Đề thi khảo sát học sinh giỏi Toán

ĐỀ SỐ 1
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
Xem trong file tài liệu
a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.
Câu 2: (1 điểm)
Xem trong file tài liệu
Câu 3: (2 điểm)
a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (2 điểm)
Xem trong file tài liệu
Câu 5: (2 điểm)
Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a1, a2, .., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 6: (1 điểm)
Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
Câu 7: Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán .
 a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12 
 b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
 c. Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99
ĐỀ SỐ 2
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1:
a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x + 1)(y – 5) = 12
b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1
c. Tìm tất cả các số B=62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99
Câu 2.
Xem trong file tài liệu
Câu 3:
Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả; Lần thứ 3 bán 1/4 số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cùng còn lại 24 quả. Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán.
Câu 4:
Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
ĐỀ SỐ 3
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 điểm) Tìm x
a) 5x = 125;                b) 32x = 81;
c) 52x-3 – 2.52 = 52.3;
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: |a| < 5 ↔ – 5 < a < 5
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:
a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.
b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.
c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm?
Bài 4: (2 điểm)
Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.
Bài 5: (2 điểm)
Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.
Bài 6: (1,5 điểm)
Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bằng 120. Chứng minh rằng:
a. Góc xOy = xOz = yOz
b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại.
ĐỀ SỐ X
Câu 1: a- Chứng tỏ rằng số: 101995 + 8 : 9là một số tự nhiên. 
 b- Tìm 2 số tự nhiên có tổng bằng 432 và ƯCLN của chúng là 36. 
Câu 2: Tính nhanh: 
35.34 + 35.86 + 65.75 + 65.45 ; 
b- 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 ; Câu 3: So sánh: 920 và 2713
 Câu 4: Tìm x biết: 
 a, |2x - 1| = 5 ;
 b, ( 5x - 1).3 - 2 = 70 ;
 Câu 5: Chứng minh tổng sau chia hết cho 7. 
A = 21 + 22 + 23 + 24 +...+ 259 + 260 ; 
Câu 6: Để chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi, một học sinh giải 35 bài toán. Biết rằng cứ mỗi bài đạt loại giỏi được thưởng 20 điểm, mỗi bài đạt loại khá, trung bình được thưởng 5 điểm. Còn lại mỗi bài yếu, kém bị trừ 10 điểm. Làm xong 35 bài em đó được thưởng 130 điểm. Hỏi có bao nhiêu bài loại giỏi, bao nhiêu bài loại yếu, kém. Biết rằng có 8 bài khá và trung bình.
 Câu 7: Cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, cứ 2 điểm ta sẽ vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng. 
ĐỀ SỐ IV
Câu 1. Tính: 
 a. A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 +. . . + 2 20 
 b. tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. 
Câu 2. 
 a. Chứng minh rằng nếu:(ab+ cd+eg) ∶ 11 thì deg abc ∶ 11. 
 b. Chứng minh rằng: 10 28 + 8 ∶ 72.
 Câu 3. Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg.
Câu 4.Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD.
Đáp án
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ IV 
Câu 1. a). 2A = 8 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 21. 
=> 2A – A = 2 21 +8 – ( 4 + 2 2 ) + (2 3 – 2 3) +. . . + (2 20 – 2 20). = 2 21. 
 b) (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 
=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750 
=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 
 101 x 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7 Câu 2. a) eg cdababc + += 100 10000deg = 9999 cd ab 99 + +( ) egcdab ++ ∶ 11. b). 10 28 + 8 ∶ 9.8 ta có 10 28 + 8 ∶ 8 (vì có số tận cùng là 008) nên 10 28 + 8 ∶ 9.8 vậy 10 28 + 8 ∶ 72 Câu 3. Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) ∶ 11 và ( x-25) ∶ 10. Do đó (x-15) Î BC(10;11) và 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235. 
43 | P a g e 
Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs. 
Câu4: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng Xét 3 trường hợp a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào. b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD