Bài giảng Phương pháp tính

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU
Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, cung cấp các phương pháp giải những bài toán trong thực tế không có lời giải chính xác bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số. Nói gọn hơn, phương pháp tính như bản thân tên gọi của nó, có nghĩa là phương pháp giải các bài toán bằng những con số cụ thể. 
Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính ngày càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán. Thực tế chứng tỏ rằng, việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác nhau có thể cho tốc độ tính toán và độ chính xác rất khác nhau, do đó phương pháp tính là công cụ không thể thiếu trong các công việc cần thực hiện nhiều tính toán với tốc độ tính toán nhanh và độ chính xác cao như vật lý, điện tử viễn thông, ... và dĩ nhiên là trong công nghệ thông tin.
Phương pháp tính đã được nghiên cứu từ rất lâu và những thành tựu đạt được là cả một khối lượng kiến thức đồ sộ trong nhiều tài liệu sách, báo... Tuy nhiên, môn học "Phương pháp tính " dành cho sinh viên Cao đẳng Công nghệ thông tin chỉ nhằm cung cấp những kiến thức căn bản nhất về phương pháp tính, trên cơ sở những kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải quyết những bài toán thông thường trong thực tế và có khả năng tự tìm hiểu để nâng cao kiến thức cho mình khi gặp các vấn đề phức tạp hơn trong thực tế sau này.
CHƯƠNG I - NHẬP MÔN
1.1. Giới thiệu về môn phương pháp tính 
Phương pháp tính là một lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán (chủ yếu là gần đúng) bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số. Nói gọn hơn, phương pháp tính như bản thân tên gọi của nó, có nghĩa là phương pháp giải các bài toán bằng những con số cụ thể.
Ngày nay phần lớn các công việc tính toán đều được thực hiện trên máy tính. Tuy vậy thực tế đã chứng tỏ rằng, việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác nhau có thể cho tốc độ tính toán và độ chính xác rất khác nhau. Lấy ví dụ đơn giản như tính định thức của ma trận chẳng hạn, nếu tính trực tiếp theo định nghĩa thì việc tính định thức của một ma trận vuông cấp 25 cũng mất hàng triệu năm (ngay cả với máy tính hiện đại nhất hiện nay); trong khi đó nếu sử dụng phương pháp khử Gauss thì kết quả nhận được gần như tức thời.
Như vậy, phương pháp tinh là công cụ không thể thiếu trong các công việc cần thực hiện nhiều tính toán với tốc độ tính toán nhanh và độ chính xác cao như vật lý, điện tử viễn thông, ... và dĩ nhiên là tất cả các ngành và mọi lĩnh vực đều cần đến là công nghệ thông tin.
Phương pháp tính đã được nghiên cứu từ rất lâu và cho đến nay những thành tựu đạt được là một khối lượng kiến thức đồ sộ được in trong nhiều tài liệu sách, báo... Tuy nhiên, môn học "Phương pháp tính" chỉ nhằm cung cấp những kiến thức căn bản nhất về phương pháp tính. Với lượng kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải quyết những bài toán thông thường trong thực tế và có khả năng tự tìm hiểu để nâng cao kiến thức cho mình khi gặp các vấn đề phức tạp hơn sau này.
1.2. Nhiệm vụ môn học 
1.2.1. Mục đích môn học
Cung cấp cho sinh viên một số kiến thức căn bản nhất về một số phương pháp giải gần đúng trên dữ liệu số .
Tạo cơ sở để học tốt và nghiên cứu các nghành khoa học kỹ thuật nói chung và Công nghệ thông tin nói riêng.
Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm
Góp phần xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần thiết cho người cử nhân Công nghệ thông tin tương lai.
1.2.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp cơ bản nhất của phương pháp tính được ứng dụng nhiều trong thực tế như các phương pháp tính trong đại số tuyến tính, bài toán nội suy, giải gần đúng phương trình đại số...
Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các phương pháp trên trong thực tế.
Nghiên cứu cách cài đặt các thuật toán trên máy tính.
1.2.3. Phương pháp nghiên cứu
Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau:
Kiến thức cần trước: Sinh viên phải có kiến thức cơ bản về toán phổ thông và thành thạo ít nhất một ngôn ngữ lập trình
Có đủ các tài liệu phục vụ học tập: Tập bài giảng, tài liệu tham khảo...
Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân: Đặt ra các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân và cố gắng thực hiện chúng; Xây dựng mục tiêu trong chương trình nghiên cứu...
Nghiên cứu và chủ động nắm vững những kiến thức cốt lõi: Đọc kỹ hướng dẫn học tập trong Đề cương chi tiết của môn học trước khi nghiên cứu bài giảng môn học và các tài liệu tham khảo khác.
Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập: Thông qua các buổi hướng dẫn học tập, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm được nội dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc, đồng thời sinh viên cũng có thể trao đổi, thảo luận với những sinh viên khác về nội dung bài học.
Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên: Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn dàn học tập trên mạng Internet, qua đó có thể trao đổi trực tiếp các vấn đề vướng mắc với giảng viên hoặc các bạn học khác. 
Tự ghi chép lại những ý chính: Việc ghi chép lại những ý chính là một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều cho việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu.
Học đi đôi với hành: Học lý thuyết đến đâu thực hành làm bài tập ngay đến đó để hiểu và nắm chắc lý thuyết. Nói chung cuối mỗi chương, sinh viên cần tự trả lời các câu hỏi, bài tập. Hãy cố gắng vạch ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện. 
Liên hệ với các môn học khác và các vấn đề thực tế có liên quan để hiểu sâu hơn ý nghĩa của các phương pháp. 
Cài đặt các thuật toán bằng nhiều cách khác nhau, có sử dụng đồ họa để làm nổi bật các đặc trưng và kết quả của các thuật toán. 
Dùng đồ thị so sánh các phương pháp khác nhau cùng giải quyết một bài toán, phân tích những điểm yếu điểm mạnh của các thuật toán.
1.3. Trình tự giải bài toán theo phương pháp tính
Khảo sát, phân tích bài toán
Lựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau:
Khối lượng tính toán ít
Đơn giản khi xây dựng thuật toán
Sai số nhỏ nhất có thể
Khả thi
Xây dựng thuật toán: sử dụng ngôn ngữ giả hoặc sơ đồ khối (càng mịn càng tốt)
Viết chương trình: sử dụng ngôn ngữ lập trình (C, C++, Pascal, Matlab,)
Thực hiện chương trình, thử nghiệm, sửa đổi và hoàn chỉnh.
CHƯƠNG II - SAI SỐ
2.1. Tổng quan về phương pháp tính
2.1.1. Phương pháp tính là gì
Phương pháp tính (Computational method) còn được gọi là Toán học tính toán (Computational mathematics) hoặc Giải tích số (Numerical analysis), là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng các bài toán bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số. Nói gọn hơn, phương pháp số như bản thân tên gọi của nó, có nghĩa là phương pháp giải các bài toán bằng những con số cụ thể. Trong phương pháp tính chúng ta thường quan tâm đến hai vấn đề:
Phương pháp được dùng để giải bài toán.
Mối liên hệ giữa lời giải số gần đúng và lời giải đúng, hay vấn đề sai số của lời giải có được.
2.1.2. Các dạng sai số thường gặp
Khi thực hiện một bài toán bằng phương pháp tính ta thường gặp những dạng sai số sau đây:
Sai số trong việc mô hình hóa bài toán
Sai số phương pháp tính toán áp dụng
Sai số của số liệu vào
Sai số của quá trình tính toán
Những sai số trên đây tổng hợp lại nhiều khi dẫn đến những lời giải quá cách xa so với lời giải đúng và vì vậy không thể dùng được. Chính vì vậy việc tìm ra những thuật toán hữu hiệu để giải các bài toán thực tế là điều rất cần thiết.
2.2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
2.2.1 Sai số tuyệt đối 
Trong tính gần đúng ta làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng. Cho nên vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu là vần đề sai số. Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là a. 
	Ta nói a xấp xỉ A ( hay a là số gần đúng của A) và viết a A
	Giá trị tuyệt đối = được gọi là sai số tuyệt đối của a so với A (khi dùng a là số gần đúng của A)
2.2.2. Sai số tương đối
2.3. Cách biểu diễn số gần đúng
2.3.1. Chữ số có nghĩa
2.3.2. Chữ số đáng tin
2.3.3.Sai số quy tròn
2.4. Các quy tắc tính sai số
2.4.1. Bài toán tổng quát
2.4.2. Sai số của tổng
2.4.3. Sai số của tích
2.4.4. Sai số của thương
2.4.5. Sai số của một hàm
2.5. Sai số phương pháp và sai số tính toán
2.6. Sự ổn định của quá trình tính toán