Chuyên đê Giới hạn dãy số

SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO 
TRUNG TÂM GDTX-HN TỈNH HÀ GIANG
GIÁO VIÊN THỰC HIỆN:
TRẦN TUẤN PHƯƠNG
TỔ : GDTX
NĂM HỌC: 2017-2018
PHẦN I
MỞ ĐẦU
 I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình.Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên 
	Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách
Giới hạn là một khái niệm tương đối mới với các em, do đó chuyên đề này tôi đưa ra chi tiết phương pháp giải cho các dạng toán thường gặp liên quan đến giới hạn mà cụ thể là giới hạn của dãy số, nhằm giúp các em tiện việc tra cứu trong học tập. Đồng thời qua đây cũng nêu lên một số khó khăn mà học sinh thường mắc phải trong giải toán, để từ đó giáo viên giảng dạy định ra một phương pháp thích hợp giúp cho các em khắc phục có hiệu quả hơn. Vì vậy nên tôi chọn chuyên đê :“Giới hạn dãy số”
 II. MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ	
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra những phương pháp tìm giới hạn một cách hiệu quả nhất
 III. CƠ SỞ KHOA HỌC NGHIÊN CỨU CHUYÊN ĐỀ 
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học được, các tài liệu về giới hạn, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc THPT.
 IV. GIỚI HẠN CỦA CHUYÊN ĐỀ
Đề tài được sử dụng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và nâng kém học sinh yếu kém của lớp đối tượng là những học sinh khối 11 
PHẦN II: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
A: TÓM TẮC LÝ THUYẾT
I.GIỚI HẠN HỮU HẠN 
1.Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. 
Kí hiệu:
2.Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a (hay un dần tới a) khi (), nếu Kí hiệu: 
Chú ý: .
3.Một vài giới hạn đặc biệt.
với .
Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
4.Định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số.
 a) Nếu: limun=a , limvn=b thì:
 b)Nếuvới mọi n và limun = a thì 
5.Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 
II GIỚI HẠN VÔ CỰC
1.Định nghĩa:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn khi nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. 
Kí hiệu: limun= hay un khi .
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi nếu lim.Ký hiệu: limun= hay un khi .
2.Một vài giới hạn đặc biệt.
a) với k nguyên dương
 b)với .
 3.Định lý:
Nếu : thì 
Nếu : và vn > 0 với mọi n thì 
Nếu : thì limun.vn =
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
1.DẠNG 1: 
- Cách nhận biết dạng là khi nthì và 
- Phương pháp thường dùng để khử dạng khi gặp phân thức đại số, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n có mặt ở phân thức đó.
* Những khó khăn học sinh thường mắc phải:
 +Học sinh hiểu =1 là sai lầm .Gv cần đưa ra cách giải thích cho học sinh hiểu đúng hơn
+Khi chia (hoặc đặt thừa số chung ) cho tử số và mẫu số của biểu thức tính giới hạn đôi khi các em gặp khó khăn. Gv nên nhắc lại một công thức mà các em đã học ở lớp dưới (Với là những số nguyên dương , a0)
+Khi gặp dạng có chứa căn thức, học sinh càng gặp khó khăn khi chia tử số và mẫu số của biểu thức tính giới hạn cho (hoặc đặt làm thừa số chung) để khử dạng vô định.
+Khi gặp dạng có chứa số hạng (chẳng hạn bài f dưới đây), học sinh thường lúng túng khi phân tích đưa biểu thức cần tính giới hạn về dạng ,để áp dụng định lí 
+Khi gặp bài toán chưa đúng dạng (chẳng hạn như bài e dưới đây), học sinh chưa định hướng để phân tích đưa về dạng đã biết.
