Ứng dụng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

O VĨNH LONG 
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 
NGUYỄN BỈNH KHIÊM 
 GV hướng dẫn : Th. Nguyễn Văn Ngọc Đại 
 Nhóm thực hiện : Nhóm 2 
 Lớp : 10T2 
Vĩnh Long, 01/2018 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 2 
Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông thì phần kiến thức về bất đẳng thức 
là khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra 
và chứng minh. Đối với phần kiến thức này thì có hai dạng bài tập quan trọng là chứng minh bất đẳng 
thức và vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán có liên quan. 
Là những học sinh lớp chuyên Toán chúng em không phủ nhận cái khó của bất đẳng thức và 
muốn tìm hiểu thêm về các ứng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc học tập của môn Toán 
sau này. Do đó chúng em chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” 
để tìm hiểu thêm. Khi vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng 
thức để chúng ta vận dụng. Ở đây chúng em chỉ giới hạn trong hai bất đẳng thức là bất đẳng thức AM-
GM, Cauchy-Shwarz. Trong đề tài này chúng em trình bày cách vận dụng hai bất đẳng thức trên để 
tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) để rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức 
để giải toán và qua đó có thể tích lũy được kinh nghiệm trong việc giải toán sau này. Chúng em rất 
mong sẽ nhận được sự đóng góp tích cực của giáo viên và bạn bè về bài báo cáo này để chúng em kịp 
thời khắc phục nếu có sai sót. 
Chân thành cảm ơn! 
 “Chỉ có cách 
 nhìn thiển cận mới 
 không thấy được 
vai trò của Toán học.” 
 -Tạ Quang Bửu- 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 3 
MỤC LỤC 
MỤC LỤC .................................................................................................................. 3 
I/ SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ..................................................................... 4 
II/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC 
(HOẶC HÀM SỐ) ..................................................................................................... 6 
 III/ BÀI TẬP ÁP DỤNG ......................................................................................... 12 
 IV/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ .......................................................................................... 13 
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 15 
PHỤ LỤC ................................................................................................................. 16 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 17 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 4 
I/ SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 
1/ Định nghĩa bất đẳng thức 
 Cho các mệnh đề: “A > B”; “A ≥ B”; “A < B”; “A ≤ B”, trong đó A, B là các biểu 
thức chứa các số thực được gọi là những bất đẳng thức. 
2/ Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 
• 
A B
A C
B C

 

• A B A C B C     
• 
. . 0
. . 0
AC B C khi C
A B
AC B C khi C
  
  
 
• 
A B
A C B D
C D

   

• 
0
. .
0
A B
AC B D
C D
 
 
 
• Với
1 1
. 0 :A B A B
A B
    
• Với * 2 2, 0, ( ) : n nA B n N A B A B     
• * 2 1 2 1, , ( ) : n nA B n N A B A B      
• 2 20 n nA B A B    
• 2 1 2 1n nA B A B    
3/ Một số bất đẳng thức cơ bản 
3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối 
• A B A B   , dấu “=” xảy ra . 0AB  
• A B A B   , dấu “=” xảy ra . 0AB  
• 1 2 1 2... ...n nA A A A A A       
 3.2. Bất đẳng thức AM - GM 
• Cho hai số a, b không âm; ta luôn có: 
 abba 2 
 Dấu “=” xảy ra ba  
• Tổng quát: cho n số không âm  1 2, ,..., 2na a a n  , ta luôn có: 
 1 2 1 2
...
. ...n n n
a a a
n a a a
n
  
 
• Dấu “=” xảy ra 1 2 ... na a a    
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 5 
• Mở rộng: Cho n số dương  1 2, ,..., 2na a a n  và n số 1 2, ,...., n   dương 
có: 1 2 ... 1n      . Thì: 
1 2
1 2 1 1 2 2. ... ...
n
n n na a a a a a
        
 Dấu “=” xảy ra 1 2 ... na a a    
3.3. Bất đẳng thức Cauchy-Shwarz 
• Cho hai bộ số a, b và c, d ta có: 
     22222 dcbabdac  
 Dấu “=” xảy ra 
d
b
c
a
 
