhận xét, phân tích đa thức để chọn tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử một cách thích hợp.
c) Phương pháp: 
- Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử khác nhằm biến đổi đa thức tạo ra các hạng tử thích hợp để nhóm làm xuất hiện nhân tử chung ở các nhóm hoặc xuất hiện hiệu của hai bình phương.
- Cụ thể như sau:
 + Trường hợp 1: Nếu đa thức có dạng : x2+ (a+b)x+ ab thì phân tích được thành: (x+a)(x+b)
 + Trường hợp 2: Nếu đa thức có dạng: x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc
thì phân tích được thành: (x+a)(x+b)(x+c)
 + Trường hợp 3: Đa thức có dạng: ax2+bx+c (Tổng quát:)
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách
Bước 3: Chọn hai thừa số b1, b2 sao cho b = b1+ b2 và b1b2= ac .
Khi đó ax2+bx+c = ax2+b1x+b2x+ c
Tiếp theo ta sử dụng phương nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích.
d) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: x2+5x+6
= x2 + (3+2)x + 3.2
= (x2+3x)+(2x+3.2)
=x(x+3)+2(x+3)
=(x+3)(x+2)
Ví dụ 2: x3+ 6x2+11x+ 6
= x3+(1+2+3)x2+ (1.2+2.3+1.3)x+ 1.2.3
= (x+1)(x+2)(x+3)
Hoặc tách x3+ 6x2+11x+ 6
= x3+ x2+ 5x2+ 5x+ 6x+ 6
= x2(x+1)+ 5x(x+1)+ 6(x+1)
= (x+1)(x2+5x+6)
= (x+1)(x+2)(x+3) (Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Ví dụ 3: 3x2- 8x+ 4 (a=3; b=-8; c=4 )
 Ta có a.c = 3.4=12= (1)(12)= (2)( 6)= (3)( 4)
 Nhận thấy chỉ có (-6)+(-2)= -8 (b1=-6, b2=-2)
Vậy ta có: 3x2- 8x+ 4
= 3x2- 6x- 2x+ 4
= 3x(x-2)- 2(x-2) = (x-2)(3x-2)
e) Chú ý: Với các đa thức bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)= 0. Vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x= a thì dạng phân tích của nó có chứa (x- a).
Ta còn chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ 4: x3 - x2- 4
Ta có Ư(4) = {1; 2; 4}
Ta thấy f(2) = 23- 22- 4= 0
Vậy đa thức có nghiệm x= 2 do đó dạng phân tích có chứa (x- 2)
Ta tách các hạng tử như sau:
 x3 - x2- 4 = x3- 2x2+ x2- 2x+ 2x- 4 
 = x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2)
* Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta nên nhớ hai định lí sau:
ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x=1 là một nghiệm của đa thức, do đó dạng phân tích của đa thức có chứa x-1.
Chẳng hạn: Đa thức x3-5x+8x-4 có 1+(-5)+8+(-4) = 0 nên dạng phân tích của đa thức có chứa x-1.
ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì x=-1 là một nghiệm của đa thức, do đó dạng phân tích của đa thức có chứa x+1.
Chẳng hạn: Đa thức x3-5x+3x+9 có: 1+3 = -5+9 nên nên dạng phân tích của đa thức có chứa x+1.
* Nếu đa thức không có nghiệm nguyên thì có thể có nghiệm hữu tỉ. Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức phải có dạng: trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
Ví dụ 5: Xét đa thức 3x3-7x2+17x-5
	Ta có Ư(5) = {±1; ±5} không là nghiệm của đa thức, như vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy vậy đa thức có thể có thể có nghiệm Hữu tỉ.
	Vì Ư(5) = {±1; ±5} và Ư(3) = {1; 3}
	Xét các số ta thấy là một nghiệm của đa thức, do đó dạng phân tích của đa thức có chứa thừa số 3x-1. Vậy ta tách các hạng tử của đa thức như sau:
	3x3-7x2+17x-5 
= 3x3- x2- 6x2+ 2x + 15x – 5
	= x2(3x-1) – 2x(3x-1) + 5(3x-1) 
	= (3x-1)(x2-2x+5)
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng cho những đa thức bậc cao mà sau khi sắp xếp, có khuyết nhiều bậc trung gian và không áp dụng được các phương pháp đã nêu trên.
b) Phương pháp:
- Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện dạng đủ của hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu và làm xuất hiện hiệu hai bình phương.
