Toán 12 - Một vài phương pháp tính tích phân hàm hữu tỷ

Ngày soạn : 
MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP
TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Tiết: 
Chuyên đề
I- MỤC TIÊU: Giúp học sinh:
1. Về kiến thức:
- Củng cố định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm, một số phương pháp tính tích phân đã học để vận dụng tính tích phân.
- Nắm được phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đơn giản: Dạng P(x)/Q(x) với P(x), Q(x): có bậc cao nhất là 2
2. Về kỹ năng:
- Nhận dạng, tính được một số tích phân dạng hàm hữu tỉ đơn giản.
- Sử dụng thông thạo tính chất, bảng nguyên hàm và một số phương pháp tính tích phân để tính tích phân.
3. Về tư duy và thái độ:
- Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II- CHUẨN BỊ :
1. Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ.
2. Học sinh: - Ôn trước các kiến thức đã học: Nguyên hàm, tích phân.
III- PHƯƠNG PHÁP:
- Nêu và giải quyết vấn đề, thuyết trình, phân tích, tổng hợp, gợi mở vấn đáp
IV-TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định lớp :
2. Kiểm tra bài cũ: 
Câu hỏi 1: Tính tích phân ( học sinh lên bảng)
Câu hỏi 2: Điền vào chỗ chấm trong bảng sau: Máy chiếu
3. Bài mới: 
GV ĐVĐ: Ta vừa tính tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 1/bậc 1 bằng cách chia tử cho mẫu: Tử = thương + dư
 Mẫu Mẫu
Trong đó: thương và dư : hằng số
rồi tách đưa về dạng có thể tính được tích phân. Tiết này ta xét tiếp tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 2 / bậc 2. Vậy khi gặp dạng này, để tính tích phân ta sẽ làm như thế nào?
HSTL: Chia tử cho mẫu. 
GV: Vậy thương và dư có kết quả là gì?
HSTL: Thương: là hằng số , dư : là đa thức bậc nhất hoặc hằng số.
GV: Lúc này dẫn tới việc tính tích phân của các hàm số hữu tỉ dạng:
Dạng 1: 
Dạng 2: 
Ta sẽ lần lượt xét từng dạng: 
Hoạt động 1: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 1: 
Nội dung
Hoạt động của GV-HS
I. Dạng 1:
a) >0 :
Cách 1: Đồng nhất 
Đồng nhất để tìm a, b bằng cách giải hệ hoặc cho x các giá trị bất kì ( thường cho x bằng giá trị nghiệm x1, x2) 
Cách 2: Thêm, bớt rồi tách 
b) = 0 :
c) < 0: 
 (Đặt x + m = n.tant)
* Ví dụ áp dụng:
-VD1: 
-VD2:
NX: 
- VD3: 
x
-1 1
t
0 
 Đặt: x+1=2tant 
 dx=2(1+tan2t).dt
- GV: Dùng phương pháp gì để tách?
- HS: Đồng nhất 2 vế
- GV: Khi đồng nhất, làm thế nào để tìm A, B ?
- HS: Ta có thể giải hệ hoặc lấy x giá trị bất kì để tìm A, B (thường lấy các giá trị nghiệm để tìm A, B cho nhanh)
- GV: Sau khi tách , tìm nguyên hàm bằng công thức nào?
- HS: Dùng công thức 2)
- GV: Để tìm nguyên hàm của dùng công thức nào?
- HS: Dùng công thức 4)
- GV: Để tìm nguyên hàm của dùng công thức nào?
- HS: Dùng công thức 6)
- GV: Cho 3 ví dụ, hãy nêu cách làm của từng ví dụ? 
- HS: 
VD1: dạng 1 với >0
VD2: dạng 1 với = 0
VD3: dạng 1 với < 0
- GV: Yêu cầu 3 nhóm hoạt động và cử đại diện nhóm lên trình bày.
- Học sinh dưới nhận xét và GV chính xác hóa
- GV: yêu cầu học sinh dùng cách thêm bớt rồi tách ( về nhà)
- GV: Còn cách phân tích nào khác không?
