Bài tập Chuyên đề: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình

 4 14 10 130 4 14 10 130 4 14 10 130 4 14 10x y z ta a a ax y z tb b b bx y z tc c c cx y z td d d d                                . 103. Cho 1k  . Giải HPT:           3 22 24 84 8x y z kx y z k kx y z x ky z k kx y z x y kz k                   . 104. Tìm tất cả các cặp  ;x y với ,x y thỏa 31 2 1 2x y y x xy    . 105. Tìm tất cả các bộ  ; ;x y z với , ,x y z là những số nguyên thỏa mãn HPT: 3 3 33 3x y zx y z      . 106. Tìm m để HPT: 162536x y xy xyy z yz yzz x zx zxxy yz zx m xyz             có nghiệm , , 0x y z  . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 10 107. Giải HPT: 3 23 23 2222120121201212012 x xy yz z yzx             . 108. Tìm tất cả các bộ ba số dương  ; ;x y z thỏa HPT: 2012 2010 20102012 2010 20102012 2010 2010222x y zy z xz x y       . 109. Giải HPT:  2 22 2 2 23 8 8 8 2 4 2x y y x zx x y yzx y xy yz x z               . 110. Giải HPT: 20121 2 320122 3 4 20122011 2012 120122012 1 2..................x x xx x xx x xx x x         . 111. Giải HPT: 3 23 23 26 12 8 06 12 8 06 12 8 0y x xz y yx z z             . 112. Giải HPT: 222 111x yy zz x       .. 113. Giải HPT: 2 3 2 12 3 2 1x y y x x xy x x y y y       . 114. Giải HPT: 3 2 23 2 23 2 22 3 182 3 182 3 18x x y yy y z zz z x x             . 115. Giải HPT: 20121 13 2 2 2x y zx y x y z         . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 11 116. Giải HPT:    2 3 2 326 6 5 2 6 42 21x x x x x xx x y          . 117. Giải HPT: 22 13 1 13 ax a y a z a aa x a y a z a               1a  . 118. Giải HPT: 1 2 20121 2 2012 20131 1 ... 1 2012 201220111 1 ... 1 2012 2012x x xx x x               . 119. Giải HPT: 1 1 121 1 131 1 14x y zy z xz x y          . 120. Giải HPT: 44 21 24 21 14 x yx x yx yy x y                 . 121. Giải PT: 4 3 232 80 50 4 3 4 1 0x x x x x       . 122. Giải HPT:    222 53313x y zy z xz x y        123. Giải HPT: 3 3 24 48 4 12 8 2 0x y xyx y x y        . 124. Giải HPT: 2 22 22 21 11 11 1x y z x yzy z x y zxz x y z xy             . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 12 125. Tìm số a lớn nhất để PT: 4 3 2 0x ax bx cx d      ; ; ;a b c d  có 4 nghiệm 1 2 3 4; ; ;x x x x thỏa 2012 2012 2012 20122 2 2 21 2 3 4 4x x x x    . Trong trường hợp đó hãy tính ; ;b c d . 126. Giải PT: 3 2 3 3 26 12 7 9 19 11x x x x x x        . 127. Giải HPT: 2 212 2 41 2 5 2x yy y x        . 128. Giải HPT: 2 2215 5 31 1 2 32 x yxx yx              . 129. Giải PT: n n n na x a x b x b xa x a x b x b x         ( với ,a b là các số thực dương ) 130. Định m để hệ sau có nghiệm: 2 2 2 004 43 4 5x y x y mx y          . 131. Giải HPT:          1 2 62 3 123 1 8u vv tt u          ; , ,u v t  . 132. Giải PT: 6 6 5 5 12 0x y y x x y xy     ; ,x y  . 133. Giải HPT: 1 2 2 32012 2013 2013 12013 1 1 21 22... 222013, 0x x x xx x x xx x x xx x         . 134. Giải HPT: 2 22 2 22x y y xx y x y         . 135. Giải HPT: 21 22122 3222 122121...21 nnx xxx xxx xx       . 136. Giải PT: 3 2 33 3 3 5 1 3x x x x     . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 13 137. Giải HPT:   2 22 22 84 3x yz z x yz y x        . 138. Giải PT: 22 374 1 9 26 03 3x x x     . 139. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:    22 2 2 1 1y x x x x     140. Giải PT: 42 2 2 2 1x x    . 141. Giải HPT:          2 22 22 22 1 92 1 92 1 9x y y yy z z zz x x x          . 142. Giải HPT:    3 3 3 22 2 2 216 9 2 4 34 2 3x y y xy y xyx y xy y        . 143. Giải PT: 4 244 1 8 3 4 3 5x x x x x      . 144. Tìm các cặp số nguyên  ;x y thỏa: 2010 2010 1340 670 2y x x x    . 