• Tổng quát: Cho n số thực 1 2 1 2, ,..., và , ,..,n na a a b b b tùy ý, ta luôn có: 
     2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b          
 Dấu “=” xảy ra 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
    
• Mở rộng: 
 Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm:    , ,... 1,2,...,i i ia b c i m 
 Khi đó ta có: 
 Dấu “=” xảy ra 1 1 1 2 2 2: : ... : : : ... : ... : : ... :n n na b c a b c a b c    
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 6 
II/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ( CỦA 
HÀM SỐ) 
1. Định nghĩa về giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất 
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x) trên miền X nếu: 
0 0
: ( )
: ( )
x X f x M
x X f x M
  

  
. Kí hiệu: max ( )
x X
M f x

 . 
• Số M được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x) trên miền X nếu: 
1 1
: ( )
: ( )
x X f x m
x X f x m
  

  
. Kí hiệu: min ( )
x X
m f x

 
2. Tìm GTLN - GTNN của biểu thức ( hoặc hàm số) bằng phương pháp vận dụng 
bất đẳng thức 
- Đối với việc tìm GTLN - GTNN của biểu thức (hàm số) thì có thể kể đến các 
phương pháp sau: phương pháp khảo sát, phương pháp đánh giá thông thường và 
phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các phương pháp nêu trên thì phương 
pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những phương pháp thông 
dụng và hiệu quả nhất để tìm GTLN - GTNN của biểu thức ( hoặc hàm số). Đối 
với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như: bất đẳng thức 
AM – GM, Cauchy Schwartz,... để đánh giá biểu thức P (hoặc hàm số 
1 2( , ,..., )nf x x x ), từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm. 
- Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa của GTLN - 
GTNN của biểu thức (hoặc hàm số). Lược đồ chung của phương pháp này có thể 
miêu tả như sau: 
• Chứng minh ( ) ,m f x M x D    
• Chỉ ra sự tồn tại: 
0 0
1 1
max ( ): ( )
: ( ) min ( )
x X
x X
M f xx D f x M
x D f x m m f x


  
 
   
Do phạm vi của đề tài, ở đây chúng em chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng hai bất 
đẳng thức là: AM - GM, Cauchy – Shwartz. 
2.1 Phương pháp ứng dụng bất đẳng thức AM – GM 
 a) Ứng dụng bất đẳng thức AM -GM tìm GTLN 
- Để áp dụng bất đẳng thứ AM – GM vào việc tìm GTLN của các biểu thức 
dạng 1 2 3. . ..... nS a a a a trong đó 0 ( 1, )ia i n  . Ta tiến hành theo các bước sau: 
 + Bước 1: Biến đổi tích thành các lũy thừa hai vế của tích với số mũ một 
cách hợp lí, hoặc nhân hai vế với một số dương thích hợp đưa S về dạng 
1 2 3. . .... mP b b b b đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: 
• 1 2 3, , , ..., 0mb b b b  . 
• 1 2 3 ... mb b b b q     (hằng số). 
• Hệ phương trình: 1 2 3 ... mb b b b    có nghiệm. 
+ Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức AM- GM suy ra: 
m
q
P
m
 
  
 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 7 
+ Bước 3: Xét dấu “=” xảy ra khi nào rồi suy ra kết luận 
➢ Một số dạng toán thường gặp 
*Dạng 1: Cho các số thực a, b, c > 0 thỏa mãn: a+b+c = q (hằng số). 
 Tìm GTLN của biểu thức: 
 m m mS k A k B k C      
 A, B, C là các biểu thức đối xứng với a, b, c. 
❖ Phương pháp giải: 
 -Cho a = b = c tìm p sao cho k + A = p (làm nháp) 
 -Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho m số, ta có 
1
1 1
(1 ) 1 ( 1) 1mm
m
m mm
p A m p A
k A
p mp

 
    
    
 
; 
1
1 1
(1 ) 1 ( 1) 1mm
m
m mm
p B m p B
k B
p mp

 
    
    
 
; 
1
1 1
(1 ) 1 ( 1) 1mm
m
m mm
p C m p C
k C
p mp

 
    
    
 