- Thêm bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện thừa số chung.
c) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: a4+a2b2+b4
= a4+2 a2b2+b4- a2b2 (Thêm bớt a2b2)
= (a2+b2)2- a2b2
=(a2+b2+ab)( a2+b2-ab)
Ví dụ 2: x5+ x4+1
= x5+ x4+ x3- x3+1 (Thêm bớt x3)
= x3(x2+x+1) – (x-1)(x2+x+1)
= (x2+x+1)(x3-x+1)
Ví dụ 3: 4x4+ 81
= 4x4+ 36x2+ 81 – 36x2
= (2x2+ 9)2- (6x)2
= (2x2+ 9 +6x)(2x2+ 9- 6x)= (2x2+ 6x+ 9)(2x2- 6x+ 9)
d) Chú ý: Các đa thức có dạng như: x7+x2+1; x5+x+1; x7+x5+1; x+x8+1;... Đều chứa thừa số x2+x+1.
	Chứng minh: 
Ta có: x3m+1+x3n+2+1 = x3m+1- x + x3n+2-x2+x2+x+1
	 = x(x3m-1)+x2(x3n-1)+(x2+x+1)
Vì x3m-1 và x3n-1 đều chia hết cho x3-1, do đó chia hết cho x2+x+1
6. Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ):
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng khi phân tích các đa thức có dạng phức tạp (đa thức bậc cao chẵn, đa thức nhiều biến,) để việc biến đổi được đơn giản hơn.
b) Phương pháp: 
- Tìm sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức đã cho để chọn và đặt ẩn phụ thích hợp, đưa đa thức về dạng đã học rồi sử dụng các phương pháp phân tích cơ bản khác để biến đổi đa thức mới thành nhân tử. Cuối cùng thay trở lại biến ban đầu.
c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Ví dụ 1: x(x+4)(x+6)(x+10)+128
	 = [x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128 
	 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128
	Đặt x2+10x+12 = y, đa thức đã cho trở thành:
	 (y-12)(y+12)+128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y-4)(y+4)
	Thay trở lại ta được:
	 x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)( x2+10x+8)
	 = (x+2)(x+8)( x2+10x+8)
* Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc bốn đối với biến x về đa thức bậc hai đối với biến y.
Ví dụ 2: 4x(x+y+z)(x+y)(x+z)+y2z2
	 = 4(x2+xy+xz)(x2+xy+xz+yz)+ y2z2
	Đặt x2+xy+xz = a, đa thức đã cho trở thành:
	 4a(a+yz)+y2z2 = 4a2 + 4ayz + y2z2 = (2a+yz)2
Thay trở lại ta được:
 4x(x+y+z)(x+y)(x+z)+ y2z2=(2x2+2xy+2xz+yz)2
d) Chú ý: Khi gặp các đa thức bậc chẵn có các hệ số đối xứng nhau qua hạng tử ở giữa ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 3: x4+6x3+7x2-6x+1
	Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của đa thức nên ta có:
	 x4+6x3+7x2-6x+1 = x2(x2+6x+7-)
	 = x2[(x2+)+6(x-)+7]
	Ta đặt ta được đa thức:
	 x2(y2+2+6y+7) = x2(y+3)2 = (xy+3x)2 = [()+3x]2 = (x2+3x-1)2
7. Phương pháp hệ số bất định:
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng khi phân tích đa thức không có nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ.
b) Phương pháp:
- Cơ sở của phương pháp hệ số bất định là: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức A(x) và B(x) đồng nhất với nhau. Tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà A(x) và B(x) luôn có giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.
