Sáng kiến kinh nghiệm Tổng hợp và vận dụng các kiến thức toán học để giải một số dạng bài tập Vật lý lớp 12

nền sản 
xuất chuyển từ cơ khí hoá sang tự động hoá và sự phát triển của khoa học mới 
từ giai đoạn phân tích và thực nghiệm sang khoa học liên .Sự phát triển của 
khoa học vật lí học nói riêng đòi hỏi toán học phải nghiên cứu sâu hơn về cấu 
trúc vật chất. Trong thời đại của khoa học công nghệ càng đòi hỏi phải sử 
dụng thuật toán trong máy móc. Cho nên toán học phải chuyển sang một thời kỳ 
mới khó khăn và đa dạng hơn, nhưng cũng đầy ý nghĩa cho cuộc sống con 
người. 
 Trong thời kỳ hiện đại bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX đến nay. Giai đoạn này 
các nhà toán học thường là những người biệt lập, chỉ nghiên cứu riêng lĩnh vực 
của mình, không như ngày xưa các nhà toán học có thể là các nhà vật lí, triết 
học, sinh họcToán học trong thời kỳ này nhanh chóng trở nên trừu tượng 
hơn, sâu sắc hơn. Trong lí thuyết toán học phải nói đến các công trình cách 
3 
mạng về hàm số với biến phức trong hình học và sự hội tụ của các chuỗi. Thời 
kỳ này cũng chứng kiến sự phát triển của hình học phi Ơclit, hình 
học hyperbolic, hình học ElipticTính đến thế kỷ XX toán học đã tăng với 
một tốc độ cực nhanh thậm chí nó động chạm đến hầu hết các lĩnh vực quan 
trọng của mọi khoa học. Dựa trên cơ sở của toán học, vật lí học đã phát triển 
và tìm ra cách tính điện trường và từ trường 
 Như vậy toán học là công cụ quan trọng trong nghiên cứu cũng như trong dạy 
học vật lí. Vì vậy việc tổng hợp và vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh 
khi giải các bài tập vật lí là rất cần thiết. 
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 
 Qua thực tế khảo sát học sinh các lớp trực tiếp giảng dạy và học sinh các 
khối lớp trong trường tôi nhận thấy kiến thức toán áp dụng cho việc giảng dạy 
và làm các dạng bài tập vật lý của học sinh trung học phổ thông còn rất hạn chế. 
Khi gặp một dạng bài tập vật lý đòi hỏi vận dụng các kiến thức toán học như bất 
đẳng thức, các tính chất trong tam giác, các công thức lượng giác, các kiến thức 
về hình học, học sinh thường lúng túng trong quá trình áp dụng. Các tài liệu 
tham khảo hiện có chỉ sử dụng kiến thức toán học trong các bài tập cụ thể, vì 
vậy học sinh không áp dụng được cho các dạng bài tập ở dạng tương tự. Các 
năm gần đây, để phân loại học sinh trong các đề thi thường xuyên xuất hiện một 
số câu hỏi khó như các bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều R,L,C mắc 
nối tiếp trong đề thi THPT quốc gia năm 2014- 2015... Khi gặp những dạng bài 
tập này đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức toán học kết hợp với bản 
chất vật lí mới đưa ra cách giải nhanh và chính xác. Xuất phát từ thực trạng đó 
tôi đã viết đề tài “TỔNG HỢP VÀ VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC TOÁN 
HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬT LÝ LỚP 12” nhằm tổng hợp 
một số kiến thức toán học thường được sử dụng để giải bài tập vật lý nói 
chung và một số dạng bài tập lớp 12THPT nói riêng. 
III. ác biện pháp thực hiện. 
1. Tổng hợp các kiến thức toán học thường dùng trong giải các bài tập 
vật lí THPT. 
1.1. ách đọc tên một số đại lượng vật lý. 
Ký hiệu Cách đọc Ký hiệu Cách đọc Ký hiệu Cách đọc 
;A  anpha ; fi ; khi 
;B  beta ; êta ; omega 
; Gamma ;  têta ; ipxilon 
; đenta ; nuy ; xicma 
; epxilon ; muy ; rô 
; zeta ; lamda ; Pi 
;T  tô ; kxi ; iôta 
4 
 1.2. Giá trị lượng giác của các cung và đơn vị thường dùng trong vật lí. 
+ Bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt. 
 Góc 
  
Giá trị 
0
0 
30
0 
45
0 
60
0 
90
0 
120
0 
135
0 
150
0 
180
0 
270
0 
360
0 
0 6

4

3

2

2
3

3
4

5
6

 3
2

2 
sin( ) 0 
1
2
2
2
3
2
 1 
3
2
2
2
1
2
 0 -1 0 
cos( ) 1 
3
2
2
2
1
2
 0 
1
2
 
2
2

3
2

-1 0 1 
tan( ) 0 
1
3
 1 3  3 -1 
1
3
 0  0 
cotan( )  3 1 
1
3
 0 
1
3
 -1 
3 
 0  
+ Đổi đơn vị các góc đặc biệt thường gặp trong vật lí 
01 60' (phút); 1’= 60” (giây); 01 ( )
180
rad

 ; 
180
1( )rad

 (độ) 
- 3
-1
- 3 /3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-/2

5/6
3/4
2/3
-/6
-/4
-/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
/3
/4
/6
3 /3
3
B /2 3 /3 1 3
O
5 
Cung đối 
( ; )  
Cung bù 
( ; )   
Cung hơn 
kém  
( ; )   
Cung phụ 
( ; )
2

  
Cung hơn 
kém
2
 
( ; )
2

  
cos(  ) 
= cos 
cos(  ) 
= - cos 
cos(  ) 
= - cos 
cos(
2

 ) 
= sin 
cos(
2

 ) 
= sin 
sin(  ) 
= -sin 
sin(  ) 
= sin 
sin(  ) 
= - sin 
sin(
2

 ) 
= cos 
sin(
2

 ) 
= cos 
tan(  )= 
 -tan 
tan(  ) 
= - tan 
tan(  ) 
= tan 
tan(
2

 ) 
= cotan 
tan(
2

 ) 
= -cotan 
cotan(  ) 
= -cotan 
cotan(  ) 
= - cotan 
cotan(  ) 
= cotan 
cotan(
2

 ) 
= tan 
cotan(
2

 ) 
= -tan 
1.3. ác hằng đẳng thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác 
thường được áp dụng trong vật lí. 
a. ác hằng đẳng thức lượng giác. 
2 2 2 2
2 2
1 1
sin ( ) os ( ) 1; tan( ).cotan( ) 1; 1 cotan ( ); 1 tan ( )
sin ( ) cos ( )
c     
 
       
b. Các công thức biến đổi lượng giác. 
- Công thức cộng 
     
     
sin(a b) sin( )cos sin cos ;
os(a b) cos( )cos sin sin ;
a b b a
c a b a b
  

-Công thức nhân đôi, công thức nhân ba 
     
         2 2 2 2
sin 2 2sin cos ;
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin ;
a a a
a a a a a

     
     
     
3
3
sin 3 3sin 4sin ;
cos 3 4cos 3cos ;
a a a
a a a
 
 
- Công thức hạ bậc  
 
 
 2 21 cos 2 1 cos 2cos ; sin
2 2
a a
a a
 
  
- Công thức biến đổi tổng thành tích 
       
       
sin sin 2sin cos ;cos cos 2cos cos
2 2 2 2
sin sin 2cos sin ;cos cos 2sin sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b a b
a b a b a b a b
a b a b
          
          
       
          
           
       
c. ông thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản 
sin 








2
2
sin
ka
ka
a cos  2cos kaa  
   
   
tan tan
tan( ) ;
1 tan .tan
a b
a b
a b

  
6 
1.4. Đạo hàm – Nguyên hàm của một số hàm cơ bản sử dụng trong vật lí. 
Hàm số Đạo hàm Nguyên hàm 
Y = sinx cosx - cosx 
Y = cosx - sinx sinx 
1.5. Bất đẳng thức ôsi. 
 Áp dụng cho 2 số dương a và b 
a + b  2 ab
  
  

min
max
(a b) 2 ab
a b
( ab)
2
 ; dấu “ = ” xảy ra khi a = b. 
+ Khi tích 2 số không đổi, tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau. 
+ Khi tổng 2 số không đổi, tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau. 
1.6 Tam thức bậc hai. 
Xét tam thức bậc hai: y = f(x) = ax2 + bx + c. 
+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol. 
+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol. 
+ Toạ độ đỉnh: x = -


b
; y
2a 4a
 với  = b2 - 4ac 
+ Nếu  = 0 thì phương trình y = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép. 
+ Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 
Định lý iet: 
b
x y S
a x,y
c
x.y P
a
1.7. Hệ thức lượng trong tam giác. 
*Tam giác thường:Xét tam giác ABC có 
 BC = a, AC = b, AB = c 
+ Định lý hàm số sin: 
a b c
sin A sin B sin C
  
