Giáo án môn Toán 11 - Thể tích khối đa diện mặt tròn xoay

SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SB = .Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng
Lời giải:
	Ta cĩ : AB = a, 
	AC = a 
	SB = .
	* ABC vuơng tại B nên 
	* SAB vuơng tại A cĩ 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Bài Toán 1.2:	
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B, AC = a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SB = .Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
Tam giác ABC vuơng , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng
Lời giải:
	Ta cĩ : AC = a,	 	 SB = .
	* ABC vuơng, cân tại B nên 
	* SAB vuơng tại A cĩ 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Bài Toán 1.3:	
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SB = .Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
Tam giác ABC đều cĩ ba gĩc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng SAB
Lời giải:
	* ABC đều cạnh 2a nên 
	AB = AC = BC = 2a
	* SAB vuơng tại A cĩ 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Bài Toán 1.4:	
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC cân tại A, BC = 2a, ,cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200 
Lời giải:
	* ABC cân tại A, , BC = 2a
	AB = AC = BC = 2a
	Xét AMB vuơng tại M cĩ BM = a, Â = 600
	 AM = 
	* SA = a
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Bài Toán 1.5:	
	Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SC = .Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ đáy là hình vuơng ( vẽ như hình bình hành), cao SA (ABCD) và vẽ thẳng đứng
ABCD là hình vuơng ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuơng
Lời giải:
	Ta cĩ : ABCD là hình vuơng cạnh a 	 SC = .
	* Diện tích ABCD
	* Ta cĩ : AC = AB.= 
	 SAC vuơng tại A 
	* Thể tích khối chĩp S.ABCD
Bài Toán 1.6:	
	Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA = AC = a.Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ đáy là hình vuơng ( vẽ như hình bình hành), cao SA (ABCD) và vẽ thẳng đứng
Biết AC và suy ra cạnh của hình vuơng (Đường chéo hình vuơng bằng cạnh nhân với )
Lời giải:
	Ta cĩ : SA = AC = a 	* ABCD là hình vuơng
	AC = AB. 
	 Diện tích ABCD : 
	* SA = a
	* Thể tích khối chĩp S.ABCD
Bài Toán 1.7:	
	Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hình chĩp tam giác đều cĩ đáy là tam giác đều tâm O 
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong ABC 
Đường cao của hình chĩp là SO ( SO (ABC))
Lời giải:
	* S.ABC là hình chĩp tam giác đều 
	Gọi M là trung điểm BC
	 ABC đều cạnh , tâm O
	SO (ABC)
	SA=SB=SC = 2a
	* ABC đều cạnh 
	 AM = 
	* SAO vuơng tại A cĩ 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
	Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên 
Học sinh vẽ “sai” hình chĩp tam giác đều vì
+ khơng xác định được vị trí điểm O
+ khơng hiểu tính chất của hình chĩp đều là SO (ABC)
+ khơng tính được AM và khơng tính được AO
Tính tốn sai kết quả thể tích
Bài Toán 1.8:	
	Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng .Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hình chĩp tứ giác đều cĩ 
+ đa giác đáy là hình vuơng ABCD tâm O
+ SO (ABCD)
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau 
Đường cao của hình chĩp là SO ( SO (ABCD))
Lời giải:
	* S.ABCD là hình chĩp tứ giác đều 
	ABCD là hình vuơng cạnh 2a , tâm O
	SO (ABCD)
	SA=SB=SC =SD = 
	* Diện tích hình vuơng ABCD
	 AC = 2a. 