145. Giải HPT:        2 2 2 3 132 39x x y y z zx y y z z x x y z              . 146. Tìm các bộ ba  ; ;x y z nguyên dương sao cho: 2 2 220112011x yy zx y z        . ( Ký hiệu , lần lượt là tập hợp các số hữu tỉ , tập hợp các số nguyên tố). 147. Giải PT: 2 2 2 444 4 1 2 3 16 5x x x y y x y           . 148. Biết HPT: 3 3 34 4 43 1535x y zx y zx y z         có một bộ nghiệm  ; ;x y z thỏa 2 2 2 10x y z   . Hãy tính 5 5 5x y z  . 149. Giải PT: 4 2 2 2 2 2 2 214 16 9 2 2x y x y x y y x x          với 0x  . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 14 150. Giải HPT:    3 2 22 22 3 2 33 3 23 6x x z zy y x xy z zz            . 151. Giải HPT:    4 2 3 62 3 61 . 2 . . 10244 16 8 161; 2; 0; 0x y z tx z y t xx y z t             . 152. Tìm ; ;x y z thỏa mãn PT: 2 2 2 2 23 6 2 3 18 6 0x y z y z x      . 153.(USAOP 1990). Giải HPT: 1 1 13 4 51x y zx y zxy yz zx                       . 154. Tìm mọi cặp số thực  ;x y thỏa hệ:  226 3 2 2 33 3 22 14 2 1 2y y x xy x yxy y x x y          . 155. Tìm nghiệm nguyên của HPT:      3 3 32 3 22 1 1 6 2 3x y zx y z          . 156. Cho HPT: 20122 20123 2012y xz yw z      . Tìm nghiệm  ; ; ;x y z w sao cho ; ; ; 0x y z w  và x có giá trị bé nhất. 157. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:    3 2 2 2 3 2 2 32 3 12 8 8 8 2 2 40 0x y z x y yz z x y y z z y z           . 158. Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 2012 2011 22011 4023 2012x yx y y x z      . 159. Giải HPT: 2 2 27 7 70 50350x y zx y zx y y         . 160. Gọi 1 2 3; ;x x x là ba nghiệm phân biệt của PT: 3 1 0x x   . Tính tổng 11 11 111 2 3x x x  . 161. Giải HPT:  20121 2 3 420121,10i i i i ix x x x xi          với 11 1 12 2 13 3 14 4; ; ;x x x x x x x x    . 162. Giải PT:    2 2 24 3 4 sin 2cos 13 4cos2x yx x x y x y         . 163. Giải PT:             1201 2 120 1 2 1201 1 ... 1 1 1 ... 1 2x x x x x x        trên đoạn  1;1 . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 15 164. Giải HPT: 1 1 2 21 21 2 ...... n nnn x ax a x ab b bx x x a          . 165. Giải HPT: 1 2 32 3 498 99 10099 100 1100 2 1 00....................... 000x x xx x xx x xx x xx x x               . 166. Giải HPT: 2 22 22 2 372819x xy yx xz zy yz z          . 167. Giải HPT: 2 2 213 612x y zx y zxy xz yz        . 168. Giải HPT:    2 2 2 472x y zxy yz zxz x z y         . 169. Giải HPT:   23xy x y zxz x y zyz x y z           . 170. Giải HPT: 2 2 2 50604 5 20 0x y zxyzxy x y         . 171. Giải HPT: 4 4 41x y zx y z xyz      . 172. Giải HPT:    3 3 23 3 23 3 2 14217x y x y z xyzy z y z x xyzz x z x y xyz                . 173. Giải HPT: 1 21 3111 01 0.................1 01 0n nnx xx xx xx x        . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 16 174. Giải HPT: 1 2 1 3 2 3 41 2 1 4 2 4 31 3 1 4 3 4 22 3 2 4 3 4 1 2222x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x                . 175. Giải PT:    2 3sin 2 sin sin 1 3 3sin 1 1x x x x      . 176. Giải HPT:     217 3 5 3 14 4 02 2 5 3 3 2 11 6 13x x y yx y x y x x               . 177. Gọi  ; ;x y z là nghiệm của HPT:  sin os 22 3 13 7x yc z x y zx y z           với 3; 2     . Hãy tính  .x y z . 178.(AIME 1984). Xác định 2 2 2 2x y z t   biết  ; ; ;x y z t là nghiệm của HPT sau: 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 12 1 2 3 2 5 2 7 14 1 4 3 4 5 4 7 16 1 6 3 6 5 6 7 18 1 8 3 8 5 8 7x y z tx y z tx y z tx y z t                                 . 179. Giải HPT:                21 2 3 2 4 5 222 3 4 3 5 1 323 4 5 4 1 2 424 5 1 5 2 3 525 1 2 1 3 4 1x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x                          . 