Tài liệu dạy thêm môn Toán 7, kì II

hợp 3: Góc – cạnh – góc (g – c – g). 
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này 
bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia 
thì hai tam giác đó bằng nhau 
Nếu ABC và  ' ' 'A B C có 
 
 
 
'
' ' ' ' '
'
B B
BC B C ABC A B C g c g
C C


      

 
. 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 26 
Câu 8. Nêu định nghĩa và tính chất của tam giác cân và tam giác đều? 
Định ngĩa: - Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. 
 - Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. 
Tính chất: 
1. Tam giác cân: 
 - Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. 
 - Nếu một tam giác có 2 góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 
2. Tam giác đều: 
 - Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 60 . 
 - Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. 
 - Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 thì tam giác đó là tam giác đều. 
Câu 9. Phát biểu định lí Pytago và định lí Pytago đảo? 
1. Định lí Pytago: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình 
phương của hai cạnh góc vuông. 
2. Định lí Pytago đảo: Nếu một tam giác có bình phương của 1 cạnh bằng tổng các bình 
phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. 
Câu 10. Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông? 
Trường hợp 1: (cặp cạnh góc vuông) Nếu hai 
cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng 
hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì 
hai tam giác vuông đó bằng nhau. 
Trường hợp 2: (cạnh góc vuông – góc nhọn) 
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề 
cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một 
cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy 
của tam giác vuông kia thì hai giác vuông đó 
bằng nhau. 
Trường hợp 3: (cạnh huyền – góc nhọn) 
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam 
giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc 
nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác 
vuông đó bằng nhau. 
Trường hợp 4: (cạnh huyền – cạnh góc 
vuông) Nếu cạnh huyền và một cạnh góc 
vuông của tam giác vuông này bằng cạnh 
huyền và một cạnh góc vuông của tam giác 
vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng 
nhau. 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 27 
Câu 11. Nêu quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam 
giác)? 
- Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn 
ABC : Nếu AC AB thì  B C . 
- Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn 
ABC : Nếu  B C thì AC AB . 
Câu 12. Nêu khái niệm, tính chất trong quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và 
hình chiếu? 
Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của 
đường xiên: 
Lấy A d , kẻ AH d , lấy B d và B H . Khi đó: 
+ Đoạn thẳng AH gọi là đường vuông góc kẻ từ A đến 
đường thẳng d . 
+ Điểm H gọi là hình chiếu của A trên đường thẳng d . 
+ Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ A đến 
đường thẳng d . 
+ Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB 
trên đường thẳng d . 
Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ 
từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn 
nhất. 
Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài 
một đường thẳng đến đường thẳng đó, thì: 
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn 
- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn 
Chú ý: Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình 
chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 
Câu 13. Nêu bất đẳng thức tam giác? 
1 - Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng 
lớn hơn độ dài cạnh còn lại. 
AB AC BC  ; AB BC AC  ; AC BC AB  . 
2 - Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng 
nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. 
AC BC AB  ; AB BC AC  ; AC AB BC  . 
 Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng 
lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. 
VD: AB AC BC AB AC    . 
Câu 14. Nêu tính chất của 3 đường trung tuyến? 
Định nghĩa: Đường trung tuyến là đường nối từ một đỉnh đến 
trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó. Và mỗi tam giác có 3 
đường trung tuyến. 
Tính chất: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua 
một điểm (còn gọi là: ba đường trung tuyến của một tam giác 
đồng qui). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 
2
3
 độ dài 
đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy:   
2
3
GA GB DC
DA EB FC
. 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 28 
G là trọng tâm của tam giác ABC . 
Câu 15. Nêu tính chất ba đường phân giác của tam giác? 
Định nghĩa: đường phân giác của một góc là đường chia 
góc đó thành hai góc nhỏ bằng nhau. 
Tính chất: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi 
qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. 
Câu 16. Nêu tính chất ba đường trung trực của tam giác? 
Tính chất: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi 
qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. 
Câu 17. Nêu tính chất ba đường cao của tam giác? 
Nhắc lại: đường cao trong tam giác là đường vuông góc với một cạnh và đi qua một đỉnh của 
tam giác. 
Tính chất: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. 
D. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 
Vấn đề 1. Chứng minh tam giác cân. 
1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau. 
2. Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau. 
3. Chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến vừa là đường cao. 
4. Chứng minh tam giác đó có đường cao vừa là đường phân giác ở đỉnh. 
Vấn đề 2. Chứng minh tam giác đều. 
1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau. 
2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau. 
3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 60 . 
Vấn đề 3. chứng minh hai góc bằng nhau 
1. Chứng minh hai góc có cùng số đo. 
2. Chứng minh hai góc cùng bằng một góc thứ ba,chứng minh hai góc cùng phụ với một góc , 
chứng minh hai góc cùng bù với một góc . 
3. Chứng minh hai góc cùng bằng tổng ,hiệu của hai góc tương ứng bằng nhau. 
4. Chứng minh hai góc đó đối đỉnh. 
5. Chứng minh hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc. 
6. Chứng minh hai góc đó là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. 
7. Chứng minh hai góc đó là hai góc đáy của một tam giác cân. 
8. Chứng minh hai góc đó là hai góc của một tam giác đều. 
9. Chứng minh dựa vào định nghĩa tia phân giác của một góc. 
10. Chứng minh dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song (đồng vị, so le, ...) 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 29 
Vấn đề 4. Các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: 
1. Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo. 
2. Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. 
3. Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, ... của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một. 
4. Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. 
5. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau được suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác 
đều, tam giác vuông, v.v... 
6. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng ,định 
nghĩa trung tuyến của tam giác,định nghĩa trung trực của đoạn thẳng,định nghĩa phân giác của 
một góc . 
7. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh 
huyền. 
8. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào tính chất giao điểm ba đường phân giác 
trong tam giác,tính chất giao điểm ba đường trung trực trong tam giác. 
9. Chứng minh dựa vào định lí Pitago. 
Vấn đề 5. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song : 
1. Chứng minh hai góc so le trong bằng nhau. 
2. Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau. 
3. Chứng minh hai góc trong cùng phía bù nhau. 
4. Chứng minh hai góc sole ngoài bằng nhau. 
5. Chứng minh hai góc ngoài cùng phía bù nhau. 
6. Chứng minh a và b cùng vuông góc với một đường thẳng c nào đó. 
7. Chứng minh a và b cùng song song với một đường thẳng c nào đó. 
8. Để chứng minh //a b . Ta giả sử a và b có điểm chung rồi dẫn đến một điều vô lý ( chứng 
minh bằng phản chứng ). 
Vấn đề 6. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc: 
1. Chứng minh rằng một trong những góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là góc vuông (định 
nghĩa ) . 
2. Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù. 
3. Chứng minh dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180 , đi chứng minh 
cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bằng 90 . 
4. Chứng minh dựa vào định lí "đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song 
song thì vuông góc với đường thẳng kia ". 
5. Chứng minh dựa vào định nghĩa ba đường cao của tam giác, định nghĩa đường trung trực của 
đoạn thẳng. 
6. Chứng minh dựa vào tính chất của tam giác cân , tam giác đều. 
7. Chứng minh dựa vào tính chất ba đường cao của tam giác. 
8. Chứng minh dựa vào định lí Pitago 
9. Chứng minh dựa vào định lí nhận biết một tam giác vuông khi biết tam giác này có trung 
tuyến thuộc một cạnh bằng nửa cạnh ấy. 
