Toán 9 - Các dạng toán thường gặp trong đề thi

 Bài2: Để giải loại HPT này ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
 Vaọy HPT có nghiệm là 
Bài 3: 
*Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây: 
+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK: .
 Vay HPT có nghiệm là 
 + Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK: .
 Đặt ; . HPT đã cho trở thành: (TMĐK)
Vaọy HPT có nghiệm là 
 Lưu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Bài tập về hệ phương trình:
Bài 1: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau (baống pp theỏ)
 1.1: 
 1.2. 
Bài 2: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau (baống pp coọng ủaùi soỏ)
2.1. 
 2.2. 
Bài 3: 
 Giaỷi heọ phửụng trỡnh trong moói trửụứng hụùp sau
 a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Bài 4 a) Xaực ủũnh heọ soỏ avaứb, bieỏt raống heọ phửụng trỡnhcoự nghieọm laứ (1; -2)
	 b) Cuừng hoỷi nhử vaọy neỏu heọ phửụng trỡnh coự nghieọm 
Bài 5: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau: 
Tửứ ủoự suy ra nghieọm cuỷa heọ phửụng trỡnh 
Bài 6: Cho hệ phương trình 
Giải hệ khi a =3 ; b =-2 
Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y) = (
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau: (pp đặt ẩn phụ)
 7.1) 7.2) 7.3) (đk x;y2 ) 
 7.4) ; 7.5) ; 7.6) .
 7.7) ; 7.8) ; 
7.9) ; 7.10) ; 7.11) ; 
c.Phương trình bậc hai - hệ thức vi - ét
1.Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0)
* Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt:
	x1 = ; x2 = 
* Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
* Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
Chú ý: Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiệm thu gọn:
 b’= và ' = 
* Nếu ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
	x1 = ; x2 = 
* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
* Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
2.Định lý Vi ét: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ 
 S = x1 + x2 = - 
 p = x1x2 = 
Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 0 
3. Toán ứng dụng định lý Viét
I. Tính nhẩm nghiệm.
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = 
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - 
Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n
( hoặc x1 = n , x2 = m)
II. LẬP PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI 
1. Lập phương trỡnh bậc hai khi biết hai nghiệm 
Vớ dụ : Cho ; lập một phương trỡnh bậc hai chứa hai nghiệm trờn
Theo hệ thức VI-ẫT ta cú vậy là nghiệm của phương trỡnh cú dạng:
Bài tập ỏp dụng: 
	1. 	x1 = 8 	và 	x2 = -3
	2. 	x1 = 3a 	và 	x2 = a
	3. 	x1 = 36 	và 	x2 = -104
	4. 	x1 = 	và 	x2 = 
2. Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm thoả món biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trỡnh cho trước:
V ớ dụ: Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm phõn biệt . Khụng giải phương trỡnh trờn, hóy lập phương trỡnh bậc 2 cú ẩn là y thoả món : và 
Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú:
Vậy phương trỡnh cần lập cú dạng: 	
	hay	
Bài tập ỏp dụng:
1/ Cho phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt . Khụng giải phương trỡnh, Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm và 
	(Đỏp số: hay )
2/ Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm . Hóy lập phương trỡnh bậc 2 cú ẩn y thoả món và (cú nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của cỏc nghiệm của phương trỡnh đó cho).
	(Đỏp số : )
3/ Cho phương trỡnh bậc hai: cú cỏc nghiệm . Hóy lập phương 	trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm sao cho :
	a) và 	b) và 
(Đỏp số 	a) 	b) )
III. TèM HAI SỐ BIẾT TổNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số cú Tổng bằng S và Tớch bằng P thỡ hai số đú là hai nghiệm của phương trỡnh :
	(Điều kiện để cú hai số đú là S2 4P ³ 0 )
Vớ dụ : Tỡm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tớch P = ab = 4
Vỡ a + b = 3 và ab = 4 n ờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 
giải phương trỡnh trờn ta được và 
Vậy 	nếu a = 1 thỡ b = 4
	nếu a = 4 thỡ b = 1
Bài tập ỏp dụng: Tỡm 2 số a và b biết Tổng S và Tớch P 
	1. S = 3	và 	P = 2
	2. S = 3	và	P = 6
	3. S = 9	và 	P = 20
	4. S = 2x	và 	P = x2 y2
Bài tập nõng cao: Tỡm 2 số a và b biết
	1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
	2. a b = 5 và ab = 36
	3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đó biết tổng của hai số a và b , vậy để ỏp dụng hệ thức VI- ẫT thỡ cần tỡm tớch của a v à b.