+ Định lý hàm số cosin: 2 2 2a b c 2bccosA   
*Tam giác vuông: Xéttam giác ABC vuông tại A có 
AH = h, BC = a, AC = b, AB = c, CH = b
’, BH = c’, 
 ta có các hệ thức sau: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
b ab '; c ac '; h b 'c '; b.c a.h;
h b c
      
là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 
7 
1.8.Tính chất củaphân thức: 
a c a +c a -c
= = =
b d b+d b-d
 và 
a c a
= =
b d b d
 

b c d
1.9. Bảng ký hiệu bội số và ước số của đơn vị đo thường dùng trong vật lí. 
Số mũ Cách đọc Ký hiệu Số mũ Cách đọc Ký hiệu 
10
18
 Exa E- 10 
-1
 Deci d- 
10
15
 Penta P- 10 
-2
 Centi c- 
10
12
 Tera T- 10 
-3
 Milli m- 
10
9
 Giga G- 10 
-6
 Micro m- 
10
6
 Mega M- 10 
-9
 Nano n- 
10
3
 Kilo k- 10 
-12
 Pico p- 
10
2
 Hecto h- 10 
-15
 Femto f- 
10
1
 Deca da- 10 
-18
 Atto a- 
2. ận dụng các kiến thức toán học để giải một số các dạng bài tập vật lý 12 
2.1. ận dụng kiến thức toán học về tam thức bậc hai trong việc giải các bài 
toán về cực trị của mạch điện xoay chiều R,L, mắc nối tiếp. 
2.1.1 ơ sở lý thuyết: Sử dụng các kiến thức toán học về tam thức bậc 2 
Xét tam thức bậc 2 có dạng : y = ax2 + bx + c. 
+ Với a > 0: ymin khi CT
b
x = -
2a
 và min
Δ
y = -
4a
 ; 
+ Với a < 0: ymax khi CT
b
x = -
2a
 và max
Δ
y = -
4a
. 
* Lưy ý: Hai nghiệm x1 ,x2 thỏa Viet: +1 2
b
x x = -
a
; do đó CT 1 2
1
x = (x x )
2
 . 
2.1.2. ận dụng tính chất của tam thức bậc hai trong việc giải các bài toán 
về cực trị của mạch điện xoay chiều R,L, mắc nối tiếp. 
- Lập hàm số của các đại lượng vật lý cần khảo sát theo đại lượng vật lý biến 
thiên: y = f(x) 
- Biến đổi và đưa về dạng tam thức bậc 2 : y = ax2 + bx + c. 
- Sau đó tìm cực trị theo đại lượng biến thiên 
2.1.2.1. ận dụng kiến thức toán học về tam thức bậc 2 trong bài toán tìm 
cực trị của diện áp ở hai đầu cuộn dây thuần cảm khi độ tự cảm L thay đổi . 
Theo định luật Ôm ta có: UL = 
22 )(
.
CL
L
ZZR
ZU

= 
2
2
2
L
2 )(
Z
R
L
CL
Z
ZZ
U


UL = 
)(
1
2
Z
R
2
L
22
L
L
CC
Zf
U
Z
ZZ
U



Với f(ZL) = 1
2
2
22


L
C
L
C
Z
Z
Z
ZR
8 
Đặt X = 
L
Z
1
 = f(ZL) = f(x) = (R
2
 + Z 2
C
) X
2
 - 2ZC X + 1. Ta thấy: f(x) là tam thức 
bậc 2 có a = (R2 + Z 2
C
) > 0  f(x) min khi X = - 
a
b
2
LC
C
ZZR
Z 1
22


 ZL = 
C
C
Z
ZR 22 
 f(ZL) min = 22
2
C
ZR
R

 ULmax = 
R
ZRU
C
22 
2.1.2.2. ận dụng kiến thức toán học về tam thức bậc 2 trong bài toán tìm 
cực trị của diện áp ở hai đầu tụ điện khi điện dung thay đổi. 
Theo định luật Ôm ta có : UC = I.ZC =
22 )(
.
CL
C
ZZR
ZU

= 
1
Z2
Z
ZR 2
L
2
C
2
L
2


C
Z
U
UC = 
)(
C
Zf
U
 UCmax khi f (Zc) min  f (Zc) = 1
2
Z
R
2
C
22


C
LL
Z
ZZ
Đặt X = 
C
Z
1
 f (X) = (R
2
 + Z 2
L
) X
2
 - 2ZL X + 1 Ta có: a = R
2
 + Z 2
L
> 0 
 => f(X) min khi X = - 
a
b
2

22
1
RZ
Z
Z
L
L
C

 => ZC = 
L
22
Z
R
L
Z
 C = 
222 LR
L

fmin = 22
2
R
R
L
Z
 UCmax = 
minf
U
 UCmax = 
R
ZRU
L
22 
2.1.2.3. ận dụng kiến thức toán học về tam thức bậc 2 trong bài toán tìm 
cực trị của diện áp ở hai đầu tụ điện khi tần số thay đổi. 
* Ta có: UC = = 
2 2
2 2 2
2 2
1
.
2 1
U
L C
L R
C C



 
   
 
UC = 
2 2 4 2 2 2. (2 ). 1
U
L C LC R C   
 = 
)(f
U
; UCmax khi f () min: 
f() = L
2
C
24 - (2LC - R2C2) 2 + 1 (1) Có a = L2C2 > 0 
=> f() min khi 2 = 
a
b
2

 = C = 
C
CRL
L 2
21 2
C = 
2
1 2R
C
L
L
 với điều kiện 
2
2
L R
C

Khi đó: UCmax = 
min)(f
U
= 
2 2
2
4
UL
R LC R C
222
C
2
Z.
CL
Z
C
L
ZR
U

22
22
2
2
CL
CRLC
9 
2.1.2.4. ận dụng kiến thức toán học về tam thức bậc 2 trong bài toán tìm 
cực trị của diện áp ở hai đầu cuộn dây thuần cảm khi tần số thay đổi. 
Ta có: UL = I.ZL = 
22 )(
Z.
CL
L
ZZR
U

= 
222 2
Z.
LC
L
Z
C
L
ZR
U

* UL = 
222 2
Z.
LC
L
ZR
C
L
Z
U







=
1
12
.
1
22
2
422







 L
R
LCCL
U
 = 
)(f
U
; 
ULmax khi f () min. Ta có f() = 1
12
.
1
22
2
422







 L
R
LCCL
 (1) 
Ta có a = 
22
1
CL
> 0 => f() min khi 
2
1

 = 
a
b
2
 = 













22
2
2
1
.2
2
CL
L
R
LC 
=>
2
1

= 
22
.
2 2222
2
2 CR
LC
CL
L
R
LC






 =>L = 
1
C
2
2
2
C
L R C
với điều kiện: 
2
2
L R
C
 => ULmax = 
min)(f
U
 =
2 2
2
4
UL
R LC R C
2.1.3. Bài tập vận dụng
Đề bài: Cho mạch điện như hình vẽ. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay 
chiều có dạng uAB = 200 2 cos100 t (V) 
Cho R = 50 (); C = 
410


(F) , cuộn dây thuần cảm có L thay đổi. Tìm L để 
điện áp ở hai đầu cuộn dây cực đại. Tìm giá trị cực đại đó? 
Bài giải 
Theo định luật Ôm ta có: 
UL = I.ZL = 
2 2 2 2
2
.
( )( ) 2.
1
L
LL C C C
LL
U Z U U
f ZR Z Z R Z Z
ZZ
 
  
 
Trong đó f(ZL) = f(x) = (R
2
 + Z 2
C
) x
2
 - 2ZC.x + 1 với x =
1
LZ
 Ta có : a = R
2
+ Z 2
C
> 0 => f(x) min khi x = 
a
b
2
 
C 
A B 
R L 
10 
=>
2 2 2 2
2 2
1 50 100 1,25
125( ) ( )
100
C C
L
L CC
Z R Z
Z L H
Z ZR Z 
 
       

=> ULmax = 
2 2
100. 2.125 100. 2.125
100 10 ( )
25. 550 (125 100)
V 
 
2.2. ận dụng bất đẳng thức ôsi để giải các bài toán tìm cực trị của công 
suất trong mạch R,L, mắc nối tiếp khi R thay đổi. 
2.2.1. ơ sở lý thuyết. 
Áp dụng cho 2 số dương a và b 
a + b  2 ab
  
  

min
max
(a b) 2 ab
a b
( ab)
2
 ; dấu “ = ” xảy ra khi a = b. 
+ Khi tích 2 số không đổi, tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau. 
+ Khi tổng 2 số không đổi, tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau. 
2.2.2. Nội dung phương pháp vận dụng bất đẳng thức ôsi để giải các bài 
toán tìm cực trị của công suất trong mạch R,L, mắc nối tiếp khi R thay 
đổi. 
Lập biểu thức công suất của mạch: P = I2R = )1(
)(
..
22
2
2
2
cL
ZZR
RU
Z
RU

 
Từ (1)  P = 
2
2( )L C
U
Z Z
R
R


 Rmax khi R + 
R
ZZ
CL
2)( 
 min 
Do R và 
R
ZZ
CL
2)( 
 là những số dương nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 
R + 
R
ZZ
CL
2)( 
 2|ZL - ZC|. Dấu " = " xảy ra khi: R = |ZL - ZC| 
Vậy với R = L CZ Z thì: Pmax = 
R
U
ZZ
U
CL
22
22


. 
Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở thuần r thì ta có thể đặt Rtđ = R +r 
 rồi áp dụng BĐT Cô si . Khi đó công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại khi 
Rtđ = R + r= |ZL - ZC | => R= | ZL - ZC |- r. Nếu r > | ZL - ZC | do R không âm nên 
ta có kết quả là khi R= 0 thì công suất tiêu thụ trên mạch đạt cực đại : 
Pmax = 
2
2 2
.r
( )L C
U
r Z Z 
. 
2.2.3. Bài tập vận dụng 
Đề bài: Cho mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây có độ tự cảm 
L = 
1.4

 (H) và điện trở trong r = 30 (), tụ điện có điện dung C = 
410


 (F) .Đặt 
vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có dạng u = 100 2 cos 100 t (v) 
11 
a. Tìm R để công suất của mạch đạt cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ? 
b. Tìm R để công suất trên R cực đại. Tìm giá trị cực đại đó ? 
Bài giải 
a.Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2 (R+r ) = 
 
2
22
( )
( ) L C
U R r
R r Z Z

  
=> P = 
2 2
2( )
( ) L C
U U
AZ Z
R r
R r


 

 . Do U = Const nên Pmax khi Amin theo bất đẳng 
thức côsi ta có: A = (R + r ) + 
2( )L CZ Z
R r


 2 |ZL - ZC | 
=> Amin = 2 |ZL - ZC | = 2 (140 - 100) = 80(). 
Dấu "=" khi R + r = | ZL - ZC | = (140 - 100) = 40() 
=> R = 40 – r = 10() khi đó Pmax = 
2
min
U
A
= 
2100
125( )
80
W 
b. Công suất tiêu thụ trên R:PR = I
2
 R = 
2
2
Z
RU
= 
2
2 2( ) ( )L C
U R
R r Z Z  
PR 
2 2 2
2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )
2L C L C
U R U U
A rR r Z Z Rr r Z Z
R r
R
  
      
  
 
Do U, R0 không đổi nên PRmax khi Amin 
Theo bất đẳng thức côsi ta có: A = R + 
2 2
2 2
( )
2 ( )
L C
L C
r Z Z
r Z Z
R
       
Dấu "=" khi R = 
2 2( )L Cr Z Z  = 
22 4030  = 50 => Amin = 2R = 100 
=> PRmax = 
2 2 2 2100 100
62,5(W)
min 2 2( ) 2(50 30) 160
U U
A r R r
   
   
2.3. ận dụng các công thức toán học và sử dụng giản đồ véc tơ để giải các 
bài toán điện xoay chiều trong mạch R,L, mắc nối tiếp. 
2.3.1. ách vẽ giản đồ véc tơ áp dụng cho mạch điện xoay chiều R,L, mắc 
nối tiếp. 
 Do các phần tử R,L,C mắc nối tiếp nên dòng điện chạy qua các phần tử có 
giá trị tức thời như nhau, vì vậy việc so sánh pha dao động giữa điện áp hai đầu 
các phần tử với dòng điện chạy qua nó cũng chính là so sánh pha dao động của 
chúng với dòng điện trong mạch chính. Do đó ta thường chọn trục dòng điện là 
trục gốc. Các véc tơ biểu diễn dao động của các điện áp hai đầu các phần tử và 
hai đầu đoạn mạch biểu diễn trên trục pha thông qua mối quan hệ của nó với 
cường độ dòng điện, cụ thể: 
+ Điện áp giữa hai đầu điện trở uR cùng pha với i nên RU