- HS: Có thể dùng hằng đẳng thức
Hoạt động 2: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 2: 
Nội dung
Hoạt động của GV- HS
II. Dạng 2:
a) >0 :
Cách 1: Đồng nhất 
Đồng nhất để tìm a, b bằng cách giải hệ hoặc cho x các giá trị bất kì ( thường cho x bằng giá trị nghiệm x1, x2) 
Cách 2: Thêm bớt dựa theo nghiệm ở mẫu rồi tách
Cách 3: Thêm bớt dựa theo đạo hàm của mẫu rồi tách
- VD 4: 
Cách 1:
Đồng nhất, ta có: A=3; B=2
Cách 2:
Cách 3:
b) = 0 :
- VD 5: 
Cách 1: 
Cách 2:
Đáp số: 
c) < 0 :
- VD 6: 
Đặt : x – 1 = 2tant 
 dx = 2(1+tan2t)dt 
x
-1 1
t
0 
- GV: Ta có thể dùng phương pháp đồng nhất để phân tích và tách được không?
- HS: Ta có thể làm được tương tự như dạng 1 trong trường hợp >0
- GV: Ngoài ra có thể dùng phương pháp nào để tách?
- HS: Ta có thể thêm bớt để tách
- GV: Hãy phân tích rồi tách bằng phương pháp đồng nhất?
- HS: nhận nhiệm vụ, tính toán và đưa kết quả.
- GV: Hãy dùng 2 cách còn lại để phân tích ( Yêu cầu về nhà, có hướng dẫn)
- GV: Nếu không phân tích theo x+1 ta có thể phân tích theo x+2 được không?
- HS: Ta có thể phân tích được theo x+2 như sau:
- GV: Hãy nêu cách giải ?
- HS: Có thể làm theo 3 cách giống như trên:
Cách 1: Đồng nhất 
Cách 2: Thêm bớt theo nghiệm ở mẫu để tách
Cách 3: Thêm bớt theo đạo hàm của mẫu
- GV: Tuy nhiên chọn theo cách nào cho hợp lý, lời giải ngắn gọn, ít phức tạp.
- GV: Gọi học sinh tại chỗ giải theo cách 1, cách 2
- GV: Yêu cầu học sinh về nhà làm theo đủ 3 cách và rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
- GV: Ta phân tích như thế nào để có thể đưa về các dạng đã biết?
- HS: Phân tích thành I1 và I2 rồi áp dụng công thức 2) và dạng 1 (với < 0) 
- Yêu cầu học sinh thực hiện, GV chính xác hóa.
Hoạt động 3: Một vài ví dụ dạng khác có thể đưa về dạng 1, dạng 2
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
- VD 7:
Đặt t = x2 
 dt = 2xdx 
x
0 1
t
0 1
- VD 8: 
Đặt t = x3 
 dt = 3x2 dx 
x
0 1
t
0 1
- VD 9:
- GV: I7 có ở dạng 1, dạng 2 hay không?
- HS: Không rơi vào dạng nào 
- GV: Liệu ta có thể biến đổi hoặc dùng phương pháp nào đó để đưa về một trong các dạng trên hay không?
- HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa về dạng 1 với > 0
- GV: Sử dụng một trong các cách đã học để phân tích rồi tách.
- HS: Thực hiện.
- GV: I8 có ở dạng 1, dạng 2 hay không?
- HS: Không ở dạng nào. 
- GV: Liệu ta có thể biến đổi hoặc dùng phương pháp nào đó để đưa về một trong các dạng trên hay không?
- HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa về dạng 2 với > 0
- GV: Sử dụng một trong các cách đã học để phân tích rồi tách.
- HS: Thực hiện.
- GV: Ta có thể biến đổi hoặc dùng phương pháp đổi biến đưa về các dạng đã biết không?
- HS: Ta không đổi biến giống VD 7, VD 8 như trên.
- GV: Vậy hãy tìm A, B, C sao cho 
- HS: Ta hoàn toàn có thể làm được bằng phương pháp đồng nhất. Từ đó tách để có thể tính được tích phân.
- GV: Yêu cầu học sinh về nhà tự hoàn thiện.
- GV: Vậy với các hàm hữu tỉ bậc cao hơn ta cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như các hàm hữu tỉ dạng 1, dạng 2. Như vậy, trên cơ sở tiết này được cung cấp cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng 1 và dạng 2, các em có thể vận dụng một cách linh hoạt khi gặp các dạng bậc cao hơn. 
4. Củng cố, dặn dò:
 - Kiến thức cơ bản đã học trong bài: Cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng 1 và dạng 2.
 - Chú ý: Phải biết nhận dạng hàm số dưới dấu tích phân để lựa chọn phương pháp và cách biến đổi hoặc cách đặt phù hợp với từng hàm số.
 - Giờ sau tiếp tục luyện tập về tích phân
5. HDVN: Về nhà làm các bài tập sau: 
V. Rút kinh nghiệm
.
.
.
.