Dãy số Casio

Dãy Số CaSiO
Tìm số hạng thứ n của dãy số?
VD1:	Cho U1 = 8; U2 = 13; Un+2 = Un+1+Un (n2)
	a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?
	b) Áp dụng quy trình trên để tính U13, U17?
Cách làm:
8 → A
13 → B
B+A → A
A +B→ B
Gán 8 vào ô nhớ A (U1)
Gán 13 vào ô nhớ B (U2)
Dòng lệnh 1 (U3)
Dòng lệnh 2 (U4)
 ...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. (U13 = 2 584; U17 = 17 711)
VD2:	Cho U1 = 1; U2 = 2; Un+2 = 2Un+1- 4Un (n2)
	a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?
	b) Áp dụng quy trình trên để tính U15,U16, U17?
Cách làm:
1 → A
2 → B
2B - 4A → A
2A - 4B → B
Gán 1 vào ô nhớ A (U1)
Gán 2 vào ô nhớ B (U2)
Dòng lệnh 1 (U3)
Dòng lệnh 2 (U4)
 ...
Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 4 lần và đọc kết quả. (U15 = 0; U16 = -32 768; U17 = - 65 536)
VD3:	Cho U1 = 1; U2 = 2; U3 = 3; Un+3 = 2Un+2 - 3Un+1 +2Un (n2)
	a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính Un?
	b) Áp dụng quy trình trên để tính U19,U20, U66, U67, U68?
	c) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy (S20)?
Cách làm:Câua+b)
1 → A
2 → B
3 → C
2C – 3B + 2A → A
2A – 3C + 2B → B
2B – 3A + 2C → C
Gán 1 vào ô nhớ A (U1)
Gán 2 vào ô nhớ B (U2)
Gán 3 vào ô nhớ C (U3)
DL1:U4 = 2U3 - 3U2 +2U1 
DL2:U5 = 2U4 - 3U3 +2U2 
DL3:U6 = 2U5 - 3U4 +2U3 
 ...
Đưa 3 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu n – 6 lần và đọc kết quả. (U19 = 315; U20 = -142; 
 U66 = 2 777 450 630; U67 = -3 447965 925; 
U68 = -9 002 867 128 )
Bài 1: 
Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = .
Lập quy trình bấm phím tính an + 1 
Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10
Bài 2: 
Cho dãy số x1 = ; .
Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1
Tính x30 ; x31 ; x32
Bài 3: Cho dãy số (n ³ 1)
Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100.
Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100.
Bài 4: Cho dãy số (n ³ 1)
Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1
Tính x100
Bài 5: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ...
Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4
Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un .
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un.
HD giải:
Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được 
 U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640
Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình:
 Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0
c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS , Casio 570ES
 Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa U2 vào B
 1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B, 
 lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + 2 với n = 2, 3, ...
 x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U3)
 x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U4)
Bài 6: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; ...
Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5
Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1.
Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio
Bài 7: 
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức
 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
 a) Tính 
 b) Lập công thức truy hồi tính theo và 
 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và 
Bài 8:
Cho dãy số được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1.
Lập một quy trình tính un.
Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9
Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh.
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + 2 = Un + 1 . Un + 1, (n =1; 2; ...)
 Quy trình tính Un trên máy tính Casio 500MS trở lên:
1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím 
x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B
b) Ta có các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau:
U0 = 1
U1 = 1
U2 = 2
U3 = 3
U4 = 7
U5 = 22
U6 = 155
U7 = 3411
U8 = 528706
U9 = 1803416167
Bài 9:
Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + 1 = 3Un + Un – 1. (n ³ 2)
Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio
Tính các giá trị của Un với n = 18, 19, 20
Bài 10:
Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + 1 = Un + Un – 1. (n ³ 2)
Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio
Tính các giá trị của Un với n = 12, 48, 49, 50
ĐS câu b) 
U12 = 144, U48 = 4807526976, U49 = 7778742049 , U49 = 12586269025
Bài 11:
Cho dãy số sắp thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở đi được tính theo công thức Un + 1 = 2Un + Un + 1
 (n ³ 2).
Tính giá trị của U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8
Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un
Sử dụng quy trình trên tính giá trị của Un với n = 22; 23, 24, 25
Bài 13/Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Sử dụng qui trình trên tính u13, u17?
14 /Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
15 /Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2).
a. Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b. Tính u7?
c /Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, (n 2). Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
d/ Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n 3).
14 / Cho u1 = 4; u2 = 5, . Lập qui trình ấn phím tính un+1?
