Các bài toán giải bằng phân tích cấu tạo số

CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHÂN TÍCH CẤU TẠO SỐ
Loại 1: Viết thêm một số chữ số vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa các chữ số của một số tự nhiên
Ví dụ 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được số mới lớn gấp 26 lần số phải tìm.
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a và b nhỏ hơn 10)
Viết thêm số 12 vào bên trái số đó, ta được 
Theo đề bài ta có: = 26
 1200 + = 26 (phân tích theo cấu tạo số)
 26 - = 1200
Cách 1:
 (26 - 1) = 1200
 25 = 1200
 = 1200 : 25
 = 48
Thử lại: 1248 : 48 = 26
Cách 2: Ta có sơ đồ sau: 
1200
 : 
26 phần
 : ...
 ?
Vậy: = 1200 : (26 - 1) = 1200 : 25 = 48
Thử lại: 1248 : 26 = 48
Ví dụ 2: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 4106 đơn vị.
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a , b và c nhỏ hơn 10)
Viết thêm chữ số 2 vào bên phải số đó, ta được 
Theo đề bài ta có: = + 4106
 10 + 2 = + 4106 (phân tích theo cấu tạo số)
 10 - = 4106 - 2
 (10 - 1) = 4104
 9 = 4104
 = 4104 : 9
 = 456
Thử lại: 4562 - 456 = 4106
Cách 2: Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải một số tự nhiên thì số đó gấp lên 10 lần và 2 đơn vị. 
4106
Ta có sơ đồ sau: 
 Số cần tìm : 
10 phần
2
 Số mới : 
Vậy số cần tìm là: (4106 - 2) : (10 - 1) = 456
Thử lại: 4562 - 456 = 4106
Ví dụ 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó, ta được số lớn gấp 10 lần số cần tìm, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì số đó lại tăng thêm 3 lần.
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a và b nhỏ hơn 10)
Viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó, ta được 
Theo đề bài ta có: 10 = .
Vì 10 có tận cùng bằng 0 nên b = 0.
Vậy số cầntìm có dạng . 
Viết thêm chữ số 1 vào bên trái ta được . 
Theo đề bài ta lại có:
 = 3 
 1000 + a 100 = 3 a 100
 1000 + a 100 = a 300
 a 300 - a 100 = 1000
 a (300 - 100) = 1000
 a 200 = 1000
 a = 1000 : 200 
 a = 5
Vậy số cần tìm là 50.
Thử lại: 500 : 10 = 50
Loại 2: Xóa đi một số chữ số của một số tự nhiên
Ví dụ 4: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số. Biết rằng nếu ta xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. 
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a , b, c và d nhỏ hơn 10)
Xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó, ta được 
Theo đề bài ta có: - = 4455
 100 + - = 4455 (phân tích theo cấu tạo số)
 + 100 - = 4455
 + (100 - 1) = 4455
 + 99 = 45 99 (phân tích 4455 = 45 99)
 = 99 (45 - ) 
Ta nhận thấy tích của 99 và một số tự nhiên là một số tự nhiên bé hơn 100 nên 45 - phải bằng 0 hoặc 1.
- Nếu 45 - = 0 thì = 45 và = 00
- Nếu 45 - = 1 thì = 44 và = 99
Số cần tìm là 4500 hoặc 4499
Ví dụ 5: Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu ta xóa chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 7 lần.
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a , b và c nhỏ hơn 10)
Xóa đi chữ số hàng trăm của số đó, ta được 
Cách 1:
Theo đề bài ta có: = 7 
 + = 7 (phân tích theo cấu tạo số)
 = 7 - 
 = (7 - 1) 
 = 6 (*)
Vì 6 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3. Do đó a chia hết cho 3.
Mặt khác, vì < 100 nên 6 < 600. Từ đó suy ra a < 6.
Vậy a = 3.
Thay vào biểu thức (*) ta tìm được = 50.
Vậy số cần tìm là 350.
Cách 2: 
Theo đề bài ta có: = 7 (*)
Vì 7 c có tận cùng bằng c nên c bằng 0 hoặc 5.
- Nếu c = 0, thay vào (*) ta có = 7 
 = 7 b
Suy ra b = 5 (vì b không thể bằng 0) và = 35.
Vậy số cần tìm là 350.
- Nếu c = 5, thay vào (*) ta có 
 = 7 
Vì 7 5 = 35 nên 7 b + 3 = 
Nếu b là số chẵn thì 7 b + 3 có kết quả là số lẻ.
Nếu b là số lẻ thì 7 b + 3 có kết quả là số chẵn.
Vậy trường hợp c = 5 không xảy ra.
Loại 3: Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó
Ví dụ 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó.
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a và b nhỏ hơn 10).
Theo đề bài ta có: = 5 (a + b) 
 10 a + b = 5 a + 5 b
 10 a - 5 a = 5 b - b
 a (10 - 5) = b (5 - 1)
 a 5 = b 4
Từ đây suy ra b chia hết cho 5. Vậy b = 0 hoặc b = 5.
- Nếu b = 0 thì a = 0 (loại).
- Nếu b = 5 thì a 5 = 20, vậy a = 4.
Vậy số cần tìm là 45.
Thử lại: 45 : (4 + 5) = 5
Loại 4: Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được thương là 28 và dư 1.
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a và b nhỏ hơn 10).
Theo đề bài ta có: = c 28 + 1
Vì < 100 nên c 28 < 99.
Vậy c = 1 ; 2 hoặc 3.
- Nếu c = 1 thì = 29.
Thử lại: 9 - 2 = 7; 29 : 7 = 4 dư 1 (loại)
- Nếu c = 2 thì = 57.
Thử lại: 7 - 5 = 2; 57 : 2 = 28 dư 1 (đúng)
- Nếu c = 3 thì = 85.
Thử lại 8 - 5 = 3; 85 : 3 = 28 dư 1 (đúng)
Vậy số cần tìm là 57 hoặc 85.
Loại 5: Các bài toán về số tự nhiên và tích các chữ số của nó
Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a , b và c nhỏ hơn 10).
Theo đề bài ta có: = 5 a b c
Vì 5 a b c chia hết cho 5 nên chia hết cho 5. Vậy c = 0 hoặc c = 5. Nhưng c không thể bằng 0 nên c = 5. Số cần tìm có dạng . Thay vào ta có:
 = 5 a b 5
 a 100 + b 10 + 5 = 25 a b
 a 20 + b 2 + 1 = 5 a b
Vì 5 a b chia hết cho 5 nên a 20 + b 2 + 1 chia hết cho 5. Do đó b 2 + 1 chia hết cho 5. Suy ra b 2 có tận cùng bằng 4 hoặc 9. Vì b 2 là số chẵn nên nó có tận cùng bằng 4. Suy ra b = 2 hoặc b = 7. 
- Nếu b = 2 thì = 5 a 2 5. Ta nhận thấy Vế trái là số le, vế phải là số chẵn nên trường hợp b = 2 không thể xảy ra.
- Nếu b = 7 thì ta có: a 20 + 15 = 35 a. Tính ra ta được a = 1.
Thử lại: 175 = 5 1 7 5
Vậy số cần tìm là 175.