	Cho A(x) = anxn+an-1xn-1+  +a1x+a0
	 B(x) = bnxn+bn-1xn-1+  +b1x+b0
	A(x) = B(X) Þ an=bn; an-1=bn-1; ; a1=b1; a0=b0
	Trên cơ sở bậc của đa thức đã cho ta xác định dạng phân tích của đa thức rồi viết 2 vế của đẳng thức dưới dạng hai đa thức đã sắp xếp, sau đó đồng nhất hệ số ở hai vế và giải các đẳng thức để xác định các hệ số chưa biết.
c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
Ví dụ 1: x4- 6x3+12x2- 14x+3
	Ta có Ư(3) = {±1; ±3} không có số nào là nghiệm của đa thức và đa thức có bậc 4, do vậy nếu phân tích được thành nhân tử phải có dạng.
	 (x2+ax+b)(x2+cx+d) với a,b,c,d ÎZ
	Vậy ta có: x4- 6x3+12x2- 14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d)
	Û x4- 6x3+12x2- 14x+3 = x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(bc+ad)x+bd
	Đồng nhất hệ số ở hai vế ta có:
	Vì b,d ÎZ và bd = 3 suy ra b Î{±1; ±3}
	- Với b = 3 thì d = 1 thay vào (2) ta được a.c = 8
	Mà a + c = -6 (1) Þ a = -2; c = -4 thoả mãn hệ trên.
	Do đó đa thức đã cho phân tích được thành nhân tử như sau:
	 x4- 6x3+12x2- 14x+3 = (x2-2x+3)(x2-4x+1)
Ta có thể trình bày lời giải ví dụ trên như sau:
	x4- 6x3+12x2- 14x+3 = x4-4x3+x2-2x3+8x2-2x+3x2-12x+3
= x2(x2-4x+1) - 2x(x2-4x+1) + 3(x2-4x+1) = (x2-2x+3)(x2-4x+1)
d) Chú ý:
+ Vì đa thức trên không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên dạng phân tích thành nhân tử phải là các đa thức có bậc chẵn.
+ Cần nhớ rằng không phải mọi đa thức đều có thể phân tích được thành nhân tử trên tập số thực. Những đa thức mà ta chỉ ra rằng nó luôn nhận các giá trị khác 0 với mọi giá trị của biến lấy trong tập R thì không thể phân tích được thành nhân tử trong tập hợp R.
+ Phương pháp hệ số bất định có thể áp dụng đối với mọi đa thức bậc 2 trở lên, tuy nhiên do phải biến đổi dài và phức tạp nên ta thường sử dụng các phương pháp khác.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x3-19x-30 thành nhân tử:
	Ta thấy đa thức trên có bậc 3 đối với biến x, nên nếu phân tích được thành nhân tử phải có dạng (x+a)(x2+bx+c).
	 Vậy ta có : x3-19x-30 = (x+a)( x2+bx+c)
	Û x3-19x-30 = x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac
	Đồng nhất hệ số ở hai vế ta có:
	Vì a;cÎZ và a.c = -30 Þ a; c Î {±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15’ ±30}
	Với a = 2 thì c = -15 Þ b = -2 thoả mãn hệ phương trình trên. Do vậy đa thức trên có dạng phân tích thành nhân tử như sau:
x3-19x-30 = (x+2)(x2-2x-15)
8. Phương pháp dùng phép chia đa thức:
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng để phân tích các đa thức mà ta có thể nhẩm được nghiệm của nó.
b) Phương pháp: Là cách sử dụng đinh lí về phép chia hết của đa thức.
	Nếu A(x) B(x) thì A(x) = B(x).Q(x)
Trong đó Q(x) là thường của phép chia A(x) cho B(x)
	Đặc biệt A(x) x – a Û A(a) = 0
c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: x4-2x3+x2-4
 Ta có Ư(4) = {±1; ±2; ±4}, nhẩm thấy x = -1 và x = 2 là nghiệm của đa thức
	Do đó trong dạng phân tích của đa thức có chứa các nhân tử là: (x+1) và (x-2).