 cùng hướng với trục I 
12 
+ Điện áp giữa hai đầu cuộn dây thuần cảm uL sớm pha 
π
2
 so với inên LU

 vuông 
góc với trục I và hướng lên trên. 
+ Điện áp giữa hai đầu tụ điện uC trễ pha 
π
2
 so với inên CU

 vuông góc với 
 trục I và hướng xuống dưới. 
Khi đó điện áp hai đầu đoạn mạch : 
R L C R LCU U U U U U     
 Để thu được một giản đồ véc tơ dễ nhìn, thuận lợi cho việc giải toán thì việc 
áp dụng phương pháp véc tơ nên sử dụng giản đồ véc tơ trượt và sử dụng giản 
đồ này một cách linh hoạt sẽ giúp ta giải quyết các bài toán điện xoay chiều 
nhanh và có hiệu quả phù hợp với các dạng bài tập khó về điện xoay chiều 
trong các đề thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia những năm gần đây. 
2.3.2. ác công thức toán học thông dụng thường được sử dụng trong khi 
sử dụng giản đồ véc tơ. 
*Trong tam giác thường: 
+ Định lý hàm số sin: 
a b c
sin A sin B sin C
  
+ Định lý hàm số cosin: 
2 2 2a b c 2bccosA   
*Trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A 
có AH = h, BC = a, AC = b, AB = c, CH = b
’, BH = c’, 
 ta có các hệ thức sau: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
b ab '; c ac '; h b 'c '; b.c a.h;
h b c
      
+Định lý Pi-ta-go:
2 2 2a b c  
2.3.3. ác dạng bài tập điện xoay chiều vận dụng giản đồ véc tơ và các công 
thức toán học. 
2.3.3.1. ận dụng giản đồ véc tơ và công thức định lí hàm số sin 
Đề bài : Cho mạch điện như hình vẽ 
LCU U 
RU
I 
O 
LU 
CU
CU 
0 
U 
UL 
UR 
URC 
I 
 
 
 

X 
L,r C 
B A 
13 
X là hộp đen chứa 2 trong 3 phần từ L1, R1,C1 nối tiếp .UAN= 100cos100t (V) 
;UMB = 200cos (100t - /3);  =
LC
1
 =100(rad/s).Viết biểu thức Uxtheo thời gian t 
Bài giải 
*Vẽ giản đồ véc tơ trượt 
 ZL = L ; Zc= 
C
1

ZL = ZC; 
LC
1
 = 2LC= 1 
* 0UU CL  ;* XLAL UUU  ;* X0MB UUU  Với UMP= 2YAN= 100 2 
* Lấy trục số I , biểu diễn vec tơ * MBAL U;U 
Xét OHK ; HK = 2U2= 2UC 
 HK= 650
3
cos.100.50.2)2100()250( 22 

 
 UL = UC = 25 6 (V) 
*Theo định lý hàm số sin 




 sin
2100
2
3
650
sin
CK
3
sin
HK  = 90
0
 LU  ( I ) 
LU  ANU  ANU cùng pha với XU hợp với ANU một góc X 
 tgX = 
2
2
250
625
OH
HE
 X 41
0 
; Ux = 2 2 25 14OH HE  (V) 
 UX = Ux 2 cos (100t - x) = 25 28 cos (100 - 
150
4 ) (V) 
2.3.3.2. ận dụng giản đồ véc tơ và định lý hàm số cosin. 
Đề bài: Đoạn mạch AB gồm R, C và cuộn dây mắc nối tếp vào mạch có điện áp 
u= 120 2 cos( t) (V). Khi mắc ampe kế lí tưởng G vào hai đầu cuộn dây thì nó 
chỉ 3 A. Khi thay G bằng một vôn kế lí tưởng thi vôn kế chỉ 60V, lúc đó điện 
áp giữa hai đầu cuộn dây lệch pha 600 so với điện áp hai đầu đoạn mạch AB. 
Tính tổng trở của cuộn dây ? 
Bài giải: Khi nối G với cuộn dây mạch diện chỉ gồm (R nt C) 
  340
1I
U
ZRC (1). 
- Khi nối Vôn kế với cuộn dây: 3/ 
- Vẽ giản đồ véc tơ trượt 
- Áp dụng ĐL hàm số cos đối với ABC : 
 VUUUUU dABdABRC 360
3
cos222 