T ừ 
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trỡnh cú dạng : 
Vậy: 	Nếu a = 4 thỡ b = 5 
	nếu a = 5 thỡ b = 4
2) Đó biết tớch: ab = 36 do đú cần tỡm tổng : a + b
Cỏch 1: Đ ặt c = b ta cú : a + c = 5 và a.c = 36
	Suy ra a,c là nghiệm của phương trỡnh : 
	Do đú nếu a = 4 thỡ c = 9 nờn b = 9
	nếu a = 9 thỡ c = 4 nờn b = 4
Cỏch 2: Từ 
*) Với và ab = 36, nờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 
	Vậy a = thỡ b = 
*) Với và ab = 36, nờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 
	Vậy a = 9 thỡ b = 4
3) Đó biết ab = 30, do đú cần tỡm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 
*) Nếu và ab = 30 thỡ a, b là hai nghiệm của phương trỡnh: 
	Vậy nếu a = thỡ b = ; nếu a = thỡ b = 
*) Nếu và ab = 30 thỡ a, b là hai nghiệm của phương trỡnh : 
	Vậy nếu a = 5 thỡ b = 6 ; nếu a = 6 thỡ b = 5.
IV. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm:
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: (hoặc ) (*)
 - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của tham số
 - Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận 
 +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay luôn x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số 
 - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình 
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình , mà phương trình bậc hai này có
 < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.
Để tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm:
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm được nghiệm thứ2
V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối cỏc bài toỏn dạng này điều quan trọng nhất là các em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đó cho về biểu thức cú chứa tổng nghiệm và tớch nghiệm để ỏp dụng hệ thức VI-ẫT rổi tớnh giỏ trị của biểu thức
1.Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và 	
Dạng 1. 
Dạng 2. 
Dạng 3. 
Dạng 4. 
Dạng 5. Ta biết 
Dạng 6. =
Dạng 7. = =. 
Dạng 8. = = 
Dạng 9. = = ..
Dạng 10. 	
 Dạng 11. 	=	
Dạng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
Dạng13 
2. Bài tập áp dụng: Khụng giải phương trỡnh, tớnh giỏ trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh
	1. 	(34)	2. 	
	3. 	4. 	(46)
b) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	2. 	
c) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	2. 	(138)
d) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh:
	1. 	(3)	2. 	(1)
	3. 	(1)	4. 	
 5. 
e) Cho phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 ; x2 , khụng giải phương trỡnh, tớnh
HD: 
VI. TèM HỆ THỨC LIấN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHễNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm cỏc bài toỏn loại này,các em làm lần lượt theo cỏc bước sau:
1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2
 (thường là a ạ 0 và D ³ 0)
2- Áp dụng hệ thức VI-ẫT: 
3- Sau đú dựa vào hệ thức VI-ẫT rỳt tham số theo tổng nghiệm, theo tớch nghiệm sau đú đồng nhất cỏc vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm khụng phụ thuộc vào tham số.Đó chính là hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào tham số m.
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh : (1) cú 2 nghiệm . Lập hệ thức liờn hệ 	giữa sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m.
(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bước 1)
Giải:
Bước2: Theo hệ th ức VI- ẫT ta cú :
Bước2: Rỳt m từ (1) ta cú :
	(3)
Rỳt m từ (2) ta cú :
	(4)
Bước 3: Đồng nhất cỏc vế của (3) và (4) ta cú:
Vớ dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trỡnh : . Chứng minh rằng biểu thức khụng phụ thuộc giỏ trị của m.
Theo hệ thức VI- ẫT ta c ú :
	ĐK:() ;Thay vào A ta c ú:
	Vậy A = 0 với mọi . Do đú biểu thức A khụng phụ thuộc vào m
 1 
	Bài tập ỏp dụng:
1. Cho phương trỡnh : . Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: 
 B1: Dễ thấy . Do đú phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 
 B2: Theo hệ thức VI- ẫT ta cú
 B3: Từ (1) và (2) ta cú:
 2
 Cho phương trỡnh : .
Tỡm hệ thức liờn hệ giữa và sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đú phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ẫT ta cú
Từ (1) và (2) ta cú:
VII.TèM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRèNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với cỏc bài toỏn dạng này các em làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2 
(thường là a ạ 0 và D ³ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đó cho, ỏp dụng hệ thức VI-ẫT để giải phương trỡnh (cú ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xỏc định của tham số để xỏc định giỏ trị cần tỡm.
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh : 
	Tỡm giỏ trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trỡnh c ú 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú: 	và từ giả thiết: . Suy ra:
	(thoả món điều kiện xỏc định )
Vậy với m = 7 thỡ phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh : .
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ẫT ta cú: 	và từ giả thiết . Suy ra
Vậy với m = 2 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài tập ỏp dụng
	1. Cho phương trỡnh : 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
	2. Cho phương trỡnh : 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức: 
	3. Cho phương trỡnh : . 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Hướng dẫn cỏch giải: 
	Đối với cỏc bài tập dạng này ta thấy cú một điều khỏc biệt so với bài tập ở Vớ dụ 1 và vớ dụ 2 ở chỗ: 
+ Trong vớ dụ thỡ biểu thức nghiệm đó chứa sẵn tổng nghiệm và tớch nghiệm nờn ta cú thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ẫT để tỡm tham số m.
+ Cũn trong 3 bài tập trờn thỡ cỏc biểu thức nghiệm lại khụng cho sẵn như vậy, do đú vấn đề đặt ra ở đõy là làm thế nào để từ biểu thức đó cho biến đổi về biểu thức cú chứa tổng nghiệm và tớch nghiệm rồi từ đú vận dụng tương tự cỏch làm đó trỡnh bày ở Vớ dụ 1 và vớ dụ 2.
BT1: 	- ĐKX Đ: 
	-Theo VI-ẫT: 
	- Từ Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trỡnh sau: 
BT2: - ĐKXĐ: 
- Theo VI-ẫT: 
- Từ : . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta cú phương trỡnh : (thoả món ĐKXĐ)
BT3: - Vỡ với mọi số thực m nờn phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt.
- -Theo VI-ẫT: 
- Từ giả thiết: . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trỡnh: (thoả món )
VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI
	Cho phương trỡnh:	 (a ạ 0) .Hóy tỡm điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm: trỏi dấu, cựng dấu, cựng dương, cựng õm .
Ta lập bảng xột dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2
D
Điều kiện chung
trỏi dấu
P < 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P < 0.
cựng dấu,
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0
cựng dương,
+
+
S > 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0
cựng õm
S < 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Vớ dụ: Xỏc định tham số m sao cho phương trỡnh:
	 cú 2 nghiệm trỏi dấu.
Để phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu thỡ 
Vậy với thỡ phương trỡnh cú 2 nghi ệm trỏi dấu.
Bài tập tham khảo:
	1. cú 2 nghiệm cựng dấu.
	2. cú 2 nghiệm õm.	
	3. cú ớt nhất một nghiệm khụng õm.
IX. TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tớnh chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luụn phõn tớch được:
	 	(trong đú A, B là cỏc biểu thức khụng õm ; m, k là hằng số)	(*)
Thỡ ta thấy : 	 (v ỡ ) 	
	 (v ỡ)	
Vớ dụ 1: Cho phương trỡnh : 
	Gọi và là cỏc nghiệm của phương trỡnh. Tỡm m để :
	 cú giỏ trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ẫT: 
Theo đ ề b ài : 	
Suy ra: 
Vớ dụ 2: Cho phương trỡnh : 
	Gọi và là cỏc nghiệm của phương trỡnh. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau:
Ta cú: Theo hệ thức VI-ẫT thỡ : 
Cỏch 1: Thờm bớt để đưa về dạng như phần (*) đó hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
	Vỡ 	
	Vậy m = 1
Với cỏch thờm bớt khỏc ta lại cú:
	Vỡ 
	Vậy 
Cỏch 2: Đưa về giải phương trỡnh bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tỡm điều kiện cho tham số B để phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm với mọi m.
	(Với m là ẩn, B là tham số)	(**)
Ta cú: 
Để phương trỡnh (**) luụn cú nghiệm với mọi m thỡ D ³ 0
hay 	
	Vậy: 	 m = 1
Bài tập ỏp dụng
	1. Cho phương trỡnh : .Tỡm m để biểu thức cú giỏ trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trỡnh . Tỡm m sao cho nghiệm thỏa món điều kiện.
3. Cho phương trỡnh : xỏc định m để phương trỡnh cú 2 nghiệm thỏa món
a) đạt giỏ trị lớn nhất
b) đạt giỏ trị nhỏ nhất
4. Cho phương trỡnh : . Với giỏ trị nào của m, biểu thức dạt giỏ trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trỡnh . Xỏc định m để biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bài tập 
Bài tập 1:
Biến đổi các phương trình sau thành phương trình bậc hai rồi giải
a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 
e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) – 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) – 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bài tập 2: Cho phương trình: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0
a) Giải phương trình với m = - 2; 	
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = -1
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 3 Cho phương trình: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0
a) Giải phương trình với m = 3; 	
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = - 4; 	
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 4:
Cho phương trình: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0
a) Giải phương trình với m = -2; 	
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = -3
c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.