	Chia đa thức x4-2x3+x2-4 cho x+1 ta được thương là : x3-3x2+4x-4
	Chia tiếp đa thức x3-3x2+4x-4 cho x-2 ta được thương là: x2-x+2
Đa thức x2-x+2 không có nghiệm trên R nên đa thức này không phân tích được tiếp. Vậy đa thức đã cho phân tích được thành nhân tử như sau:
 x4-2x3+x2-4 = (x+1)(x-2)( x2-x+2)
Ví dụ 2: 5x2+6xy+y2
	Ta thấy x = -y là một nghiệm của đa thức vì 5(-y)2+6(-y)y+y2=0
	Vậy dạng phân tích của đa thức có chứa nhân tử là x+y hay đa thức chia hết cho x+y.
	Chia đa thức 5x2+6xy+y2 cho x+y ta được thương là (5x+y)
	Vậy đa thức đã cho phân tích được thành nhân tử như sau:
	 5x2+6xy+y2 = (x+y)(5x+y)
9. Phương pháp xét giá trị riêng:
a) Đặc điểm: Được áp dụng cho những đa thức nhiều biến có tính chất: Nếu thay biến này bằng biến khác theo vòng tròn thì đa thức có giá trị không đổi (hay đa thức có thể hoán vị vòng quanh).
b) Phương pháp:
- Trước tiên ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
c) Ví dụ: Phân tích các da thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: A = x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y)
	Thử thay x = y vào đa thức A ta được: A = y2(y-z) + y2(z-y) = 0
	Như vậy dạng phân tích của đa thức A có chứa thừa số (x-y)
	Tương tự thay y = z và x = y vào đa thức A ta thấy A = 0 (không đổi)
	Ta nói đa thức A có thể hoán vị vòng quanh x®y®z®x
	Vậy vai trò của x, y, z như nhau. Cho nên A có chứa (x-y) thì cũng chứa (y-z) và (z-x).
	Do vậy đa thức A có dạng phân tích là : k(x-y)(y-z)(z-x)
	Dễ thấy k là hằng số vì đa thức A có bậc 3 đối với tập hợp các biến, mà tích (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến.
	Vậy ta có đẳng thức: 
 x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y) = k(x-y)(y-z)(z-x)	(*)
Đẳng thức trên đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho x, y, z các giá trị tuỳ ý. Chẳng hạn chọn x = 2, y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*) ta được:
	 4.1 +1.(-2)+ 0 = k.1.1.(-2) Þ k = -1
	Vậy đa thức A phân tích được thành nhân tử như sau:
	 A = x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y) = - (x-y)(y-z)(z-x)
d) Chú ý: Các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý sao cho x ≠ y; y ≠ z; z ≠ x
để (x-y)(y-z)(z-x) ≠ 0
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. BÀI TẬP
Bài 1: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp đặt nhân tử chung
	a) 3x2(y-2z) – 15x(y-2z)2
	b) y2(x2+y) – zx2 – zy
	c) 3x(x-2y) + 6y(2y-x)
	d) (a-b)2- (b-a)(a+b)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
	a) 25x2+10x+1
	b) 9x2-24xy+16y2
	c) x4 – y4
	d) (a+b)3 – (a-b)3
Bài 3: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử
	a) 2xy+z+2x+yz
	b) x3+y3+2x2-2xy+2y2
	c) 12y – 9x2+36-3x2y
	d) x2-10x+25 – y2 – 4yz – 4z2
Bài 4: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp tách hạng tử
	a) x3-7x-6
	b) x2-x-12
	c) x2-10xy+9y2
	d) x3-x2-4
Bài 5: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
	a) 4x4+81
	b) x3-x2-4
	c) 64x4+y4
	d) x3-7x-6
Bài 6: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp đổi biến
	a) (x2+x+1)(x2+x+2) – 12
	b) (x2+x)2- 2(x2+x) – 15