. 
 -Khi đó: 
1
1 3( 1)
.
mm
m p A B C
S
mp 
   
 (hằng số) 
 -Xét dấu “=” xảy ra khi nào rồi suy ra kết luận 
 VD1: Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
. Tìm GTLN của 3 3 3S a b b c a c      
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 
3 3 33
2 2
( )
9 2 2 9 3 3. ( ). . .
4 3 3 4 3
a b
a b a b
  
    
3 3 33
2 2
( )
9 2 2 9 3 3. ( ). . .
4 3 3 4 3
b c
b c b c
  
    
3 3 33
2 2
( )
9 2 2 9 3 3. ( ). . .
4 3 3 4 3
a c
a c a c
  
   
3 3 3 33
9 2( ) 4
. 18
4 3
a b c
S a b b c a c
  
         
Vậy: 3
, , 0
1
18 1
3
a b c
Max S a b c a b c
a b b c c a


        
     
 *Dạng 2: Cho các số thực 1 2 3., , ,..., nA A A A là các biểu thức nhận giá trị dương 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 8 
 Tìm GTLN của biểu thức 1 2 3. . ..... nS A A A A 
 VD2: Cho    0;3 , 0;4x y  .Tìm GTLN của biểu thức: 
    2 3 3 4P x y x y    
Giải
 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 
    
3
1 1 2 3 6 2 12 3
2 3 6 2 12 3
6 6 3
x y x y
P x y x y
     
      
 
3
1 18
36
6 3
 
  
 
 Vậy Max P = 36 
0
2 3 6 2 12 3
2
x
x y x y
y

       

b) Ứng dụng bất đẳng thức AM -GM tìm GTNN 
 - Để áp dụng bất đẳng thứ AM – GM vào việc tìm GTNN của các biểu thức 
dạng 1 2 3 ... nS a a a a     trong đó 0 ( 1, )ia i n  . Ta tiến hành theo các bước sau: 
 + Bước 1: Biến đổi S về dạng 
 1 2 3 0 0... , ( tan)mS b b b b S S cons       
đồng thời thõa mản các điều kiện sau: 
• 1 2 3, , , ..., 0mb b b b  . 
• 1 2 3 ... mb b b b q     (hằng số). 
• Hệ phương trình: 1 2 3 ... mb b b b    có nghiệm. 
 + Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, suy ra: mS m q . 
 + Bước 3: Xét dấu “=” xảy ra khi nào rồi suy ra kết luận. 
➢ Một số dạng toán thường gặp 
*Dạng 1: Tìm GTNN của 
m
S A
B
  , trong đó m là hằng số dương. A, B: là 
các biểu thức đại số nhận giá trị dương. 
❖ Phương pháp giải: 
-Phân tích . .....p qB u u Thêm bớt lượng thích hợp để đưa A về dạng
....
u v
S p q
p q
   
     
   
 Khi đó: 
 ....
. ....p q
u v m
S p q
p q u v
   
      
   
 -Áp dụng bất đẳng thức AM -GM đối với p + q + ... + 1 số, ta có: 
 ... 1( ... 1). .
. ...
p q
p q
m
S p q
p q
      
 - Xét dấu “=” xảy ra khi nào rồi suy ra kết luận. 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 9 
 VD3: Cho các số thực thỏa mãn: 0a b c   . Tìm GTNN của biểu thức 
 
23
108
( )
S a
a b b c c
 
 
Giải 
Ta có: 
 
23
( ) 2( ) 108
3 2
3 2 ( )
a b b c
S c
a b b c c
 
   
 
Vì: 
 
23
108
0 , , , 0
3 2 ( )
a b b c
a b c c
a b b c c
 
    
 
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được: 
 
3 2
7
7 23
( ) ( ) 108
7 . . . 7 1 7
27 4 ( )
a b b c
S c
a b b c c
 
  
 
Vậy min S = 7 
 
23
1
108
3
3 2 ( )
6
c
a b b c
c b
a b b c c
a

  
     
   
*Dạng 2: Cho A, B, C: là tổng đối xứng của các biến dương x, y, z. Tìm 
GTNN của biểu thức: 
x y z
S
A B C
   . 
❖ Phương pháp giải: 
 -Đặt , ( , 0)
u A x u v w
v B y v w u
w C z w u v
  
    
  
    
 
      
     
 Khi đó: 3
v w u w u v
S
u v w u v w
  
   
         