	* SAO vuơng tại O cĩ 
	* Thể tích khối chĩp S.ABCD
	Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên 
Học sinh vẽ “sai” hình chĩp tứ giác đều 
+ khơng xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuơng
+ khơng SO (ABCD) mà lại vẽ SA (ABCD)
+ khơng tính được AC và khơng tính được AO
Tính tốn sai kết quả thể tích
Bài Toán 1.9:	Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Tứ diện đều ABCD cĩ các tính chất
+ tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ tất cả các mặt là các tam giác đều
+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy 
Đường cao của hình chĩp là AO ( AO (BCD))
Lời giải:
	* ABCD là tứ diện đều cạnh a 
	Gọi M là trung điểm CD
	Ta cĩ : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a
	 BCD đều cạnh a, tâm O
	 AO (BCD)
	* BCD đều cạnh a 
	 BM = 
	* AOB vuơng tại O cĩ 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Bài Toán 1.10:	
	Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB=a, AC=a, cạnh A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
	* Tam giác ABC vuơng tại B
	 BC = 
	* Tam giác A/AB vuơng tại A
	* 
Dạng 2. 	THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- KHỐI LĂNG TRỤ
LIÊN QUAN ĐẾN GÓC
Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian được phân phối học ở cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12 sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. Đó là một vấn đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết cách vận dụng, từ đó đa số học sinh đều bỏ hoặc làm sai bài toán tính thể tích của khối chóp , khối lăng trụ trong các kỳ thi học kỳ, thi Tốt nghiệp THPT
Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán tính thể tích liên quan đến giả thuyết về góc 
 Góc
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Xác định Góc giữa SB và (ABC)
 Ta có : 

Góc giữa hai mặt phẳng
Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)
Ta có : (SBC) (ABC) = BC
 SM BC
 AM BC
 Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm
Bài Toán 2.1: 
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B, AB = a, , cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một gĩc bằng 450 .Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
Xác định gĩc giữa SB và (ABC) là gĩc giữa SB với hình chiếu của nĩ lên (ABC)
Lời giải:
	* Ta cĩ : AB = a , 
	* ABC vuơng tại B cĩ AB = a, 
	* SAB vuơng tại A cĩ AB= a, 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Bài Toán 2.2:	
	Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một gĩc bằng 600 .Tính thể tích khối chĩp S.ABCD
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
Xác định gĩc giữa SC và (ABCD) là gĩc giữa SC với hình chiếu AC của SC lên (ABCD)
Lời giải:
	* Ta cĩ : ABCD là hình vuơng cạnh a , 
	* Diện tích hình vuơng
	* SAC vuơng tại A cĩ AC= , 
	* Thể tích khối chĩp S.ABCD
Bài Toán 2.3: 
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC vuơng tại B, AB = , BC = a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một gĩc bằng 600 .Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Giải
Sai lầm của học sinh:
Gọi M là trung điểm BC
Ta cĩ AM BC 
 SM BC
	 (Hình vẽ sai)
Lời giải đúng:
	* Ta cĩ : AB = , 
	(SBC) (ABC) = BC
	AB BC ( vì ABC vuơng tại B)
	SB BC ( vì 
	* ABC vuơng tại B cĩ AB = ,BC =a 
	* SAB vuơng tại A cĩ AB= a, 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Nhận xét:
Học sinh khơng lý luận để chỉ ra gĩc nào bằng 60o , do đĩ mất 0.25 điểm
Học sinh xác định gĩc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh khơng nắm rõ cách xác định gĩc và cứ hiểu là gĩc SMA với M là trung điểm BC
Nếu đáy là tam giác vuơng tại B (hoặc C), hình vuơng và SA vuơng gĩc với đáy thì gĩc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là gĩc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến
Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuơng gĩc với đáy hoặc là hình chĩp đều thì gĩc giữa mặt bên và mặt đáy là gĩc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến. 
