Bài tập nâng cao hệ thức lượng trong tam giác vuông

BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
 Bài giải sơ lược:
 Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x 
 AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn) 
 Suy ra : DH = CK = . 
 Vậy HC = HK + CK = x + = 
 Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
 Ta có : AH2 = DH . CH hay 5x2 = 100
 Giải phương trình trên ta được x = và x = – (loại)
 Vậy : AH = 
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x
 Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 
 Từ KBC HAC 
 hay 
 Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2
 Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm)
Bài Tập 3 : Cho . Qua trung điểm I của AC, dựng ID BC.
Chứng minh : 
Giải: Hạ . Ta có : HD = DC ( t/c đường trung bình)
Ta có : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2
 = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2
 = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC
 = BC2 – AC2 = AB2
( Chú ý : AB2 = BC2 – AC2)
Bài Tập 4 : Cho ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH3
Giải: a) Trong có HB2 = BE . BA (1) ; 
 có HC2 = CF . CA (2 ) 
Từ (1) và (2) có : . (1)
Trong có :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra (2)
Từ (1) và (2). Ta có : .
b) . 
Thay (3) 
Tương tự ta cũng có ( 4) . 
Từ (3) và (4) Ta có : BE .CF = .
 Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = = AH3
Bài 5: Cho hình vuông ABCD. Qua A, vẽ cát tuyến
Bất kì cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F.
Chứng minh : .
Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD.
Ta có : ( c – g –c ) .
Áp dụng hệ thức lựơng cho .
Ta có : nên 
Bài 6: Cho hình thoi ABCD có , tia Ax tạo với 
Tia AB góc , cắt BC, CD lần lượt tại M, N.
Chứng minh: 
Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuông góc với AN
Cắt CD tại P, hạ .
Ta có : ( g – c – g)
Áp dụng hệ thức lượng cho 
Ta có : nên (1)
Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD = (2)
Thay (2) và (1). Ta có : 
BÀI TẬP PHẦN HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ( 2011-2012)
 Bài 1: Trong hình vẽ sau biết , , ; , .
Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN b) c) d) AD.
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết , , , .
Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR.
Hướng dẫn : Từ T và R hạ các đường vuông góc với PQ.
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. 
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
Hướng dẫn câu c: Hạ . Chứng minh : AB = CI.
Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm 
a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ?
Bài 5: Cho rABC có . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều
Hướng dẫn :
Câu a : Từ KH = BC.CosA 
Câu b: Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và chú ý 
Bài 6: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC.
 Nối AF và BE.
	a) Chứng minh AF = BE.cosC.
	b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
	c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính .
Hướng dẫn : Câu a : Tương tự cách giải bài 5.
Câu b: Sử dụng tính chất 2 diện tích miền đa giác hình học 8.
Câu c : Rất khó: Hạ AH, FK vuông góc với BE.Tính SABFE = SABE + SBFE . Suy ra 
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. 
Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chứng minh : . b) Chứng minh : . 
Hướng dẫn :
Câu a : Tương tự cách giải bài 5. Câu b: Tiếp tục vận dụng câu a lần 2.
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ^ AD 
và CK ^ AB.
	a) Chứng minh rCKH rBCA. b) Chứng minh .
	c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Bài 9: Cho , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. 
Chứng minh: tgB.tgC = 2.
ĐÁP ÁN
Bài 1: Trong hình vẽ sau biết , , ; , .
Hãy tính (làm tròn đến số thập phân thứ tư ). a) CN b) c) d) AD.
Bài giải
a) .
b) Þ.
c) Þ.
d) 
Þ .
Bài 2 : Trong hình vẽ sau biết , , , .
Hãy tính : a) PT b) Diện tích tam giac PQR.
Bài giải
a) Xét DPTQ, kẻ đường cao TK , ta có .
; Þ ;
Þ .
b) Ta có ;
Kẻ đường cao RH, ta có .
Xét DPTQ, ta có : ;
Þ .
Diện tích tam giác PQR : .
Bài 3: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. 
c) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
d) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
Giải :a) Áp dụng định lí Pitago. Ta có :
b) Áp dụng tỉ số lượng giác. Ta có :
 (*)
c) Hạ . Ta có : ( g-g) 
nên (CH-CGV) 
Suy ra : (**)
Từ (*) và (**). Ta có : hay AC là tia phân giác của .
d) Mặt khác : ( cặp góc soletrong)
nên hay cân tại D.
Bài 4: Cho ABC có góc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hình vẽ) . Hãy tìm 
a) Tính AP ? ; BP ? b) CP ?	