Vấn đề 7. Các phương pháp chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau: 
1. Chứng minh hai tam giác ấy có hai cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi một (c.g.c). 
2. Chứng minh hai tam giác ấy có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau từng đôi một (dẫn 
tới trường hợp bằng nhau c.g.c) 
3. Chứng minh hai tam giác ấy có cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau từng đôi một 
(định lí ) 
4. Chứng minh hai tam giác ấy có một cạnh góc vuông và một góc nhọn bằng nhau từng đôi 
một (dẫn tới trường hợp bằng nhau g.c.g) 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 30 
Vấn đề 8. Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng: 
1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau. 
2. Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia hoặc cùng thuộc một đường thẳng. 
3. Chứng minh trong ba đoạn nối hai trong ba điểm có một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn 
thẳng kia. 
4. Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng song song với đường thẳng 
thứ ba. 
5. Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh. 
6. Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy cùng vuông góc với đường thẳng 
thứ ba 
7. Đường thẳng đi qua hai trong ba điểm có chứa điểm thứ ba. 
8. Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, 
tính chất ba đường cao, ... trong tam giác. 
Vấn đề 9. Các phương pháp chứng minh 3 đường thẳng đồng quy: 
1. Tìm giao của hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba đi qua giao của hai 
đường thẳng trên. 
2. Chứng minh một điểm thuộc ba đường thẳng. 
3. Chứng minh dựa vào tính chất đồng quy trong tam giác: Ba đường thẳng chứa các đường 
trung tuyến, các đường phân giác, các đường trung trực, các đường cao của tam giác. 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 31 
E. CÁC DẠNG TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP 
Dạng 1: Các bài toán liên quan tam giác cân, tam giác đều 
Câu 1. Cho ABC vuông ở A , có góc  75B   . Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho 
2BH AC . Tính góc BHC . 
Câu 2. Cho ABC cân tại A . Có góc  40A   . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx 
sao cho góc  100CBx   . Trên Bx lấy điểm E sao cho BE BA . Tính góc BEC . 
Câu 3. Cho ABC vuông cân ở A . Điểm E nằm trong tam giác sao cho góc   15AEC ECA   . 
Tính góc AEB . 
Câu 4. Cho ABC cân có góc ở đỉnh  20A   . Các điểm M , N theo thứ tự trên AB , AC sao cho 
góc  50BCM   , góc  60CBN   . 
Câu 5. Cho ABC , vẽ phía ngoài tam giác dựng các tam giác vuông cân đỉnh A là ADB và 
ACE . Gọi P , Q , M thứ tự là trung điểm của BD , CE và BC . Tính các góc của PQM . 
Câu 6. Cho ABC cân tại A , gọi M , N là trung điểm của AC , AB và hai đường BM , CN cắt 
nhau tại K . 
a) Chứng minh BNC CMB   . b) Chứng minh BKC cân tại K . 
Câu 7.  * Cho ABC nhọn có AB AC , vẽ đường cao AH . Vẽ M , N sao cho AB , AC lần lượt 
là trung trực của các đoạn thẳng HM , HN . Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân. 
Câu 8. Cho ABC cân (AB AC ). Từ trung điểm M của BC vẽ ME AC và MF AC . Chứng 
minh: 
a) BEM CFM   . 
b) AE AF . 
c) AM là phân giác của góc EMF . 
Câu 9. Cho ABC nhọn, ở miền ngoài ta vẽ các tam giác đều 'ACB và 'ABC . Gọi K và L , thứ tự 
là trung điểm của 'AC và 'CB , điểm M thuộc cạnh BC sao cho 3BM MC . Tính các góc 
của KLM . 
Câu 10. Cho ABC vuông cân đỉnh A . Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC , kẻ tia Ax vuông góc với 
BM . Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm thuộc tia đối của tia HC sao cho 
HK HC . Kẻ tia Ky vuông góc với BM . Gọi I là giao điểm của Ky với AB . Tính góc 
AIM . 
Dạng 2. Bài tập về định lí Pytago và tam giác vuông 
Câu 1. Hãy chỉ ra bộ ba đoạn thẳng nào sau đây có thể là số đo ba cạnh của một tam giác? Có giải 
thích? 
a) 4 cm , 2 cm , 6cm . b) 4 cm , 3cm , 6cm . c) 4 cm , 1cm , 6cm . 