   
 -Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, suy ra: 3( )S      
 - Xét dấu “=” xảy ra khi x = y = z rồi suy ra kết luận. 
 VD4: Cho các số thực thỏa mãn: x, y, z > 0. Tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2
x y z
S
y z z x x y
  
  
Giải 
 Đặt 
2 4 1
9 9 92
2 4 1
2
9 9 9
2
2 4 1
9 9 9
x a b c
a y z
b z x y b c a
c x y
z c a b

   
  
 
       
   
   

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: 
2 4 1 2 4 1
1
3 9 9 3 9 9
b c a c a b
S
a b c a b c
   
               
   
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 10 
Vậy min S = 1 
b c a
a b c
a b c x y z
c a b
a b c

 
      
  

2.2 Phương pháp ứng dụng bất đẳng thức Cauchy – Shwarz 
 Hệ quả: 
2
3 1 2 31 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3
( ... )
... , ( , 0)
. . . ... .
n n
i i
n n n
a a a a a aa a
a b
b b b b a b a b a b a b
   
     
   
Dấu “=” xảy ra khi 31 2
1 2 3
... n
n
a aa a
b b b b
    
➢ Một số dạng toán thường gặp 
*Dạng 1: Cho các số thực dương 1 2 3, , ,..., nx x x x . Tìm GTNN của 
31 2
1 2 3
... n
n
x xx x
S
A A A A
     , trong đó 1 2 3, , ,..., nA A A A là các tổng đối xứng của 
1 2 3, , ,..., nx x x x . 
❖ Phương pháp giải: 
-Áp dụng hệ quả của Cauchy – Shwarz, suy ra: 
2
3 1 2 31 2
1
1 2 3 1 2 3
( ... )
...
...
n n
n n
x x x x x xx x
S S
A A A A A A A A
   
      
   
-Ta chứng minh S1 ≥ S0. Với S0 là giá trị của S khi: 
1 2 3 ... nx x x x    . 
- Xét dấu “=” xảy ra khi: 1 2 3
1 2 3
...
...
n
n
x x x x
A A A A
   

   
, rồi suy ra kết luận. 
(Dạng này đã gặp trong việc áp dụng AM – GM nhưng sẽ đơn giản hơn nhiều 
khi áp dụng Cauchy – Shwarz đặc biệt là các bài có nhiều biến) 
 VD5: Cho các số thực a, b, c, d > 0. Tìm GTNN của biểu thức 
2 3 2 3 2 3 2 3
a b c d
S
b c d c d a d a b a b c
   
       
Giải 
Áp dụng hệ quả của Cauchy – Shwarz, ta có: 
2( )
( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 )
a b c d
S
a b c d b c d a c d a b d a b c
  

          
2( )
4( )
a b c d
ab bc cd da ac bd
  

    
Ta thấy khi a = b = c = d thì S = S0
1 1 1 1 2
6 6 6 6 3
     
Ta sẽ chứng minh: 
2( ) 2
4( ) 3
a b c d
ab bc cd da ac bd
  

    
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 11 
23( ) 8( )a b c d ab bc cd da ac bd          
2 2 23 3 3 2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc cd da ac bd          
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0a b b c c d d a a c b d             (luôn đúng) 
2
3
S  
Vậy min S = 
2
3
 a b c d    
*Dạng 2: Cho các số thực 1 2 3, , ,..., nx x x x thõa mãn: 
2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3. . . ... .n na x a x a x a x k     , các số 1 2 3, , ,... 0na a a a  . Tìm GTLN và 
GTNN của biểu thức 1 1 2 2 3 3. . . ... .n nS b x b x b x b n     . 
❖ Phương pháp giải: 
 -Viết S về dạng: 1 21 1 2 2
1 2
. . . . ... . .n n n
n
bb b
S a x a x a x
a a a
    . 
 -Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Shwarz, suy ra: 
22 2
2 2 2 21 2
1 1 2 2 3 3... . . . . ... .
n
n n
n n n
bb b
S a x a x a x a x
a a a
        
 = 
22 2
2 1 2. ... n
n n n
bb b
k
a a a
   
 -Suy ra: 
 -k. 
22 2
1 2 ... n
n n n
bb b
a a a
   ≤ S ≤ k.
22 2
1 2 ... n
n n n
bb b
a a a
   