180. Giải HPT:           2 4 72 4 71 1 1 11 1 1 1x x x yy y y x           . 181. Giải PT:    22 12 2 1 2 2 2 2x x xx x      . 182. Tìm tất cả các cặp số nguyên  ;x y thỏa mãn:  23 3x y x y   . 183. (Korean Mathematics Competition 2000). Giải PT: 2 3 4 6 9 1x x x x x     . 184. Giải PT:          21 2 3 4 5 360z z z z z      ; z . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 17 185. Giải PT: 2 2x y z u v x y z u v          . 186. Giải PT: 4 16 ... 4 3 1nx x x x x       (*) 187. Giải PT:  21 2 1 21 2 4 ... ...2n nx x n x n x x x          . 188. Giải HPT: 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 4 14 14 14 14 1y u v w xx u v w yx y v w ux y u w vx y u v w                          . 189. Giải HPT:   4 34 38 4 1 16 38 4 1 16 3x y xy x y         . 190. Giải HPT:    2 22 2 72 1 2 1 27 6 14 0x y xyx y xy x y          . 191. Giải PT:  24 4 11 5 21x x xx x       . 192. Giải PT:  3 2 3 312 46 15 5 1 2 1x x x x x       . 193. Giải HPT:       2 23 3 1414 36x y x y xyx y x xy y        . 194. Giải HPT: 4 44 2 2 4 2 2121 1224 122 12114 x yx y xy x yx x y y x y        . 195. Giải HPT: 4 3 2 2 3 43 42 2 12 8 1 02 1x x y x y xy yx y y         . 196. Giải PT: 3 2 31 2 0x x x     . 197. Giải HPT:    2 2 223 2113log 2 6 2log 2 1y x xe yx y x y         . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 18 198. Giải HPT:  6 4sinsin10 1 3 15; 4,x y xe yx yx y            . 199. Giải PT: 14 6 213 39 13 6 133125. 13 25. 4 3125 4 5. 3125 0x x x    . 200. Giải PT: 2 2 2 2 2 22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos25 25 21 21 4 4x x x x x x     . 201. Giải HPT:     32 22 32 2 9 440y xz y y yx z xz           . 202. Giải HPT:     32 23 3 24 802 3 5 16x yz y yz x x xz          . 203. Giải HPT:    234 yz zx xy xyzzx xy yz xyzxy yz zx xyz          . 204. Giải HPT:           222444x y y z xy zy z z x yz xz x x y zx y          . 205. (HSG tỉnh Thừa Thiến Huế năm 2009-2010). Giải HPT:    17 59 4 17log 3 2 log 3 2 1x y x y x y       . 206. (HSG tỉnh Gia Lai năm 2009-2010). Giải PT: 1 os2 2cos 2 2009.cos1 cos sin os2 3cos sin 2cos 2 os3 sin 3 2010c x x xx x c x x x x c x x         . 207. Giải HPT:  2 32 2 1 44 0y xz y y yx z x          . 208. Giải HPT:    2 23 4 24 6 4 22 13 14 1x y xy z y yz x z z z          . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 19 209. Giải PT: 21 11 13 21 1ln 1 ln 1 1x xx x xx x               ( với 0x  ). 210. Giải PT: 2 6 22012 6 24 2log 3 11x x xx x     . 211. Giải HPT: 1 1 1 3 31 7 227x y zx y zxy yz zx xyz           . 212. Giải HPT:    2013 201220142 24 4 21 22 2014z x yx y xy z zx y zx y z           . 213. Giải HPT:  21 1 1 1 1 1log 19 6 3 6 3 9x y x y x y x y x y x yx x y                    . 214. Giải HPT:     20133 1 13 32 22 23 21log log 2 log 9 42log 2 logx y y yz yx z x            để tìm nghiệm  0 0 0; ;x y z thỏa 0 0z  . 215. Chứng minh rằng m  , HPT sau có nghiệm duy nhất 3 2 2 342 22x y m yx y x yy      . 216. Giải HPT: 22 34 2 46 4 22 13 14 1x yx y zy y z xz z z          . 217. Giải HPT:    3 2 23 2 23 2 23 3 33 3 33 3 3x y y yy z z zz x x x          . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 20 218. Tìm nghiệm nguyên dương của HPT: 1 2 31 22 3 42 32012 2013 12012 20132013 1 22013 120132013... 20132013x x xx xx x xx xx x xx xx x xx x             . 219. Cho 1a  , hãy tìm tất cả các bộ ba số thực  ; ;x y z sao cho 1y  thỏa PT:     222 3 3 8 4log log 02a a z yxy x y xyz      . 220. Giải HPT:     22 2 23 2 92 6 ln 92 1 y yx y x xy y x xx x y                  . 