Câu 2. Tính chu vi của một tam giác cân biết hai cạnh bằng 4 m và 9 m . 
Câu 3. Cho ABC cân tại A , đường cao AH . Biết 5cmAB  , 6 cmBC  . Tính độ dài các đoạn 
thẳng BH , AH ? 
Câu 4. Cho ABC có  90A   , 8 cmAB  , 6 cmAC  . 
a) Tính BC . 
b) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 2cmAE  ; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho 
AD AB . Chứng minh BEC DEC   . 
Câu 5. Cho ABC (  90A   ) ; BD là phân giác của góc B (D AC ). Trên tia BC lấy điểm E sao 
cho BA BE . Chứng minh DE BE . 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 32 
Câu 6. Cho góc nhọn xOy . Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy . Từ H dựng các đường 
vuông góc HA , HB xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy ). Chứng minh 
HAB là tam giác cân. 
Câu 7. Cho ABC vuông ở C , có  60A   , tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E , kẻ EK vuông 
góc với AB . (K AB ), kẻ BD vuông góc AE (D AE ). Chứng minh: 
a) AK KB . b) AD BC . 
Câu 8. Cho ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE BC (E BC ). Gọi F là giao điểm 
của AB và DE . Chứng minh rằng: 
a) DF DC . b) //AE FC . 
Câu 9. Cho ABC vuông tại A ,  60B   . Vẽ AH vuông góc với BC , (H BC ). 
a) Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD HA . Chứng minh rằng hai tam giác 
AHC và DHC bằng nhau. 
b) Tính số đo của góc BDC . 
Câu 10. Cho ABC cân tại A , M là trung điểm của BC . Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E , 
kẻ MF vuông góc với AC tại F . Chứng minh BEM CFM   . 
Câu 11. Cho ABC cân tại A . Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , AC . Các đường thẳng vuông 
góc với AB , AC tại M ; N cắt nhau tại điểm O , AO cắt BC tại H . Chứng minh: 
a) AMO ANO   . b) AH là phân giác của góc A . 
c) HB HC và AH BC . 
Dạng 3. Quan hệ giữa các yếu tố và bất đẳng thức tam giác 
Câu 1. Cho ABC có  100A   ;  20B   . 
a) So sánh các cạnh của ABC . 
b) Vẽ AH vuông góc với BC tại H . So sánh HB và HC . 
Câu 2. Cho ABC vuông tại B và  57A   . So sánh các cạnh của tam giác. 
Câu 3. Cho ABC vuông tại A . Lấy điểm M thuộc cạnh AC , N thuộc AB . 
a) Chứng minh BM BC . b) Chứng minh MN BC . 
Câu 4. Cho ABC có 13cmAB  ; 10cmBC  ; 7 cmAC  . Hãy so sánh các góc của ABC . 
Câu 5. So sánh các cạnh của MNP , biết:  65M   ;  70N   . 
Câu 6. Cho ABC vuông tại A có BD là phân giác. Chứng minh rằng: AD DC . 
Câu 7. Cho ABC nhọn có AB AC , vẽ đường cao AH . 
a) Chứng minh HB HC . b) So sánh góc BAH và góc CAH . 
Câu 8. Cho ABC có AB AC . Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng :  MAB MAC . 
Câu 9. Cho ABC và O là một điểm nằm trong tam giác. BO cắt AC tai I . 
a) So sánh OA với IO IA , từ đó chứng minh OA OB IA IB   . 
b) So sánh IB với IC CB , từ đó chứng minh IA IB CA CB   . 
c) Chứng minh OA OB CA CB   . 
Câu 10. Cho ABC có AC AB , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D 
sao cho MD MA . Nối C với D . Kẻ đường cao AH . Gọi E là một điểm nằm giữa A và 
H . So sánh HC và HB ; EC và EB . 