*Bài tập áp dung:Tìm các giới hạn
a) ;b) ; c) 
d) ;e) ; f) 
 Giải
a) Chia tử và mẫu số cho ta được =1
b) Chia tử và mẫu số cho ta được =0 
c) Chia tử và mẫu số cho ta được 
d) Chia tử và mẫu số cho ta được 
e) 
Trước khi tính giới hạn ta đi tính tổng 1+2+3++n
Ta có (tổng n số hạng đầu của cấp số cộng)
Khi đó =
Chia tử và mẫu cho ta được 
f) 
Áp dụng công thức: . Để xuất hiện dạng , ta chia tử và mẫu cho :
===7
*Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau:
a) ; b) ;c) 
d) ;e) ;f) 
2.DẠNG 2: lim(un – vn) 
- Cách nhận biết dạng là khi nthì và 
-Phương pháp thường dùng để khử dạngkhi gặp phân thức đại số , ta nhân lượng liên hợp (hoặc qui đồng phân thức) để đưa về dạng , sau đó sữ dụng cách giải ở dạng 1
-Các dạng liên hợp thường dùng:
 +Lượng liên hợp bậc hai: a – b có lượng liên hợp là a + b
 a +b có lượng liên hợp là a – b 
 +Lượng liên hợp bậc ba: a – b có lượng liên hợp là a2 +ab +b2
 a + b có lượng liên hợp là a2 - ab +b2
-Những khó khăn học sinh thường mắc phải:
 +Học sinh thường hiểu sai = 0
 +Học sinh thường lúng túng khi khi sữ dụng lượng liên hợp
 +Học sinh sữ dụng qui tắc về dấu để tính giới hạn còn lung túng
*Bài tập áp dụng:Tìm các giới hạn sau:
a) ; b) 
c) ;d) lim
 Giải
a) ta nhân lượng liên hợp , ta được:
a)=
 =
 b) Qui đồng biểu thức giới hạn ta được
 c) Nhân lượng liên hợp : ta được;
= 
= 
lim=
=lim= lim 
=lim 
* Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau:
a) ; b)
c) ; d) 
3.DẠNG 3: Sữ dụng qui tắc tính giới hạn
Khó khăn là học sinh thường áp dụng qui tắc không chính xác. Do đó cần phải có một cách cho học sinh dễ nhớ và vận dụng
*Bài tập áp dụng: Tìm các giới hạn sau:
a) ; b) ; c) 
d) ; e) ; f) 
 Giải 
a) = 
Vì limn3 = và , nên =
b) =lim =
Vì và 
Nên =
c) =lim 9 + = 9 + 0 = 9
 d) = 
e) Nhân lượng liên hợp ta được
 = 
 = 
f) =
Vì và Nên = 
*Bài tập tương tự: Tìm các giới hạn sau;
a) ;b)
c)lim ;d)
4.DẠNG 4:Vận dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn 
-Phương pháp chung là biến đổi biểu thức cần tính về tổng của một dãy số quen thuộc
-Khó khăn của học sinh;
 +Thường học sinh xác định sai cấp số nhân lùi vô hạn, để tính tổng.
 +Phân tích tổng ban đầu để xuất hiện tổng quen thuộc đôi khi gặp khó khăn, chẳng hạn bài 1b) dưới đây
*Bài tập áp dụng : Tính tổng sau:
a) S= = 
Với là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu 
u1 = và công bội q = 
Do đó =
Vậy S = = 2+ 
b) S = 1+ 2x +3x2 +4x3 + Với 
(Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn u1 = 1 và q = x, với )
Do đó 
Hay 
*Bài tập tương tự: Tính tổng sau:
a) S= ; b) S = 1+ 3x +5x2 +7x3 +9x4 + Với 
B. ỨNG DỤNG THỰC TẾ 
* Bài toán :
 Một khách hàng có 100 triệu đồng đem gửi Ngân hàng với lãi suất 0,4 % /3 tháng, tỷ lệ lãi suất trên được tính dồn cả gôc + lãi cho mỗi Quý nếu khách hàng không rút tiền ra. Hỏi Vị khách hàng này sau bao nhiêu quý mới có số tiền lãi > số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng ? 
*Bài giải
Theo thể thức của ngân hàng, ta có bảng sau
A.-Thời điểm
B.- Tiền gốc + lãi
C.Lãi cộng dồn
Đầu Năm 2012
 100 000 000
Năm thứ nhất
cuối Q 1
 104 000 000
 4 000 000
Cuối Q2
 108 160 000
 8 160 000
Cuối Q3
 112 486 400
 12 486 400
Cuối Q4
 116 985 856
 16 985 856
Năm thứ hai
cuối Q 1
 121 665 290
 21 665 290
Cuối Q2
 126 531 902
 26 531 902
Cuối Q3
 131 593 178
 31 593 178
Cuối Q4
 136 856 905
 36 856 905
Năm thứ ba
cuối Q 1
 142 331 181
 42 331 181
Cuối Q2
 148 024 428
 48 024 428
Cuối Q3
 153 945 406
 53 945 406
Cuối Q4
 160 103 222
 60 103 222
Năm thứ tư
cuối Q 1
 166 507 351
 66 507 351
Cuối Q2
 173 167 645
 73 167 645
Cuối Q3
 180 094 351
 80 094 351
Cuối Q4
 187 298 125
 87 298 125
Năm thứ năm
cuối Q 1
 194 790 050
 94 790 050
Cuối Q2
 202 581 652
 102 581 652
Cuối Q3
 210 684 918
 110 684 918
Cuối Q4
 219 112 314
 119 112 314
Như vậy, đến cuối Quý II của năm thứ 5 (nghĩa là sau 18 quý) vị khách hàng trên mới có số tiền lãi lớn hơn vốn ban đầu.
 102 581 652 > 100 000 000 đồng.
PHẦN III: BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Qua chuyên đề này tôi rút ra được các kinh nghiệm sau:
Cần ôn lại các kiến thức cơ bản về lũy thừa mà các em đã học ở lớp dưới.
Cần ôn lại các hằng đẳng thức đã học.
Cần rèn luyện thường xuyên cách vận dụng các công thức 
Nhắc học sinh nhận dạng bài toán trước khi làm.
KẾT QUẢ:
Kết quả giảng dạy năm học 2016-2017 tôi thu được như sau:
Lớp
Sỉ số
Tỉ Lệ Từ Trung Bình Trở Lên
11A1
29
24
82,8%
11A2
30
20
66,7%