 - Xét dấu “=” xảy ra khi x = y = z rồi suy ra kết luận. 
 VD 6: Cho các số thực x, y, z thỏa 
2 2 24 9 4x y z   . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 
 S x y z   
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Shwarz, ta có: 
2 2 2
2 2
1 1 1 1 7
.2 .3 1 . 4 9
2 3 2 3 3
S x y z x y z         
7 7
3 3
S   
Vậy min 
7
3
S  
84
41
4 9
21
7
41
3
28
123
x
x y z
y
x y z
z


   
 
   
     


Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 12 
 max 
7
3
S 
84
41
4 9
21
7
41
3
28
123
x
x y z
y
x y z
z

 
   
 
    
   



III/ BÀI TẬP ÁP DỤNG 
 Bài 1: Cho 2 2 52x y  . Tìm GTLN của 2 3A x y  . 
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Shwarz, ta có: 
 2 2 2(2 3 ) (2 3 ).52x y   
  2(2 3 ) 13.13.4x y  
  2 3 26x y  
Vậy max A = 26 
2 2
2 3
4
2 3 0
6
52
x y
x
x y
y
x y
 

    

 
 Bài 2: Cho x, y, z thỏa mãn 2 2 2( 1) ( 2) ( 3) 4x y z      . Tìm GTLN của biểu thức: 
 2 3 12S x y z    
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz, ta có: 
 1( 1) 2( 2) 3( 3) 2 1( 1) 2( 2) 3( 3) 2S x y z x y z              
 2 2 2 2 2 2(1 2 3 ) ( 1) ( 2) ( 3) 2 2 14 2x y z             
Vậy max S = 
2 2 2
2
1
14
1 2 3
0 4
2 14 2 21 2 3
14
( 1) ( 2) ( 3) 4
6
3
14
x
x y z
t
y
x y z
z

 
  
    
     
       
 

 Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm GTNN của biểu thức: 
4 9 16a b
P
b c a c a b a b c
  
     
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Shwarz, ta có: 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 13 
1 1 1 29
4 9
2 2 2 2
a b c
P
b c a c a b a b c
     
           
          
4 9 16
2
a b c
b c a c a b a b c
   
   
      
2(2 3 4) 29 81 29
. . 26
2 ( )( )( ) 2 2 2
a b c a b c
b c a c a b a b c a b c
     
    
       
Vậy min P = 26 
2 3 4
7 6 5
a b c
b c a c a b a b c
     
     
 Bài 4: Cho 2 2
1
4
4
x y  . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 4 8A y x   
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Shwarz, ta có: 
 2 2 2 2
5
1. 2.2 (1 2 )( 4 )
2
y x y x     
  
5 5
4
2 2
y x    
  
5 5
8 4 8 8
2 2
y x      
  
5 5
8
2 2
A   
 Vậy 
2 2
2
1 2 5
5 5 10
min 8 4
2 2 5
1 104
4
y x
x
A y x
y
x y

  
 
 
       
 
 
  

2 2
2
1 2 5
5 5 10
max 8 4
2 2 5
1 104
4
y x
x
A y x
y
x y

  
  
 
      
 

  

IV/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 
Bài 1: Cho x, y > 0. Tìm GTNN của biểu thức: 
 2 3 2 2018M x xy y x     
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 14 
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức: C = 
9
5
x
x

Bai 3: Cho 0 < x < 2. Tìm GTNN của biểu thức: E = 
9 2
2
x
x x


Bài 4: Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện: 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4. Tìm GTLN của 
biểu thức A = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y). 
Bài 5: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: 
2 2
( )(1 )
(1 ) (1 )
x y xy
P
x y
 

 
Bài 6: Cho 4xy xz yz   . Tìm GTNN của biểu thức: 4 4 4A x y z   
Bài 7: Cho 2 2 2( 1) ( 2) ( 1) 1x y z      . Tìm z, y, z để 
 2 3 8x y z   đạt GTLN. 
Bài 8: Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của biểu thức: 
 3 3 3 3 3 33 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
x y z
P x y y z x z
y z x
 
         
 