Câu 11. Cho ABC , AB AC vẽ BD AC ; CE AB (D AC ; E AB ). Chứng minh rằng 
AB AC BD CE   . 
Câu 12. Cho ABC cân tại đỉnh A . Từ điểm D trên cạnh AB vẽ đường thẳng song song với BC cắt 
cạnh AC tại E . Chứng minh rằng  
1
2
BE DE BC  . 
Câu 13. Cho ABC cân tại A , gọi M , N là trung điểm của AC , AB và hai đường BM , CN cắt 
nhau tại K . Chứng minh 4.BC KM . 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 33 
Câu 14. Cho ABC , điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC ), gọi E và F là 
chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD . So sánh AC với AE CF . 
Câu 15. Cho ABC , M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng: 2AB AC AM  . 
Câu 16. Cho ABC , M là điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: MB MC AB AC   . 
Câu 17. Cho ABC có AB AC ; AD là tia phân giác của góc BAC (D BC ). M là điểm nằm trên 
đoạn thẳng AD . Chứng minh rằng MB MC AB AC   . 
Câu 18. Cho ABC , M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh rằng: 
a) Nếu  90A   thì 
1
2
AM BC . b) Nếu  90A   thì 
1
2
AM BC . 
c) Nếu  90A   thì 
1
2
AM BC . 
Câu 19. Trong các trường hợp sau trường hợp nào là ba cạnh của một tam giác. 
a) 5cm ; 10 cm ; 12 cm . b) 1m ; 2 m ; 3,3m . 
c) 1,2 m ; 1m ; 2,2 m . 
Câu 20. Cho ABC điểm D nằn giữa B và C . Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi ABC . 
Câu 21. Độ dài hai cạnh của một tam giác là 7 cm , 2 cm . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của 
nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ. 
Câu 22. Cho ABC trung tuyến AM và góc  B C . Hãy so sánh hai góc AMB và AMC . 
Câu 23. Tính số đo các góc của ABC biết đường cao AH , trung tuyến AD chia góc BAC thành 3 
góc bằng nhau. 
Dạng 4. Đường trung tuyến trong tam giác 
Câu 1. Biết hai đường trung tuyến AD , BE của MNP cắt 
nhau tại G . Tính các tỉ số 
AG
AD
;
DG
AG
;
BE
EG
. 
Câu 2. Cho hình vẽ bên : Điền số thích hợp vào ô trống: 
a) .....MG ME . 
b) .....MG GE . 
c) .....GF NG . 
Câu 3. Cho DEF cân tại D có đường trung tuyến DI . 
a) Chứng minh: DEI DFI   . 
b) Các góc DIE và góc DIF là góc gì ? c) 13cmDE DF  , 10cmEF  . tính DI . 
Câu 4. Cho ABC vuông tại A , đường trung tuyến AM . Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho 
MD MA . 
a) Tính số đo góc ABD . b) Chứng minh:  ABC BAD . 
c) So sánh độ dài AM và BC . 
Câu 5. Cho ABC nhọn (AB AC ), đường trung tuyến AM . Trên tia đối của MA lấy điểm D sao 
cho MD MA . 
a) Chứng minh: AMB DMC   và //AB CD . 
b) Gọi F là trung điểm CD , tia FM cắt AB tại K . Chứng minh: M là trung điểm KF . 
c) Gọi E là trung điểm của AC . BE cắt AM tại G , I là trung điểm của AF . Chứng minh: 3 
điểm K , G và I thẳng hàng. 
Câu 6. Cho ABC vuông tại A , có 8 cmAB  , 10cmBC  , trung tuyến AD cắt trung tuyến BE ở 
G . 
a) Tính AC , AE . b) Tính BE , BG . 
Câu 7. Cho ABC cân tại A , đường cao AH . Biết 5cmAB  , 6 cmBC  . 
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng ba điểm A , G , H thẳng hàng. 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 34 
b) Chứng minh:  ABG ACG . 