0 
ANU H 
/3 
LU 
E 
CU 
K 
6

MBU
XU 
I 
A 
rU 
C 
B 
RU 
LU 
dU 
RCU 
ABU 
I 
14 
 A
Z
U
I
RC
RC 5.1
340
360
2  Vậy   40
5,1
60
2I
U
Z dd
2.3.3.3. ận dụng giản đồ véc tơ, công thức tính diện tích tam giác và định lí 
hàm số cosin. 
Đề bài: Mạch điện xoay chiều nối tiếp AMB có tần số 50Hz. AM chứa L và R = 
50 3 Ω. MB chứa tụ điện C = 
410


F. Điện áp uAM lệch pha 
3

so với uAB. Tìm L? 
Bài giải 
Theo công thức tính diện tích tam giác: 
SAMB=0,5AH.MB=0,5AM.ABsin  3/ 
CRABAM UUUU .
2
3
..  Hay  1.
3
2
. CRABAM UUUU  
Theo ĐL hàm số cos: BM2=AB2+AM2-2AB.AMcos  3/ 
     22. 2222222222 CLLRCLRCLRMBAMABABAM UUUUUUUUUUUUUUU 
Từ (1) và (2):  CLLR UUUU  22 =  1.
3
2
. CRABAM UUUU   HLZL
2
1
50  
2.3.3.4. ận dụng giản đồ véc tơ và sử dụng công thức về đường cao trong 
tam giác. 
Đề bài:Cho đoạn mạch xoay chiều RLC không phân nhánh hai đầu AB, L mắc 
vào hai đầu am, R mắc vào MN. Biểu thức dòng điện trong mạch 
  Ati 6/100cos22   . Hiệu điện thế trên các đoạn mạch AN và MB lệch 
nhau 90
0, và UAN=200(V), UMB=150(V). Tìm R, L? 
Bài giải: 
Vẽ giãn đồ véc tơ trượt như hình bên. 
Trong tam giác OEF ta có: 
222
111
OEOFOH

222
111
MBANR UUU
 
 VUR 120  V
I
U
R R 60 
OHE vuông:  VUUU RANL 160
22  
 HLV
I
U
Z LL

8,0
80  
2.3.3.5. ận dụng giản đồ véc tơ và sử dụng tính chất của hai tam giác đồng 
dạng. 
Đề bài:Hai cuộn dây R 1 , L 1 và R 2 , L 2 mắc nối tiếp nhau và đặt vào một hiệu 
điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U. Gọi U 1 và U 2 là hiệu điện thế hiệu 
dụng tương ứng giữa hai cuộn R 1 , L 1 và R 2 , L 2 Tìm biểu thức liên hệ giữa các 
đại lượng đã cho để U = U 1 + U 2 ? A L1,r1 L2,r2 B M 
A 
3

RU I 
ABU 
AMU M 
B 
LU 
H 
CU
F 
E 
H 
MBU 
ANU 
O RU 
CU 
LU 
I 
15 
Bài giải 
Để có thể cộng biên độ các hiệu điện thế thì U1 và U2 phải cùng pha 
 1U và 2U phải cùng nằm trên một đường thẳng. 
Từ đó ta vẽ được giãn đồ véc tơ trượt như hình vẽ 
AEM đồng dạng với MFB 

BF
MF
ME
AE
 Hay 
2
1
2
1
L
L
R
R
U
U
U
U
 

2
1
2
1
L
L
R
R
 
2.3.3.6. ận dụng giản đồ véc tơ và sử dụng sử dụng công thức lượng giác 
hai góc phụ nhau φ1 + φ2 = 
2

 tanφ1.tanφ2 = 1 
Đề bài: Một mạch điện có sơ đồ như hình vẽ. 
Điện áp xoay chiều uAB có giá trị hiệu dụng 
U không đổi; RV = . Khi R = R1 thì vôn kế 
chỉ U1 = 120V; khi R = R2 thì vôn kế chỉ giá trị U2 = 90V. Trong hai trường hợp 
trên công suất tiêu thụ vẫn bằng P. 
a. Tìm điện áp hiệu dụng U. 
b. Biết R1 = 45Ω; R2 = 80Ω. Tìm P 
Bài giải 
Vôn kế chỉ giá trị hiệu dụng ULC vì vậy uV luôn vuông pha vớ