Bài 9: Cho 
, , 0
1
z y z
x y z


  
. Tìm GTLN của biểu thức: S = 2 2 2x y y z zx  
Bài 10: Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
. Tìm GTLN của biểu thức: P = 
3 3
2( )( )( )
x y
x yz y zx z xy  
Bài 11: Cho hai số thực x, y ≠ 0 thõa mãn: 2 22( ) ( 2)x y xy x y    . Tìm GTLN của biểu 
thức: 
S = 
2 2
1 1 1
x y xy
  
Bài 13: Cho  1,0, ba . Tìm GTLN của biểu thức: 
      yxyx  1111P 
Bài 14: Cho x > 0, y > 0, z > 0 và x + y + z = 1. 
 Tìm GTLN của biểu thức M = 
111 



 z
z
y
y
x
x
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 15 
KẾT LUẬN 
 Các dạng toán liên quan đến bất đẳng thức thường không dễ nên các dạng toán này 
thường chỉ sử dụng để tuyển chọn các học sinh giỏi. Ban đầu, nó chỉ biết dưới dạng chứng 
minh các bất đẳng thức trên cơ sở các bất đẳng thức thông dụng, nhưng sau đó các dạng toán 
đã ra đời trên cơ sở các bất đẳng thức thông dụng đã biết như: tìm GTLN – GTNN, giải 
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình. 
 Trong đề tài này chúng em chỉ nghiên cứu hai dạng toán là tìm GTLN – GTNN dựa 
trên hai bất đẳng thức là: AM – GM, Cauchy - Shwartz. Qua quá trình thực hiện chúng em đã 
rút ra được các điều sau: 
- Đế áp dụng được các bất đẳng thức để giải toán đòi hỏi kỹ năng nhận xét của 
người giải phải nhạy bén, và kỹ năng biến đổi tương đương các biểu thức phải 
linh hoạt để đưa về đúng dạng của bất đẳng thức cần áp dụng. 
- Mặc dù các dạng toán về bất đẳng thức rất khó, khó nhất là đưa về đúng dạng 
bất đẳng thức cần vận dụng nhưng khi ta biết sử dụng thành thạo các bất đẳng 
thức và tuân thủ các nguyên tắc biến đổi đẳng thức nhận xét nhạy bén để đưa 
về dạng của bất đẳng thức cần ứng dụng thì bài toán sẽ trở nên không khó. 
- Đồng thời, chúng em đã học được rất nhiều kinh nghiệm trong giải toán bất 
đẳng thức và thấy được mối liên hệ của các bất đẳng thức với nhau. 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 16 
PHỤ LỤC 
(Các bài toán tìm GTLN - GTNN trong các đề thi Đại học gần đây.) 
1. (Khối A năm 2006) 
Cho hai số thực 0,0  yx thay đổi và thoả mãn điều kiện:   xyyxxyyx  22 . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
33
11
yx
 
2. (Khối B năm 2006) 
 Cho yx, là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 A     211 2222  yyxyx 
3. (Khối A năm 2007) 
 Cho zyx ,, là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: 1xyz . Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức P = 
     
yyxx
yxz
xxzz
xzy
zzyy
zyx
222
222








4. (Khối B năm 2007) 
 Cho zyx ,, là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 P 


















xy
z
z
zx
y
y
yz
x
x
1
2
1
2
1
2
5. (Khối B năm 2008) 
 Cho hai số thực yx, thay đổi thoả mãn hệ thức 122  yx . Tìm giá trị lớn nhất và 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
 
2
2
221
62
yxy
xyx


 
6. (Khối D năm 2008) 
 Cho yx, là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức P 
  
   22 11
1
yx
xyyx


 
Ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN 
 Trang 17 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1) Nguyễn Văn Nho – Lê Bảy, Phương pháp giải toán chuyên đề Đại số 10, NXB 
ĐHQG Hà Nội, năm 2015 
2) Hà Văn Chương, Tuyển tập 700 bài toán bất đẳng thức luyện thi vào các trường 
ĐH – CĐ bồi dưỡng học sinh giỏi PTTH, NXB Trẻ, năm 1993. 
3) Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 bài toán bất đẳng thức giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ 
nhất, NXB T.P Hồ Chí Minh, năm 2002. 
4) Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học, NX