Bài 16: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1.
a. Lập một qui trình bấm phím để tính un+1.
b. Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số 
Bài 17: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1.
a. Tính u3; u4; u5; u6; u7.
b. Viết qui trình bấm phím để tính un.
c. Tính giá trị của u22; u23; u24; u25.
Bài 18: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho dãy số 
a. Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b. Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un.
c. Lập một qui trình tính un.
d. Tìm các số n để un chia hết cho 3.
Bài 19: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1.
a. Lập một quy trình tính un+1
b. Tính u2; u3; u4; u5, u6
c. Tìm công thức tổng quát của un.
Bài 20: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; . Tìm số dư của un chia cho 7.
Bài 21: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1. Chứng minh: A=4un.un+2 + 1 là số chính phương.
Bài 22: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 và an+2 = 2an+1 – an + 3 với n = 1,2,3 Tìm giá trị a100?
Bài 23: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un được xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 và un+1 = 2un – 3un-1 với mọi n = 2, 3,. Chứng minh rằng:
a. Dãy số trên có vô số số dương và số âm.
b. u2002 chia hết cho 11.
Bài 24(Thi giỏi toán, 1995)Dãy un được xác định bởi: 
u0 = 1, u1 = 2 và un+2 = với mọi n = 0, 1, 2, 3, .
Chứng minh rằng: 
a. chia hết cho 20
b. u2n+1 không phải là số chính phương với mọi n.
Bài 25: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12. Tính u7=?
Bài 26: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005) 
Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = với n3
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?
b. Tìm số hạng u8 của dãy?
Bài 27: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)
Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2).
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?
b. Tìm số hạng u14 của dãy?
Bài 28: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005) 
a.Cho . Tính ?
b. Cho . Tính ?
c. Cho u0=3 ; u1= 4 ; un = 3un-1 + 5un-2 (n2). Tính u12 ?
Bài 29: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định bởi công thức, n là số tự nhiên, n >= 1. Biết x 1 = 0,25. Viết qui trình ấn phím tính xn? Tính x100?
 Bài 30 /Cho dãy số Un xác định bởi:
 U1=1
 Un+1=5Un-2n
Tính U20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 31. (5 điểm)Cho dóy số với số hạng tổng quỏt được cho bởi cụng thức :
 với n = 1, 2, 3, , k, ..
Tớnh U1, U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8
Lập cụng thức truy hồi tớnh Un+1 theo Un và Un-1
Lập quy trỡnh ấn phớm liờn tục tớnh Un+1 theo Un và Un-1
Bài 32 Cho dãy số ( ) được xác định như sau:
 ; ; với mọi . Tính ?
Bài 33 Dãy số un được xác định như sau: u0 = 1; u1 = 1; un+1= 2un - un-1 + 2, với n = 1, 2, 
Lập một qui trình bấm phím để tính un;
Tính các giá trị của un , khi n = 1, 2, ,20.
Câu 34 Cho u1=a; u2=b; un+1=Mun+Nun-1. Lập quy trình bấm phím tính un và tính u13; u14; u15 với a=2; b=3; M=4; N=5.
Câu 35):
 Cho Un+1 = Un + Un-1 , U1 = U2 = 1. Tính U25
Bài 36 Cho u0=1; u1=3; un+1=un+un-1. Tính un với n = 1;2;3;; 10.
Bài 37 Cho dãy số sắp xếp thứ tự U1 , U2 , U3 , ,Un ,Un+1,
biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; Un+1 = 3Un - 2 Un-1 . Tính U1 ; U2 ; U25
Bài 38 Cho dãy số với n = 0 , 1 , 2  
Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy . 
 = 
 = 
 = 
 = 
= 
Lập một công thức truy hồi để tính theo và 
Lập quy trình ấn phím liên tục tính trên máy tính Casio 
Tìm tất cả các số nguyên n để chia hết cho 3 
Bài 39: Cho 
	a) Viết quy trình tính 
	b) Tính 
	Hãy điền các kết quả tính được vào ô vuông . 
u6 =
u7 =
u8 = 
u9 = 
23) Cho và . Tính ? Số 196603 là số hạng thứ mấy ? 
Bài 40: Cho với n = 1; 2; 3; ...
	a) Tính 
	b) Lập công thức truy hồi để tính theo và 
	c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và và tính 
Bài 41: Cho với n = 0; 1; 2; ...
	a) Lập công thức truy hồi để tính theo và 
	b) Lập quy trình ấn phím liên tục tính ( n = 5; 6; ...)
	c) Tính u5 , u6 , u7 , u8 , u9 ? 