Hướng Dẫn
a) Kẻ AH BC ; AHB tại H
 AH = AB . SinB
 = 60.Sin300 = 60. = 30
AHC ( = 1v)
 AH = AC. Cos400 
 AC = = = 39,164
 APC có ( = 1v)
AP = AC.Cos 200 
 = 39,164 . 0,9397 = 36,802
PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198
b) APC ( = 1v) 
 CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394
Bài 5: Cho rABC có . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều
Giải : a) ( g-g)
 và chung
Suy ra : 
Mặt khác : 
Hay HK = cosA.BC
b) .
Mặt khác : HM = KM = ( Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
nên HK = HM = KM hay rMKH là tam giác đều.
Bài 6: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC.
 Nối AF và BE.
	a) Chứng minh AF = BE.cosC.
	b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
	c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính .
Giải: a) ( g-g)
nên ( c -g- c)
Vậy AF = BE.cosC
b) Vì rABC (= 900 ). 
nên AB = SinC. BC = 0,6.10 = 6cm.
 nên AE = EC = 4cm.
Mặt khác : EF = SinC. EC = 0,6. 4 = 2,4cm.
 ( Định lí Pitago)
SABFE = SABC - SCFE 
= = 20,16 (cm2)
c) Hạ AH BE; FK BE.
Ta có : SABFE = SABE + SBFE 
 = 
 (1)
mà + BE = ( Định lí Pitago) (2)
 + ( g - g)
 và chung nên ( c-g-c)
nên (3)
Từ (1), (2) và (3). Ta có : 
 SinAOB = 
Bài 7: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). 
Lấy điểm M trên cạnh AC. 
Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chứng minh : .
	b) Chứng minh : . 
Giải: a) Ta có : ( g - g)
Vì ; ( cùng phụ với )
 b) Từ câu a), ta có : 
 mà Suy ra : (1) 
Mặt khác : ( g - g)
 = = ( 2)
 Thay (2) vào (1). Ta có : 
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ^ AD 
và CK ^ AB.
	a) Chứng minh rCKH rBCA.
	b) Chứng minh .
	c) Tính diện tích tứ giác AKCH 
biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
GIẢI: 
a) ( g - g)
Vì ( cùng bằng )
 (*)
Mặt khác : Xét tứ giác AKCH
Ta có : ; 
Suy ra : (**)
Từ (*) và (**). Ta có : rCKH rBCA( c-g-c).
b) 
 mà ( cặp góc đồng vị) 
nên 
c) SAKCH = SABCH + SBKC = 
 = + 
= 
 =2. ( 10+4cos600).sin600 + 
Bài 9: Cho hai hình chữ nhật có 2 kích thước 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho các cạnh hình chữ nhật song song với nhau.
Tính diện tích tứ giác?
Giải: Ta có : SANCQ = SANQ + SCNQ = 
 mà AH = ; ; 
 + ( cặp góc soletrong)
 = 
Ta chứng minh số đo không đổi.
Thật vậy : ( Tính chất góc ngoài đỉnh O)
mà 
Suy ra : ( Cố định )
Vậy = = 
Và tgMQN = ; 
Vậy : = (cm2)
Bài 10: Cho , trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. 
Chứng minh: tgB.tgC = 2.
Giải : ; 
nên tgB.tgC = 
mà AD = 2HD
nên tgB.tgC = 
Bài tập 11: Cho . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM. 
Giải: 
Ta có : tg = 
Mặt khác : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) 
 = 2MH.
mà 
nên MH = 
Vậy 
Bài 10: Cho , phân giác AD, đường cao CH và trung tuyến BM gặp nhau tại một điểm. Chứng minh : CosA = bCosB.
	Bài 6: a) Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, . Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.	b) Cạnh EF.
b) Giải tam giác vuông ABC, biết rằng , AB = 5, BC = 7.
Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng . Ta có :
 + EI = sinD. DE = sin 400.7 (cm)
 + EF = (cm) 
b) 
CosB 
+ 
Bài 1: Cho . Vẽ phân giác AD, đường cao AH. 
a) Tính độ dài đoạn thẳng BD; DC.
b) Từ H, kẻ HK AC. Chứng minh : .
c) Tính độ dài đoạn thẳng AK và KC ?
Giải : 
a) Áp dụng định lí Pitago, ta có : 
+ Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : 
Suy ra : . CD = 
b) ( g-g)
c) Ta có : AH .BC = AB .AC 
Từ 
; 
a) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có : 
Vậy CosB = 0,25 
+ nên AB = 
+ Áp dụng công thức tính chiều dài đường phân giác trong. Ta có :
 hay 
AC =