Bài Toán 2.4: 
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A, cạnh BC = , cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một gĩc bằng 450 .Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Giải
Sai lầm của học sinh:
Lời giải đúng:
	* Ta cĩ : AB = , 
	(SBC) (ABC) = BC
	Gọi M là trung điểm BC
	AM BC ( vì ABC cân tại A)
	SM BC ( vì 
	* ABC vuơng cân tại A cĩ ,BC = 
	 AB = BC = a và AM = 
	* SAM vuơng tại A cĩ AM= , 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Bài Toán 2.5: 
	Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB=a, BC = , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một gĩc 300 .Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải
	* Ta cĩ A/A (ABC)
	AB BC 
	 Mà AB = nên A/B BC
* Tam giác ABC vuơng tại B
* Tam giác A/AB vuơng tại A 
* 
Bài Toán 2.6: 
	Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu vuơng gĩc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một gĩc 300. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải
	* Gọi M là trung điểm BC
 G là trọng tâm của tam giác ABC
 Ta cĩ A/G (ABC)
	 GA = 
* Tam giác ABC đều cạnh 2a	 
* Tam giác A/AG vuơng tại G cĩ 
	 .Vậy 
Dạng 3. 	TỶ SỐ THỂ TÍCH
- Việc tính thể tích của một khối chĩp thường học sinh giải bị nhiều sai sĩt, Tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chĩp “nhỏ” của khối chĩp đã cho. Khi đĩ học sinh cĩ thể thực hiện các cách sau:
+ Cách 1:
Xác định đa giác đáy
Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuơng gới với mặt phẳng đáy)
Tính thể tích khối chĩp theo cơng thức
+ Cách 2
Xác định đa giác đáy
Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chĩp “nhỏ” và khối chĩp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho
+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích
Hai khối chĩp S.MNK và S.ABC cĩ chung đỉnh S và gĩc ở đỉnh S
Ta cĩ : 
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều cĩ đề cập đến tính thể tích của một khối chĩp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chĩp lớn.Tuy nhiên
Chương Trình Chuẩn
Chương Trình Nâng Cao
- Khơng trình bày khái niệm tỷ số thể tích của 2 khối chĩp 
Cĩ trình bày khái niệm tỷ số thể tích của 2 khối chĩp
Bài Toán 3.1:	
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA = . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chĩp S.AMN
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chĩp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chĩp đã cho
Lời giải:
	Cách 1: (dùng cơng thức thể tích )
	* Khối chĩp S.AMN cĩ 
	-Đáy là tam giác AMN
	- Đường cao là SA
	* AMN cĩ Â = 600, AM=AN = a
	* SA = 
	* Thể tích khối chĩp S.ABC
Cách 2 : ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích)
	Khối chĩp S.AMN và S.ABC cĩ chung đỉnh A và gĩc ở đỉnh A
	Do đĩ theo cơng thức tỷ số thể tích , ta cĩ 
	Ta cĩ : 	
Vậy 
Nhận xét:
Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chĩp “nhỏ” hơn khối chĩp đã cho và khi đĩ xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai.
Trong một số bài tốn thì việc dùng “tỷ số thể tích “ cĩ nhiều thuận lợi hơn.
Bài Toán 3.2:	
	Cho hình chĩp S.ABC cĩ tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chĩp S.AMN và A.BCNM
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chĩp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chĩp đã cho
Lời giải:
	( Dùng cơng thức tỷ số thể tích)
	Khối chĩp S.AMN và S.ABC cĩ chung đỉnh S và gĩc ở đỉnh S
	Do đĩ theo cơng thức tỷ số thể tích , ta cĩ 
Bài Toán 3.3:	
	Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chĩp I.ABCD
Giải
Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chĩp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chĩp đã cho
Lời giải:
	Gọi O là giao điểm AC và BD
	Ta cĩ : IO // SA và SA (ABCD)
	 IO (ABCD)
	 Mà : 
	Vậy 	
Dạng 4. 	DIỆN TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP
 THỂ TÍCH KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP
	Trong chương trình tốn phổ thơng, yêu cầu xác định tâm , bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp và tính diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu đĩ.
Xác định tâm I và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hinh chĩp
Cơng thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
Bài Toán 4.1:	
	Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên tạo với đáy một gĩc bằng 45o .Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chĩp
Giải
Lời giải:
	* S.ABCD là hình chĩp tứ giác đều 
	ABCD là hình vuơng cạnh 2a , tâm O
	SO (ABCD)
	* Diện tích hình vuơng ABCD
	 AC = 2a. 
	* SOC vuơng tại O cĩ OC = , 
	 SO = OC = 
	* Thể tích khối chĩp S.ABCD
* Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chĩp
	Ta cĩ OA=OB=OC=OD=OS= 
	 mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chĩp S.ABCD cĩ tâm O và bán kính R = 
	Vậy 
Bài Toán 4.2:	
Cho khối chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a.