Bài tập 5: Cho phương trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Giải phương trình với m = -1và m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 4
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = x2
Bài tập 6: 
Cho phương trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phương trình với m = -2 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2 
Bài tập 7: 
Cho phương trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0
a) Giải phương trình với m = -3 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho vô nghiệm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = - 2x2
Bài tập 8: 
Cho phương trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = - 4 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2 
Bài tập 9:
Biết rằng phương trình : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm 
x = 1. Tìm nghiệm còn lại
Bài tập 10:
Biết rằng phương trình : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm 
x = -1 . Tìm nghiệm còn lại
x = -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 11: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0 
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m 
Bài tập 12: Cho phương trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài tập 13:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22 
Bài tập 14: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 
a) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m 
Bài tập 15: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x12 + x22 
Bài tập 16: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
a) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất
c) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài tập 17: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
 mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện 
Bài tập 18:
Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 
Bài tập 19:
Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 20:
a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0	(1)
x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0	(2)
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
--------------------------------
d. Một số phương trình thường gặp:
1. pHương trình tích: Dạng: 
Ví dụ: Giải phương trình: . Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm.( nghiệm thuộc ước của 6)ta được:
Bài tập:
Bài 1: 
Bài 2: 
2.pHương trình chứa ẩn ở mẫu:
Ví du: Giải và biện luận phương trình sau: (*)
ĐKXĐ: 
Khi đó phương trình (*) 
Nếu ; thì phương trình có nghiệm :
Nếu m = 1 thì phương trình có nghiệm: x = 0.
Bài tập:
Bài 1: 
Bài 2: 
3. pHương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyêt đối
Ví dụ: Giải phương trình: 
Ta có thể giải như sau: Lập bảng xét vế trái:
x
Vế trái cộng lại
Vậy: + Với thì phương trình (1) ( thoả mãn)
 + Với thì phương trình (1) phương trình vô nghiệm.
 + Với thì phươngtrình (1) thoả mãn.
Bài tập:
Bài 1: 
Bài 2: 
4. pHương trình vô tỉ:
Ví dụ: a) Giải phương trình: 
PP: + ĐKXĐ: 
 + Bình phương hai vế để làm mất căn.
 b) Giải phương trình: 
PP: + ĐKXĐ: 
 + Tạo ra bình phương của một tổng noặc một hiệu của biểu thức dưới căn để đưa ra ngoài căn.
Do thiếu 2 lần tích nên ta nhân cả hai vế của phương trình với .
 + Xét xem biểu thức dưới căn dương hay không để đặt trong dấu gía trị tuyệt đối rồi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài tập:
Bài 1: 
Bài 2: 
---------------------------------------------------------
Dạng IV Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
I, Lí thuyết cần nhớ:
 * Bước 1: + Lập PT hoặc hệ phương trình;
 (nên lập bảng để timphương trình)
 - Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
 - Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lượng đã biết.
 - Lập HPT.
 * Bước 2: Giải PT hoặc HPT.
 * Bước 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
II, Bài tập và hướng dẫn: 
1) Toán chuyển động:
Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B. 
Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h. nên thời gian ít hơn thời gian khi đI là 20 phút. Tính quãng đường AB? 
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
2) Toán thêm bớt một lượng
Bài 5. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS. nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì số HS ở hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp.
Bài 6: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít,thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi kấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?
3) Toán phần trăm:
Bài 7. Hai trường A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.
4) Toán làm chung làm riêng:
Bài 8. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 9. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.
5) Toán nồng độ dung dịch:
Kiến thức: Biết rằng m lít chất tan trong M lít dung dịchthì nồng độ phàn trăm là
Bài 10: Khi thêm 200g Axít vào dung dịch Axít thì dung dịch mới có nồng độ A xít là 50%. Lại thêm 300gam nước vào dung dịch mới ,ta được dung dịch A xít có nồng độ là40%.Tính nồng độ A xít trong dung dịch đầu tiên.
HD: Khối lượng nước trong dung dịch đầu tiên là x gam, khối lượng A xít trong dung dịch đầu tiên là y gam Sau khi thêm, 200 gam A xít vào dung dịch A xít ta cólượng A xít là: ( y + 200) gam và nồng độ là 50% Do đó tacó: (1)
Sau khi thêm 300 gam nước vào dung dịch thì khối lượng nước là: (x + 300) gam và nồng độ là 40%(=2/5) nên ta có: (2) 
Giải hệ (1) và (2) ta được x = 600; y = 400 Vậy nông độ A xít là: 
6)Toán nhiệt lượng:
Kiến thức: Biết răng: + m Kg nước giảm t0C thì toả ra một nhiệt lượng