Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 - Trường THCS Liên Bảo

Trường THCS Liên Bảo
Đề thi HSG toán lớp 9
Câu 1. (5,0 điểm)
Tính giá trị của biểu thức .
Rút gọn biểu thức .
Câu 2. (4,0 điểm)
Giải phương trình: .
Giải hệ phương trình sau: .
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho hàm số . Tìm các giá trị của để đường thẳng có phương trình cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thoả mãn: .
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), có đường cao AH và O là trung điểm của cạnh BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N. OA và MN cắt nhau tại D.
Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
Chứng minh : .
Cho AB=3 và AC=4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số dương và thoả mãn . Chứng minh rằng: 
. 
---------------Hết----------------
Đáp án và biểu điểm
Câu 1
Hướng dẫn giải
(5 điểm)
1. 
(2 điểm)
Ta có
0.5
0.5
0.5
. 
KL: 
0.5
2 
(3 điểm)
Điều kiện: 
0.5
Đặt . 
0.5
Tính được 
0.5
0.5
0.5
 =
KL: 
0.5
Câu 2
(4 điểm)
1 
(2 điểm)
ĐK: . Với điều kiện biến đổi phương trình đã cho trở thành: 
0.5
Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được
 (1)
0.5
Đặt 
Thay vào (1) ta được hoặc (t/m)
0.5
+ với ta có (t/m).
+ với ta có (vô nghiệm).
KL:
0.5
2
(2 điểm)
+ Với Hpt trở thành: (vô nghiệm)
0.5
+ Với .Hệ trở thành (1)
+ Đặt thay vào hpt(1) ta được
0.5
+ Giải được: 
0.5
+ Với .
Giải được nghiệm của hệ: 
+ KL: 
0.5
Câu 3
(4 điểm)
1
(2 điểm)
Xét pt hoành độ giao điểm:
(1)
Đường thẳng cắt đths đã cho tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi pt(1) có hai nghiệm phân biệt.
0.5
+ Điều kiện: 
0.5
+ Khi đó 
+ Theo định lí Viet . Ta có 
+ 
0.5
+ Tìm được 
KL:
0.5
2
(2 điểm)
+ Từ giả thiết suy ra: . Không giảm tính tổng quát giả sử . Suy ra 
Do đó 
0.5
+ Với suy ra 
Do đó 
0.5
+ Với từ (1) suy ra 
+ Với từ (1) suy ra ( do a>b)
0,5
+ Với từ giả thiết suy ra ( do b>c)
Thay vào (*) được .
Vậy có 8 bộ ba (a;b;c) thoả mãn: và các hoán vị của nó.
0.5
Câu 4
(6 điểm)
1
(2 điểm)
+ Tứ giác AMHN nội tiếp nên 
0.5
+ Lại có (vì cùng phụ với góc )
0.5
+ Suy ra, mà nên 
0.5
KL:
0.5
2
(2 điểm)
+ Có vì cùng bằng hai lần .
0.5
+ Tam giác 
0.5
+ Có 
0.5
+ Do đó 
0.5
3
(2 điểm)
+ Tính được BC=5, 
0.5
+ Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. Khi đó 
KI là đường trung trực của đoạn MN.
Do hai tam giac AID và AOH đồng dạng nên 
Do vậy KI//OA.
0.5
+ Do tứ giác BMNC nội tiếp nên . Do đó AH//KO.
+ Dẫn đến tứ giác AOKI là hình bình hành.
0.5
Bán kính 
0.5
Câu 5
(1 điểm)
Ta có: 
Tương tự:, 
0.5
Suy ra: 
0.5
Điểm toàn bài
(20điểm)