221. Giải HPT: 11 11 11 yx xzy yxz z         . 222. Giải HPT: 3 2 33 2 32 32 3 182 3 182 3 18x x y yy y z zz z x x             . 223. Giải PT:  2012 2 2012 2sin . sin 2012 cos 1 os 2cos 2013 cos sin 1x x x c x x x x        . 224. Giải HPT: 2 22 22 22 2 12 22 2 1x x y y yy y x x x             . 225. Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau:    3 2 2 3 2 2 2 23 33 1 4 3 1 48 162 2x x x x x x x x y z                với điều kiện: 2 10y x   226. Giải HPT: 2 2 2 2 2 24 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 11 1 11x y y z z xx y x y y z y z z x z xxyz           . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 21 227. Giải HPT: 2 21 3 5 1 3 580x x x y y yx y x y                . 228. Giải HPT: 4 22 2 69781 3 4 4 0x yx y xy x y         . 229. Giải HPT: 5 4 25 4 25 4 22 22 22 2x x x yy y y zz z z x          . 230. Giải HPT:  1 22ln 11 11 log 1 1y x yxe xx y         . 231. Giải HPT:   2 222 2 123 9 2 23 2 29x yx y y xx y         . 232. Giải HPT:    2 216 2 8 22 2 24 3 1 4 3 4 8 171 4 3 8 ln 3 3 0x y yx x y y yy x x x x x                   . 233. Giải HPT: 6 43 218 324x xy y xx x y y      . 234. Giải HPT:        22 2 23 32 23log 2 1 log 4 4 2 1 3 4 2 1log 2 4 4 1 1 2x x y x x x y x y x xyx x x                    . 235. Giải HPT:    2 22012 2012 20126 2 1 4 6 1x x y yx x xy xy x           . 236. (Russia). Giải HPT:    sin 2sin 0sin 2sin 0sin 4sin 0x x y zy x y zz x y z             . 237. (Moscow). Giải HPT với n = 100  1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 52 2 2 2 ... 2 13 4 4 4 ... 4 23 5 6 6 ... 6 3... 3 5 7 9 ... 2 1nnn nx x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x n x n                              . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 22 238. (Moscow 1962). Cho HPT: 1 2 3 19621 2 3 19621 2 3 4 19621 2 3 1961 1962... 1... 1... 1... ... 1x x x xx x x xx x x x xx x x x x       . Tìm giá trị của 25x . 239. (Moscow). Tìm tất cả các nghiệm dương của hệ: 21 2 322 3 423 4 524 5 125 1 2x x xx x xx x xx x xx x x           . 240. (Moscow). Giải HPT: 1 2 3 4 5 6 72 53 64 71 52 33 4 15043525352480135x x x x x x xx xx xx xx xx xx x                . 241.(Moscow). Giải HPT:         2 2 22 22 2 2 2os osos 21 21os 31c x y c a ax yx yc c ax y             . 242. (Hungari). Giải HPT: 22 224 25 73 25 35 02 2 7 0x xy x yx y x y           . 243. (Austria - Poland).Tìm bộ bốn số  ; ; ;x y u v thỏa mãn HPT: 2 2 2 2 4 21x y u vxu yv xv yuxyu yuv uvx vxyxyuv                . 244. (England 1975). Chứng minh rằng với n tùy ý, tồn tại đúng một bộ số  1 2; ;...; nx x x thỏa PT:      2 2 2 21 1 2 1 11 ... 1n n nx x x x x x n         . 245. (IMO 1966). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và mọi số thực x sao cho  0 s 1;2;i ..n 2 .n nx   ta có: 1 1 1... cot cot2sin2 sin 4 sin2 nn x xx x x     . 246. (IMO 1966). Cho 1 2 3 4, , ,a a a a là bốn số thực khác nhau cho trước. 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 23 Giải hệ phương trình sau: 1 2 2 1 3 3 1 4 42 1 1 2 3 3 2 4 43 1 1 3 2 2 3 4 44 1 1 4 2 2 4 3 3 1111a a x a a x a a xa a x a a x a a xa a x a a x a a xa a x a a x a a x                         . 247. (IMO 1968). Cho hệ phương trình với các ẩn số 1 2; ;...; :nx x x 21 1 222 2 32 1 12 1.........................n n nn nax bx c xax bx c xax bx c xax bx c x              trong đó , ,a b c là những số thực và 0a  . Chứng minh rằng: a) Hệ không có nghiệm thực nếu  21 4 0b ac   . b) Hệ có nghiệm duy nhất nếu  21 4 0b ac   . c) Hệ có hơn một nghiệm thực nếu  21 4 0b ac   . 