Câu 8. Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G . 
a) BGC là tam giác gì ? 
b) So sánh BCD và CBE . 
c) ABC là tam giác gì ? 
Câu 9. Hai đường trung tuyến AD và BE của ABC cắt nhau tại G . kéo dài GD thêm một đoạn 
DI DG . Chứng minh: G là trung điểm của AI . 
Câu 10. Cho ABC vuông tại A có 8 cmAB  , 10cmBC  , lấy điểm M trên cạnh AB sao cho 
4cmBM  , lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC . 
a) Tính AD . 
b) Điểm M là gì của BCD . 
c) Gọi E là trung điểm của BC . Chứng minh D , M , E thẳng hàng. 
Dạng 5. Đường phân giác trong tam giác 
Câu 1. .Cho ABC có 100A   ; Hai đường phân giác BM và CN 
của tam giác cắt nhau tại E . Tính số đo của góc BEC . 
Câu 2. Cho hình vẽ bên, tính BOC ? 
Câu 3. Cho ABC vuông tại A ; BM là đường phân giác. Vẽ 
MH BC , MH cắt AB tại E . Chứng minh: 
a) ABM HBM   . 
b) So sánh: AM và CM . 
c) BM EC . 
Câu 4. Cho ABC đường cao AH , đường phân giác BD và góc 
 45AHD   . Tính góc ADB . 
Câu 5. Cho (  90A   ) ; BD là phân giác của góc B (D AC ). Trên tia BC lấy điểm E sao cho 
BA BE . 
a) Chứng minh BD là đường trung trực của AE . 
b) Kẻ AH BC . So sánh EH và EC . 
Dạng 6. Đường trung trực trong tam giác 
Câu 1. Cho ABC vuông tại A ; phân giác BD . Kẻ DE BC (E BC ). Chứng minh : 
a) ABD EBD   . 
b) BD là đường trung trực của AE . 
Câu 2. Cho ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, O là giao điểm của hai đường trung trực cạnh 
AB , AC .Chứng minh rằng: 
a) BOC . 
b) Ba điểm A , O , G thẳng hàng. 
Câu 3. Cho ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE BC (E BC ). Gọi F là giao điểm 
của AB và DE . Chứng minh rằng: BD là trung trực của AE . 
Câu 4. Cho ABC cân tại A , M là trung điểm của BC . Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E , 
kẻ MF vuông góc với AC tại F . 
b) Chứng minh AM là trung trực của EF . 
c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B , từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC 
tại C , hai đường thẳng này cắt nhau tại D . Chứng minh rằng ba điểm A , M , D thẳng hàng. 
Dạng 7. Đường cao trong tam giác 
Câu 1. Cho ABC ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác đều ABE và ACF . Gọi H là trực tâm của 
ABE . I là trung điểm của BC . Tính các góc của FIH . 
 GV: Lê Hồng Quốc Năm học: 2017 – 2018 Trang 35 
Câu 2. Cho góc nhọn xOy , trên 2 cạnh Ox , Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho OA OB , tia 
phân giác của góc xOy cắt AB tại I . 
a) Chứng minh OI AB . 
b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy , C là giao điểm của AD với OI Chứng minh 
BC Ox . 
Câu 3. Cho góc nhọn xOy . Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy . Từ H dựng các đường 
vuông góc HA , HB xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy ). 
a) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy , C là giao điểm của AD với OH . Chứng minh 
BC Ox . 
b) Khi góc xOy bằng 60 , chứng minh 2OA OD . 
Bài tập tổng ôn. 
Câu 1. Cho ABC cân tại A , có AD là đường trung tuyến của ABC 
a) Chứng minh BD BC . 
b) Gọi G là trọng tâm của ABC . Tính DG , biết 13cmAB  ; 10cmBC  . 
c) Chứng minh ba điểm A ; D ; G thẳng hàng. 
d) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F sao cho DF DA , chứ