	c) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24
	d) (4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1) – 4
Bài 7: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp hệ số bất định
	a) x4+6x3+7x2+6x+1
	b) x3+4x2+5x+2
	c) 2x4+3x3-7x2+6x+8
	d) x3+2x2-2x-12
Bài 8: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp dùng phép chia đa thức
	a) x3-5x2+8x-4
	b) 5x4+9x3-2x2-4x-8
	c) x3-x2-4
	d) 3x3-7x2+17x-5
Bài 9: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp xét giá trị riêng
	a) yz(y-z)+zx(z-x)+xy(x-y)
	b) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
	c) (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3
	d) x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2+2xyz
I. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1:	a) = 3x(y-2z)(x-5y+2z)
	b) = (x2+y)(y2-z)
	c) = 3(x-2y)2 	(áp dụng quy tắc đổi dấu đa thức)
	d) = 2a(a-b)	(áp dụng quy tắc đổi dấu đa thức)
Bài 2:a) = (5x-1)2
	b) = (3x-4y)2
	c) = (x2-y2)(x2+y2)
	d) = 2b(3a2+b)
Bài 3:a) = (y-1)(2x+z)
	b) = (x2-xy+y2)(x+y-2)
	c) = 3(y+3)(2-x)(2+x)
	d) = (x-5+y+2z)(x-5-y-2z)
Bài 4:a) Tách -7x = -x – 6x 	ta có đa thức:	(x+1)(x2-x-6)
	b) Tách –x = -4x+3x 	ta có đa thức:	(x-4)(x+3)
	c) Tách -10xy = -xy-9xy ta có đa thức:	(x-y)(x-9y)
	d) x3-x2-4 = x3-2x2+x2-2x+2x-4 =  = (x-2)(x2+x+2)
Bài 5:a) Thêm, bớt 36x2 ta có đa thức: (2x2+9+6x)(2x2+9-6x)
	b) Tách –x2 = -2x2+x2 và thêm, bớt 2x ta có đa thức: (x-2)(x2+x+2)
	c) Thêm, bớt 16x2y2 	ta có đa thức: 	(8x2+y2+4xy)(8x2+y2-4xy)
	d) Thêm, bớt x2 và tách -7x = -x – 6x ta có đa thức: (x-1)(x2-x-6)
Bài 6:a) Đặt x2+x+1 = y ta có đa thức:	y(y-1)-12 =  = (y-3)(y+4)
	b) Đặt x2+x = y 	 ta có đa thức: 	y2-2y-15 =  = (y+3)(y-5)
	c) Đặt x2+7x+11 = y ta có đa thức: (y-1)(y+1) – 24 =  = (y-5)(y+5)
	d) Đặt 12x2+11x – 1 = y ta có đa thức: y(y+3) -4 =  = (y-1)(y+4)
Bài 7:a) = (x2+x+1)(x2+5x+1)
	b) = (x+1)2(x+2)
	c) = (x+2)(x-1)(2x2-x-4)
	d) = (x-2)(x2+4x+6)
Bài 8:a) = (x-1)(x-2)2
	b) = (x-1)(x+2)(5x2+4x+4)
	c) = (x-2)(x2+x+2)
	d) Đa thức không có nghiệm nguyên nhưng có nghiệm hữu tỉ là 1/3, do đó dạng phân tích có chứa 3x-1
	 = (3x-1)(x2+x+2)
Bài 9:a) = -(x-y)(y-z)(z-x)
	b) = 3(x-y)(y-z)(z-x)
	c) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
	d) = (x+y)(y+z)(z+x)
D. BÀI SOẠN THỂ NGHIỆM
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
 Tiết 12
I. MỤC TIÊU 	
- HS biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học vào việc phân tích các đa thức thành nhân tử.
- Rèn luyện kỹ năng quan sát, phân tích, tư duy của HS qua giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS
- GV: Máy chiếu, Máy vi tính 
- HS : Bảng nhóm, bút dạ. Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT đã học
III. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC 
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
HĐ 1: Kiểm tra bài cũ (8 ph)
- GV gọi 2 HS lên bảng
1. Nêu các phương pháp PTĐTTNT đã học
 áp dụng chữa bài 50b SGK
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a) x2-xy+x-y
 b) x2+4x-y2+4
- GV gọi HS nhận xét bài làm của các bạn
- GV đánh giá cho điểm HS
- HS1: Nêu 3 PPPTĐTTNT: Đặt n