248. (IMO 1972). Tìm tất cả các nghiệm thực dương của hệ:                2 21 3 5 2 3 52 22 4 1 3 4 12 23 5 2 4 5 22 24 1 3 5 1 32 25 2 4 1 2 4 00000x x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x x             249. (IMO 1976). Cho số nguyên dương n và 2n m . Với mọi ,i j thỏa mãn điều kiện: ,11 i n j m    . Gọi ija là các số nhận giá trị 0;1; 1 . Xét hệ phương trình: 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2 ... 0.... 0.............................................. 0m mm mn n nm ma x a x a xa x x x a xa x a x a x             Chứng minh rằng hệ này có một nghiệm  1 2; ;...; mx x x sao cho các thành phần , 1,ix i m là các số nguyên không đồng thời bằng 0 và , 1,i m i mx   . 250. (IMO 1965). Cho hệ phương trình: 11 1 12 2 13 321 1 22 2 23 331 1 32 2 33 3 000a x a x a xa x a x a xa x a x a x          với các hệ số thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i). 11 22 33, ,a a a dương 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 24 (ii). Tất cả các hệ số còn lại đều âm (iii). Trong mỗi phương trình, tổng các hệ số là dương. Chứng minh rằng: nghiệm 1 2 3 0x x x   là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ấy. 251. (IMO 1965). Tìm bốn số thực 1 2 3 4; ; ;x x x x sao cho mỗi số cộng với tích các số còn lại đều bằng 2. 252. (IMO 1965). Tìm tất cả các giá trị 0;2x     sao cho: 1 sin2 12cos sin2 2xx x     . 253. (IMO 1963). Tìm tất cả các nghiệm  1 2 3 4 5; ; ; ;x x x x x của hệ phương trình: 5 2 11 3 22 4 33 5 44 1 5x x yxx x yxx x yxx x yxx x yx           . trong đó y là tham số. 254. (USA 1995). Giả sử , ,a b c là các số phức và các nghiệm z của phương trình 3 2 0x ax bx c    thỏa 1z  . Chứng minh rằng phương trình 3 2 0x a x b x c    có ba nghiệm w thỏa 1w  . 255. (IMO 1963). Với những giá trị nào của p thì phương trình: 2 22 1x p x x    có nghiệm thực? Hãy tìm các nghiệm đó. 256. (IMO 1961). Giải hệ phương trình: 2 2 22x y z ax y z bxy z        trong đó ,a b là những số cho trước. Các số ,a b phải thỏa mãn điều kiện gì để các nghiệm  ; ;x y z của hệ là dương và khác nhau? 257. (IMO 1961). Giải phương trình: os sin 1n nc x x  với n   . 258. Giải phương trình: 2 2 2 2 2 2sin sin sin os os os196 16 100 100 16 196x x x c x c x c x     . 259. (IMO 1973). Cho phương trình: 4 3 2 1 0x ax bx ax     có ít nhất một nghiệm thực, với ,a b là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2a b . 260. (Canada 1996). Giải hệ phương trình: 2 22 22 241 441 441 4x yxy zyz xz       . 261. (IMO Shortlist 2007). Giải hệ phương trình:          2 22 22 23 1 33 1 33 1 3x y y yy z z zz x x x          . 262. (Romania 2008). Xác định số nguyên x sao cho:    3 2log 1 2 log 1x x   . 
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 25 263. (THPT chuyên Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM 2004). Tìm nghiệm  ; ; ;x y u v của hệ PT sau: 2 23 32 3 59u vux vyux vyux vy         . 264. (Poland 1997). Giải hệ phương trình sau:    2 2 2 32 2 2 2 2 23 1x y zx y y z z x xyz x y z         265. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực dương 1 2, , ,..., nx x x x sao cho:      1 2 1 2log log ... log log log ... logn nx x xxx xx xx x x x                           1 2log log ... log nx x x    . 266. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất cả các số thực , ,a b c sao cho: ax by cz bx cy az cx ay bz x y z           , , ,x y z   . 267. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm các số thực của hệ phương trình: 3 3 37 7 70 182058x y zx y zx y z          . 268. (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu). Tìm tất