Tính thể tích của khối chĩp.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp trên.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chĩp trên.
Giải
 Gọi O là giao điểm của AC và BD.
 Ta cĩ : SO ^ (ABCD)
 dt(ABCD) = a2 
 Vậy : 
0,25
0,25
0,25
0,25
Dựng trục đường trịn ngoại tiếp hình vuơng ABCD
 SO (ABCD)
Dựng trung trực của SA 
 d SA tại trung điểm M
Xét (SAO) cĩ d cắt SO tại I, ta cĩ :
 SI = IA
 IA = IB = IC = ID 
 Þ IS = IA = IB = IC = ID 
 Þ Mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD cĩ tâm là I và bán kính r = SI.
 . Vậy : 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài Tập Về Thể Tích Khối Đa Diện
Bài 1.1 Cho hình chĩp cĩ đáy là hình vuơng cạnh a,và .Tính thể tích khối chĩp theo a.
Bài 1.2	Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy là a; gĩc giữa cạnh bên và đáy là . Tính thể tích khối chĩp theo a ?
Bài 1.3	Cho khối chĩp tam giác đều S.ABC cĩ AB = a , gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chĩp theo a.
Bài 1.4 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, các cạnh bên bằng . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 1.5 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với ; . Cạnh bên SB bằng . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 1.6	Cho hình chĩp S.ABC cĩ ABC vuơng cân tại B, AC = 2a, , gĩc giữa SB và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chĩp S.ABC.
Bài 1.7	Cho hình chĩp S.ABC cĩ vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là tam giác vuơng tại B, , gĩc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC) bằng . Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Bài 1.8	Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại C, AB = 2a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một gĩc 300. Gọi M là trung điểm SB. Tính thể tích khối chĩp M.ABC
Bài 1.9	Cho khối chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A với BC = 2a , biết và mặt (SBC) hợp với đáy một gĩc 60o . Tính thể tích khối chĩp SABC. 
Bài 1.10	Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Tính tỷ số thể tích của hai khối chĩp SMNK và SABC.
Bài 1.11	Cho hình chĩp S.ABC cĩ SB = ,AB=AC = a, , Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc với (ABC). Tính thể tích khối chĩp S.ABC.
Bài 1.12	Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, AC = a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) một gĩc 600. Tính thể tích khối chĩp S.ABC
Bài 1.13	Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt đáy và SA= b. Cắt khối chĩp bằng mặt phẳng (SBD) ta được hai khối chĩp đỉnh S.
a) Kể tên và so sánh thể tích của hai khối chĩp đĩ.
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình chĩp S.ABCD.
c) Tính thể tích của hai khối chĩp S.ABC và S.ABCD.
Bài 1.14 Cho khối chĩp tứ giác SABCD cĩ tất cả các cạnh bằng a . 
a). Chứng minh rằng SABCD là khối chĩp tứ giác đều .
b). Tính thể tích của khối chĩp SABCD .
c). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD . 
Bài 1.15 Cho hình chĩp S.ABC , cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tâm O.Các cạnh bên SA=SB=SC và cạnh bên SA tạo với mặt đáy một gĩc 45o. 
	a).Tính thể tích của khối chĩp SABC
	b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC 
Bài 1.16 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA = 2a.
a). Tính thể tích của khối chĩp S.ABC theo a.
b). Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABC
Bài 1.17 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD . Biết AB = 3a, BC = 4a và . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 1.18 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, AC = a, hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = a. 
	a). Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
	b). Tính diện tích và thể tích của mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp khối chĩp S.ABC
Bài 1.19 Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, A/A=A/B=A/C , AB = a, AC = , cạnh A/A tạo với mặt đáy gĩc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 1.20 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 1.21 Cho hình chĩp tứ giác đều cĩ cạnh a, cạnh bên hợp đáy gĩc 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng. 
 Bài 1.22 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và , cạnh AA’= a. Gọi I là trung điểm của CC’.
Chứng minh rằng Tam giác AB’I vuơng tại A.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 
Bài 1.23 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC vuơng tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA(ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chĩp S.AMB, và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB). 