Bài 42: Cho với n = 0; 1; 2; ...
	a) Tính 
	b) Lập công thức truy hồi để tính theo và 
	c) Tính từ u10 đến u15 ? 
Bài 43 :Cho dãy số , biết 
	a)Lập quy trình ấn phím 
b)Tính 
Bài 44 Cho với n = 1; 2; 3; ...
	a) Tính 
	b) Lập công thức truy hồi để tính theo và 
	c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính theo và 
	d) Tính từ u10 đến u15 ? 
Bài 45 Cho với n = 0;1; 2; 3; ...
	a) Tính 
	b) Viết công thức truy hồi để tính theo và 
	c) Tính từ u11 đến u13 ? 
u0 = 
u1 =
u2 =
u3 =
u4 =
 = 
u13 =
u14 =
u15 =
Bài 46: Cho dãy số , biết . 
Tính tổng của 5 số hạng đầu của dãy số đó ? Ghi kết quả vào ô vuông : 
Bµi 47: Cho d·y sè: u1=21, u2=34 vµ un+1=un+un-1
 a/ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh un+1?
 b/Áp dông tÝnh u10, u15, u20
Bµi 48: Cho d·y sè : Un = , víi n = 0, 1, 2, 3, 
TÝnh 5 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè U1, U2, U3, U4, U5.
LËp c«ng thøc truy håi tÝnh Un+1 theo Un vµ Un-1 .
LËp quy tr×nh bÊm phÝm liªn tôc tÝnh Un+2 trªn m¸y Casio .
Bài 49: (5 điểm) Cho dãy số được xác định theo công thức: 
x1 = 1; xn-1 = 
Lập quy trình bấm phím liên tục để tính xn: Tính x50 
Bài 50 
	a ) Cho dãy số x1 = 1; xn+1 = Với n 1
x100 =
	a.1) Tính x100 	
	a.2) Lập quy trình ấn phím liên tục tính xn+1
Bài 51 Cho dãy số với số hạng tổng quát đựoc cho bởi công thức:
U= + với n=1,2,3,
Tính U;U;U;U;U;U.
Lập công thức truy hồi tính U Theo U và U.
Lập quy trình ấn phím liên tục để tính U Theo U và U.
Câu 52: Cho dãy số với n = 0,1,2,
Lập quy trình bấm phím tính trên máy tính cầm tay
Tính 
‘Câu 53: Cho dãy số với n =1,2,,k,.
Chứng minh rằng: với 
Lập quy trình bấm phím liên tục tính theo và với 
Tính các giá trị từ đến 
Bài 54: Cho dãy số xác định bởi công thức : với , n = 1,2,3,, k,
Viết quy trình bấm phím liên tục tính theo .
Tính ( với đủ 10 chữ số trên màn hình )
Tính ( với đủ 10 chữ số trên màn hình )
Bài 56 : Cho với n= 0, 1, 2
Lập công thức tính theo và .
Lập quy trình bấm phím liên tục tính theo và .
Bài 57: Cho dãy số có: U1 = 60; U2 = 40; U3 = ; U4 = ;  không thoả mãn: từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi.
	1) Tìm các số hạng U5; U7; U10. Tính tổng S10 của 10 số hạng đầu tiên của dãy số và tích P6 của 6 số hạng đầu tiên của dãy số.
U5 = 
U7 = 
U10 = 
S10 
P6 
2) ViÕt quy tr×nh nhÊn phÝm ®Ó t×m liªn tiÕp theo tr×nh tù: sè h¹ng thø n, tæng Sn, tÝch Pn cña n sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè. 
Bài 58: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...): 
a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên.
b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3.
Bài 59: Cho dãy số (an) được xác định bởi:
a) Xác định công thức số hạng tổng quát an.
b) Chứng minh rằng số: biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n ³ 1.
Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên.
Bài 61: Cho dãy số Un = với n = 0 , 1 , 2 , 
Tính U0 , U1 , U2 , U3 , U4 
Lập công thức để tính Un+2 theo Un+1 và Un
Tính U13 , U14 
Bài 62: Cho dãy số sắp xếp thứ tự U1 , U2 , U3 , ,Un ,Un+1, biết U5 = 588 ; U6 = 1084 ; 
 Un+1 = 3Un - 2 Un-1 . Tính U1 ; U2 ; U25