Phần II. 	 	 MẶT TRỊN XOAY
A
B
O
O'
A'
B'
h
R
HÌNH TRỤ
R
S
B
O
A
HÌNH NĨN
* Diện tích xung quanh
* Diện tích tồn phần
* Thể Tích Khối trụ

* Diện tích xung quanh
* Diện tích tồn phần
* Thể Tích Khối trụ
Ví dụ 2.1:	
	Cho hình trụ cĩ bán kính R = a, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện cĩ diện tích bằng 6a2. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
Giải
	* Mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một hình chữ nhật
	 S = 	 
	* Diện tích xung quanh : 
	* Thể tích khối trụ : 
Ví dụ 2.2:	
	Cho hình nĩn,mặt phẳng qua trục và cắt hình nĩn tạo ra thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nĩn và thể tích của khối nĩn.
Giải
	* Mặt phẳng qua trục và cắt hình nĩn tạo ra tam giác đều cạnh 2a
	* Diện tích xung quanh : 
	* Thể tích khối trụ : 
Ví dụ 2.3:	Cho khối chĩp đều S.ABCD cĩ AB = a, gọi O là tâm của đáy,.
 1.Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a.
 2.Tính diện tích xung quanh của hình nĩn đỉnh S, đáy là đường trịn ngoại tiếp hình vuơng ABCD
Giải
1). Vì S.ABCD đều nên 
 Ta cĩ :; 
 vuơng tại O cĩ :
 (đvtt)
 S
 A D
 O 
 B C
2.Gọi l,r lần lượt là đường sinh,bán kính đáy của hình nĩn .
Ta cĩ : ; 
 (đvdt)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
Ví dụ 2.4:	Cho hình chĩp đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc SAC bằng 45o. 
Tính thể tích khối chĩp .
Tính diện tích xung quanh của mặt nĩn ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD
 Giải
 a) Gọi O là tâm của hình vuơng ABCD Þ SO ^ (ABCD).
Þ (đvtt)
 b) Ta cĩ R =OA, l =SA= a.
 Vậy 
Ví dụ 2.5: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ tất cả các cạnh đều bằng a.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Tính diện tích của mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ
 a) Ta cĩ , 
 trong đĩ B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ .
 Vì tam giác ABC đều, cĩ cạnh bằng a nên . 
 h = AA’ = a Þ (đvtt)
b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo cơng thức 
 R là bán kính đường trịn ngoại tiếp DABC 
 Þ , l =AA’ =a 
Vậy diện tích cần tìm là (đvdt)
Ví dụ 2.6: 	Một hình nĩn cĩ đường sinh bằng 2a và thiết diện qua trục là tam giác vuơng.
Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nĩn
Tính thể tích của khối nĩn
=2a
45o
S
B
A
O
Giải
a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuơng cân tại S nên = = 450
 SO = OA = h=R=
 Sxq = 
 	 Stp = Sxq + Sđáy = 
 b) V = 
Ví dụ 2.7: 	Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = a và SA vuơng gĩc với đáy. Gọi I là trung điểm SC 
Tính thể tích khối chĩp I.ABCD
Tính thể tích khối nĩn ngoại tiếp khối chĩp I.ABCD ( khối nĩn cĩ đỉnh I và đáy là hình trịn ngoại tiếp hình vuơng ABCD)
a). Ta cĩ IO (ABCD) và 
Thể tích 
b). Ta cĩ khối nĩn cĩ h = IO = 
Bán kính hình trịn đáy R = 
Vậy 
Bài Tập Về Mặt Trịn Xoay
Bài 2.1 Một hình trụ cĩ khoảng cách hai đáy bằng 7a .Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một đoạn d = 3a theo một thiết diện cĩ diện tích S=56a2 .Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
Bài 2.2 Thiết diện qua trục của một hình nĩn là một tam giác vuơng cân cĩ cạnh huyền bằng a. Tính thể tích khối nĩn và diện tích xung quanh của hình nĩn đă cho.
Bài 2.3 Cho hình nĩn trịn xoay